IL TEOREMA DEI SENI
E
LA SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE
IL TEOREMA DEI SENI
IL TEOREMA DEI SENI
IN UN TRIANGOLO SCALENO
IL RAPPORTO TRA
UN LATO ED IL SENO DELL’ANGOLO OPPOSTO
È COSTANTE
CONSIDERIAMO UN TRIANGOLO SCALENO
CONSIDERIAMO UN TRIANGOLO SCALENO

a
c


b
tracciamo la perpendicolare al lato b

a
c


b
tracciamo la perpendicolare al lato b

a
c
h


b
tracciamo la perpendicolare al lato b
tracciamo la perpendicolare al lato a

a
c
h


b
tracciamo la perpendicolare al lato b
tracciamo la perpendicolare al lato a

a
c
k
h


b

a
c
k
h


b
sono evidenti le seguenti relazioni:

a
c
k
h


b
sono evidenti le seguenti relazioni:

a
c
k
h


b
h
sen  =
a
sono evidenti le seguenti relazioni:

a
c
k
h


b
h
sen  =
a
h
sen  =
c
sono evidenti le seguenti relazioni:

a
c
k
h


b
h
sen  =
a
h = a sen 
h
sen  =
c
h = c sen 
sono evidenti le seguenti relazioni:

a
c
k
h


b
h
sen  =
a
h = a sen 
h
sen  =
c
h = c sen 
a sen = c sen 
sono evidenti anche queste altre relazioni:
a sen = c sen 

a
c
k
h


b
sono evidenti anche queste altre relazioni:
a sen = c sen 

a


b
k
sen  =
b
c
k
sono evidenti anche queste altre relazioni:
a sen = c sen 

a

c
k


b
k
sen  =
b
sen  =
k
c
sono evidenti anche queste altre relazioni:
a sen = c sen 

a

c
k


b
k
sen  =
b
k = b sen 
sen  =
k
c
k = c sen 
sono evidenti anche queste altre relazioni:
a sen = c sen 

a

c
k


b
k
sen  =
b
sen  =
k = b sen 
k
c
k = c sen 
b sen = c sen 
a sen = c sen 
b sen = c sen 

a

c
k


b
a sen = c sen 
b sen = c sen 

a
c
k


b
Poiché è:

a sen = c sen 
b sen = c sen 

a
c
k


b
Poiché è:


a sen = c sen 
b sen = c sen 

a

c
k


b
Poiché è:
si ha:

sensensen 
a sen = c sen 
b sen = c sen 

a

c
k


b
Poiché è:
si ha:

sensensen 
a sen = c sen 
b sen = c sen 

a

c
k


b
a sen = c sen 
b sen = c sen 

a
c
k


b
a
c
=
sen 
sen 

a sen = c sen 
b sen = c sen 

a
c
k


b
a
c
=
sen 
sen 

a sen = c sen 
b sen = c sen 

a

c
k


b
a
c
=
sen 
sen 
c
b
=
sen 
sen 
a sen = c sen 
b sen = c sen 

a

c
k


b
a
c
=
sen 
sen 
c
b
=
sen 
sen 
a sen = c sen 
b sen = c sen 

a

c
k


b
a
c
=
sen 
sen 
c
b
=
sen 
sen 
a sen = c sen 
b sen = c sen 

a

c
k


b
a
=
sen 
b
sen 

a
c


b
a
=
sen 
b
sen 
C.V.D.
LA SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE
APPLICHIAMO IL TEOREMA DEI SENI
ALLA SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE
IN DUE DIREZIONI
v
2
v
1
2
v
1
2
v
1
2
v2
v
v1
1
2
v2


v1
v
1
2

v2
v


v1
V2
sen 
1
2
v2

v


v1
V2
sen 
1
=
V1
sen 
ESERCIZIO
2
v2


v1
v

V2
sen 
1
=
V1
sen 
=
V
sen 
Calcola i vettori componenti V1 e V2 in queste condizioni:
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
soluzione
V2
sen 
=
V1
sen 
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2


v1
v

1
V2
sen 
=
V1
sen 
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2


v1
 = 180°- (20° + 30°) =130°
v

1
V2
sen 
=
V1
sen 
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2


v1
 = 180°- (20° + 30°) =130°
v

1
sen = 0,766
V2
sen 
=
V1
sen 
2
V
=
sen 
v2


v1
 = 180°- (20° + 30°) =130°
V
V1 =
sen 
sen 
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
v

1
sen = 0,766
V2
sen 
=
V1
sen 
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2
v


v1

 = 180°- (20° + 30°) =130°
V
V1 =
sen 
sen 
70
V1 =

1
sen = 0,766
sen 
V2
sen 
=
V1
sen 
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2
v


v1

 = 180°- (20° + 30°) =130°
V
V1 =
sen 
sen 
70
V1 =

1
sen = 0,766
sen 
70
V1 =


=
45,69
V2
sen 
=
V1
sen 
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2
v


v1

 = 180°- (20° + 30°) =130°
V
V1 =
sen 
V
V2 =
sen 
sen 
sen 
70
V1 =

70
V2 =

1
sen = 0,766
sen 
sen 
70
V1 =

70
V2 =


=
45,69

=
31,25
verifica
V2
sen 
=
V1
sen 
V1 = 45,69
V2 = 31,25
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2


v1
v

1
V2
sen 
=
V1
sen 
V1 = 45,69
V2 = 31,25
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2


v1
v

V2 = V12 + V22 + 2V1 V2 cos ()
1
V2
sen 
=
V1
sen 
V1 = 45,69
V2 = 31,25
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2


v1
v

1
V2 = V12 + V22 + 2V1 V2 cos ()
V2 = 45,692 + 31,252 + 2.45,69. 31,25 cos 50°
V2
sen 
=
V1
sen 
V1 = 45,69
V2 = 31,25
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2


v1
v

1
V2 = V12 + V22 + 2V1 V2 cos ()
V2 = 45,692 + 31,252 + 2.45,69. 31,25 cos 50°
V2 = 2087,6 + 976,6 + 1835,7 =4900
V2
sen 
=
V1
sen 
V1 = 45,69
V2 = 31,25
2
V
=
V = 70
 = 20°
 = 30°
 = 180°- ( +  )
sen 
v2


v1
v

1
V2 = V12 + V22 + 2V1 V2 cos ()
V2 = 45,692 + 31,252 + 2.45,69. 31,25 cos 50°
V2 = 2087,6 + 976,6 + 1835,7 =4900
V = 70