Potenze
Definizioni e Proprietà
Elevamento a potenza
ESPONENTE
a ELEVATO ALLA n
× … × a × a =
E SI LEGGE
n
a =a×
BASE
a
POTENZA
b
n volte
L’ELEVAMENTO A POTENZA È L’OPERAZIONE ARITMETICA
CHE ASSOCIA A DUE NUMERI NATURALI CHIAMATI
RISPETTIVAMENTE BASE ED ESPONENTE UN TERZO
NUMERO NATURALE DETTO VALORE DELLA POTENZA.
QUINDI: LA POTENZA DI UN NUMERO CON ESPONENTE DIVERSO DA
ZERO E DA UNO, È IL PRODOTTO DI TANTI FATTORI UGUALI ALLA BASE
QUANTE SONO LE UNITÀ DELL’ESPONENTE.
Esempi:
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
E SI PUÒ LEGGERE
DUE ELEVATO ALLA QUARTA
DUE ALLA QUARTA
15 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
E SI PUÒ LEGGERE
UNO ELEVATO ALLA QUINTA
UNO ALLA QUINTA
07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0
E SI PUÒ LEGGERE
ZERO ELEVATO ALLA SETTIMA
ZERO ALLA SETTIMA
Quadrati e cubi Perfetti
I NUMERI CHE SONO QUADRATI (n=2; a2=b) DI NUMERI
NATURALI SONO DETTI QUADRATI PERFETTI
Esempio di quadrati perfetti:
Esempio di cubi perfetti:
22 = 2 × 2 = 4
52 = 5 × 5 = 25
92 = 9 × 9 = 81
132 = 13 × 13 = 169
23 = 2 × 2 × 2 = 8
33 = 3 × 3 × 3 = 27
53 = 5 × 5 × 5 = 125
63 = 6 × 6 × 6 = 216
I NUMERI CHE SONO CUBI (n=3 ; a3=b) DI NUMERI
NATURALI SONO DETTI CUBI PERFETTI.
Esempi:
72 = 7 × 7 = 49
E SI PUÒ LEGGERE
SETTE ELEVATO ALLA SECONDA
SETTE ELEVATO AL QUADRATO
SETTE ALLA SECONDA
SETTE AL QUADRATO
43 = 4 × 4 × 4 = 64
E SI PUÒ LEGGERE
QUATTRO ELEVATO ALLA TERZA
QUATTRO ELEVATO AL CUBO
QUATTRO ALLA TERZA
QUATTRO AL CUBO
Casi Particolari
POTENZA CON
ESPONENTE UGUALE A 1
a1 = a
Esempi
41 = 4
26591 = 2659
1000584791 = 100058479
POTENZA CON
BASE UGUALE A 0 ED ESPONENTE
DIVERSO DA 0
0n = 0
con n diverso da 0
Esempi
04 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0
07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0
POTENZA CON BASE DIVERSA
DA 0 ED ESPONENTE UGUALE A 0
a0 = 1
con
a diverso da 0
Esempi
10 = 1
2970 = 1
1620000 = 1
NON HA SIGNIFICATO LA SCRITTURA 00
(INDETERMINATO)
Proprietà delle Potenze
PRODOTTO DI POTENZE
DI UGUALE BASE
n
a ×
m
a =
n
m
+
a
Prodotto di due o più potenze con uguale è una
potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la somma degli esponenti.
Esempi
23 × 22 = 2(3+2) = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
52 × 52 = 5(2+2) = 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
104 × 102 = 10(4+2) = 106 =
= 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 =
= 1000000
QUOTO DI POTENZE
DI UGUALE BASE
n
a :
m
a =
n-m
a
con
n>m
Quoto di due potenze con uguale base, ma con
esponente della prima potenza non minore di
quello della seconda, è una potenza che ha per
base la stessa base e per esponente la
differenza degli esponenti.
Esempi
27 : 23 = 2(7-3) = 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
58 : 55 = 5(8-5) = 53 = 5 × 5 × 5 = 125
74 : 73 = 7(4-3) = 71 = 7
POTENZA DI POTENZA
n
m
(a ) =
n
m
×
a
La potenza di una potenza è una potenza che ha
per base la stessa base e per esponente il prodotto
degli esponenti.
Esempi
(23)4 = 2(3×4) = 212 = 4096
(32)3 = 3(2×3) = 36 = 729
(22)2 = 2(2×2) = 24 = 16
PRODOTTO DI POTENZE
DI UGUALE ESPONENTE
an × bn = (a × b)n
Il prodotto di due o più potenze con uguale
esponente è una potenza che ha per base il
prodotto delle basi e per esponente lo stesso
esponente.
Esempi
23 × 53 = (2 × 5)3 = 103 = 1000
42 × 52 = (4 × 5)2 = 202 = 400
33 × 73 = (3 × 7)3 = 213 = 9261
QUOTO DI POTENZE
DI UGUALE ESPONENTE
n
a :
n
b =
(a
n
: b)
con b diverso da 0
Il quoto di due o più potenze con uguale
esponente è una potenza che ha per base il quoto
delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Esempi
153 : 53 = (15 : 5)3 = 33 = 27
642 : 42 = (64 : 4)2 = 162 = 256
12003 : 2003 = (1200 : 200)3 = 63 = 216
POTENZA DI UN PRODOTTO
(a
n
× b) =
n
a ×
n
b
La potenza di un prodotto è uguale al prodotto
delle potenze con uguale esponente nei singoli
fattori.
Esempi
(3 × 5)3 = 33 × 53 = 27 × 125= 3375
(2 × 3)2 = 22 × 32 = 4 × 9 = 36
(2 × 4)4 = 24 × 44 = 16 × 256 = 4096
POTENZA DI UN QUOTO
(a
n
: b) =
n
a :
n
b
con b diverso da 0
La potenza di un quoto è uguale al prodotto delle
potenze con uguale esponente nel dividento e nel
divisore.
Esempi
(30 : 10)3 = 303 : 103 = 27000 : 1000= 27
(36 : 12)2 = 362 : 122 = 1296 : 144 = 3
(10 × 2)4 = 104 × 24 = 10000 × 16 = 625