Analisi e gestione del rischio
Lezione 15
Tecniche di valutazione di CDO
Valutazione di tranche equity
• Il valore di tranche equity è rappresentato da
opzioni put. Dalla parità put-call
EL + Equity = K + Call
• Se assumiamo che le perdite abbiano una
distribuzione lognormale
• Equity(K) = K – EL + E(L) N(d + s) – KN(d)
= – EL(1 – N(d + s)) + K(1 – N(d ))
= – EL(N(– d – s)) + K (N(– d))
che ricorda la formula di Black e Scholes
Tranche equity e senior
• Come nei modelli strutturali, tutte le tranche sono
influenzate nella stessa direzione da cambiamenti
di valore dell’attivo. L’aumento delle perdite
penalizza tutte le tranche.
• Le tranche equity sono inoltre avvantaggiate da
aumenti della volatilità, mentre il valore delle
tranche senior sono avvantaggiate da riduzioni
della volatilità.
• Poiché l’attivo è rappresentato da portafogli il
parametro rilevante è la correlazione più che la
volatilità.
Correlation 0%
Default Probability
Correlation 20%
Correlation 95%
MC simulation pn a basket of 100 names
Copula gaussiana e correlazione
implicita
• La tecnica standard di valutazione utilizzata sul mercato è basata sulla
copula gaussiana
C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); )
dove ui è la probabilità dell’evento i  T e i è il tempo di default del
nome i-esimo.
• E’ utilizzata la stessa correlazione  per tutta la matrice. Questa
correlazione sintetizza di fatto l’informazione presente nel prezzo, e
per questo viene spesso utilizzata per le quotazioni. Si tratta di quella
che è nota sul mercato come correlazione implicita: la correlazione
che impiegata nella copula gaussiana restituisce il valore della
“tranche”.
• Si noti che in generale il valore della tranche non è funzione monotona
della correlazione, e il valore di correlazione implicita che può essere
ricavato da una tranche può non essere unico.
Relazioni di arbitraggio
• Assumiamo di conoscere la perdita attesa di due
tranche equity 0-% e 0-% ( > ) : qual è il
prezzo della tranche mezzanina -%?
• Non è difficile vedere che per escludere possibilità
di arbitraggio dobbiamo avere
EL(0-%) – EL(0- %) = EL( -%)
• Si noti che si tratta di una relazione di arbitraggio
come quella che determina il prezzo di un call
spread.
Base correlation/implied correlation
• Sul mercato è definita base correlation la correlazione
delle “equity tranche”: (0- ) e (0- ). Si noti che le
perdite su “equity tranche” sono monotone nella
correlazione e quindi la base correlation ottenuta dal
prezzo di una tranche è unica.
• La correlazione implicita ( - ) (compound implied
correlation) è legata alla base correlation dalla relazione di
arbitraggio
EL((0- )) – EL((0- )) = EL(( -))
• La forma della curva della correlazione implicita per
diversi livelli di perdita è detta “correlation smile”
Base correlation
Copula gaussiana e correlazione
implicita
• La tecnica standard di valutazione utilizzata sul mercato è basata sulla
copula gaussiana
C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); )
dove ui è la probabilità dell’evento i  T e i è il tempo di default del
nome i-esimo.
• E’ utilizzata la stessa correlazione  per tutta la matrice. Questa
correlazione sintetizza di fatto l’informazione presente nel prezzo, e
per questo viene spesso utilizzata per le quotazioni. Si tratta di quella
che è nota sul mercato come correlazione implicita: la correlazione
che impiegata nella copula gaussiana restituisce il valore della
“tranche”.
• Si noti che in generale il valore della tranche non è funzione monotona
della correlazione, e il valore di correlazione implicita che può essere
ricavato da una tranche può non essere unico.
Tecniche di valutazione
• La valutazione di “tranche” dipende in maniera cruciale
dal rischio di credito dei “nomi” dell’attivo della SPV e
dalla loro correlazione
• La prassi di mercato è assumere che la correlazione tra i
tempi di default dei vari “nomi” portafoglio sia la stessa
per tutti. Questo è legato all’assunzione che essi siano
generati da un modello fattoriale nel quale il rischio
idiosincratico e sistematico (rappresntato dal fattore M)
hanno lo stesso peso per tutti i nomi.
xi    M  1   2  Z i
Tecniche di valutazione
• Le “tranche” possono essere valutate con
due strategie alternative
• Simulazione Monte Carlo della probabilità
congiunta di default dei “nomi”.
• Integrazione numerica della probabilità di
default condizionale dei “nomi”
Simulazione dei tempi di default con le
funzioni di copula
•
Generazione di variabili casuali dalla copula
Gaussiana di dimensione N
1. Trovare la scomposizione di Cholesky A di R
2. Simulare n variabili casuali indipendenti z = (z1,...,
zn)’ da N(0,1)
3. Porre x = Az
4. Porre ui = N(xi) con i = 1,2,...,n dove N denota la
distribuzione normale standard univariata
5. (y1,...,yn)’ =[F1-1(u1),...,Fn-1(un)] dove Fi denota la iesima distribuzione marginale. Nel caso dei tempi di
default abbiamo ui =exp(– ii) da cui i = – ln(ui )/i
Valutazione Monte Carlo di tranche
•
1.
2.
3.
4.
5.
La valutazione delle tranche è ottenuta
Generando tempi di default i come dalla slide
precedente
Calcolando l’impatto delle perdite sul valore del capitale
delle diverse tranche (sistema di waterfall)
Calcolando il valore dei flussi di capitale e interessi delle
diverse tranche con la funzione di sconto appropriata.
Ripetendo i passi da 1 a 3 per un numero N di iterazioni
Calcolando il valore di ciascuna tranche come la media
aritmetica dei valori sugli N scenari
Valutazione con la funzone di
copula condizionale
• Un strategia alternativa di valutazione consiste nel
condizionare il valore della tranche rispetto al
fattore comune M.
• In questo modo i default dei “nomi” sono resi
independenti e le tranche possono essere valutate
di conseguenza.
• La valutazione è poi ottenuta integrando il valore
sui diversi valori del fattore comune M.
Valutazione condizionale I
• Assumiamo di condizionare le probabilità di
default degli i = 1, 2, …, N nomi rispetto a un
particolare scenario m del fattore M in un modello
gaussiano.
• Denotando pi la probabilità di default entro il
tempo T e i la correlazione del nome i-esimo
otteniamo la probabilità di default condizionale
 N 1  p    m 
i
i

pi m  N 
2


1


i


Valutazione condizionale II
• Poiché le probabilità di default condizionali sono
indipendenti, i default e le perdite Li possono
essere modellate utilizzando la funzione
generatrice dei momenti di una distribuzione
binomiale (Laurent e Gregory)

 

g s   E s L   pi m s Li  1  pi m 
i
 s L n qn m   s L n 1qn  1 m   ...q0 m 
j
L j    Li
i 1
Valutazione non condizionale
• Una volta che il valore di ogni tranche è
calcolato sotto lo scenario M = m la
probabiltà non-condizionale di un numero
L(i) di default è ottenuta integrando la
probabilità condizionale sugli scenari.
qLi    qLi  m  f m dm
Valutazione non-condizionale
• Una volta ottenuta la probabilità di default non
condizionale il valore delle tranche è calcolata
dalla perdita attesa corrispondente
n
E Ld , La    max min Li  1, Ld   La ,0qLi  1  qLi 
i 0
Modello fattoriale gaussiano
• Assumiamo un modello in cui c’è un singolo
fattore di rischio alla radice di tutte le perdite. La
struttura di dipendenza è gaussiana. In termini di
probabilità condizionale
 N 1 u   m 

Pr Default M  m  N 
2


1




dove M è il fattore comune e m è uno scenario
particolare.
Modello di Vasicek
• Vasicek propose un modello in cui un
numero molto grande di esposizioni ha la
stessa probabilità di default e la stessa
dipendenza dal fattore comune
• Probabilità di una percentuale di perdite Ld:
 1   2 N 1 L   N 1  p  
d

Pr L  Ld   N 
2





Il valore delle tranche
• Il valore medio della distribuzione è p, il valore
è la probabilità di default di ogni individuo
• Il valore della tranche equity con detachment Ld
è
Equity(Ld) = (Ld – N(N-1(p); N-1 (Ld);sqr(1 – 2))
• Il valore della tranche senior tranche con
attachment Ld è
Senior(Ld) = (p – N(N-1(p); N-1 (Ld);sqr(1 – 2))
dove N(N-1(u); N-1 (v); ) è la copula gaussiana.
Copertura delle tranche
• Le tranche di un CDO non-standard
(bespoke CDO) possono essere coperte
– con gli indici di credito (iTraxx, CDX)
– con altre tranche
• Il mistero di maggio-giugno 2005
– Posizioni lunghe in equity coperte con il
mezzanino detenute dai fondi furono vanificate
da un improvviso crollo della correlazione