Master in Neuropsicologia Clinica
Elementi di Statistica I
Variabile casuale: variabile i cui valori non possono essere
esattamente predetti.
discreta: salti o interruzioni nei valori (conteggio…)
continua: non ha salti o interruzioni (altezza…)
(limite strumento di misura)
Distribuzione di probabilità di V.C. discreta:
Specificazione di tutti i valori possibili con le rispettive
probabilità…
Num. infarti ni
pi
pi
0
782
782/1464
0,534
pi ≡ fi
1
389
389/1464
0,266
1. pi ≥ 0
2
218
218/1464
0,149
3
75
75/1464
0,051
Totale
1464
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1,000
per ogni i
2. ∑pi = 1
3. P(Ai o Aj) = pi + pj per ogni i e j
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Elementi di Statistica I
graficamente…
Prob. Cumulata:
pi 1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
F(x) = P(X≤ x)
-1
0
1
2
3
4
Num. Infarti
pi 1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
-1
0
1
2
3
4
Num. Infarti
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Elementi di Statistica I
graficamente…
Prob. Cumulata:
pi 1,000
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
F(x) = P(X≤ x)
-1
0
1
2
Num. Infarti
3
4
1,2
1
Num. infarti ni
pi
F(x)
0
782
0,534
0,534
1
389
0,266
0,800
2
218
0,149
0,949
3
75
0,051
1,00
Totale
1464
1,000
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
24 maggio 2008
1
2
3
4
5
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Elementi di Statistica I
Distribuzione di probabilità per v.c. continue
v.c. continua: p.e. altezza di un oggetto
scala di misura: rapporti
modalità: infinite!
…tra due valori ne esisterà sempre un terzo che si trova in
mezzo…
Non è possibile specificare ogni singola p(xi)
Si è soliti considerare la probabilità che il valore cercato e
ignoto cada in un intervallo, ovvero p(a≤X≤b) con a<b
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Elementi di Statistica I
Piuttosto che di probabilità, si parla di funzione di densità di
probabilità, f(x)…
f i  100
hi 
di
Densità di frequenza:
70
Istogramma:
60
50
40
30
N. osservazioni
20
10
0
ai  di
k
18-29
fi 100
 f i  100
di
k
k
i 1
i 1
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i
42-53
54-65
66-77
78-89
90-101
Classe di età
 a   f 100  100 f
i
30-41
i 1
i
 100
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Master in Neuropsicologia Clinica
Elementi di Statistica I
Ad ogni classe i di ampiezza di corrisponde una frequenza
relativa fi…
La classe i ha estremi [xi ; (xi+di)] → minore è di, più vicini
saranno gli estremi → se di tende a zero, la classe
tenderà al punto xi!!
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Elementi di Statistica I
f(x)
funzione di densità
funzione di densità per X v.c. continua:
1. f(x) ≥ 0
2. Area = “∑” f(x) =1
3. Area (a-b) = P(a ≤ X ≤ b)
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Elementi di Statistica I
Funzione di ripartizione
Funzione di probabilità cumulata: F(x) = P(X ≤ x)
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Elementi di Statistica I
La distribuzione Normale
Una variabile casuale si dice avere distribuzione di
probabilità Normale se la funzione di densità è del tipo:
1
f  x 
e
 2
n
2
x 


xi
 
i 1 n
  3,1415...
e  2, 71828...
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   x  
2 2
n
 
2
i 1
 xi   
2
n
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Master in Neuropsicologia Clinica
Elementi di Statistica I
f(x)
σ
μ
X
1. Simmetria rispetto alla media
2. Media, mediana e moda coincidono
3. Dipende dai parametri μ e σ
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Elementi di Statistica I
• μ è parametro di scala
μ1
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<
μ2
<
μ3
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Elementi di Statistica I
•σ è parametro di forma
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Elementi di Statistica I
Famiglia di distribuzioni Normali
X ~ N(μ;σ2) → esistono infinite curve normali…
La più importante: Distribuzione Normale Standard
f(x) → z = (x - μ) / σ → Z ~ N(0;1) → f(z) = (2π)^(-1/2)exp(-z2/2)
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Elementi di Statistica I
Determinazione della probabilità…
1. Qual è la P(Z ≤ z0)?
• Tavola area tra -∞ e z
z0
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Elementi di Statistica I
• Es. P(Z ≤ 0,96) = 0,8315
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Elementi di Statistica I
2. P(-z0 ≤ Z ≤ z0) = ?
-z0
z0
-z0
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z0
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Elementi di Statistica I
• Es. P(-2,55 ≤ Z ≤ 2,55) = 0,9946 – 0,0054 = 0,9892
P(Z ≤ 2,55) = 0,9946
1 – P(Z ≤ 2,55) = 1 – 0,9946 = 0,0054
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Elementi di Statistica I
Descrivere le tabelle di contingenza
il caso 2x2
• Supp. 2 variabili X e Y ciascuna con 2 modalità/classi
j
Y
i
X
y1
y2
x1
n11
n12
n1.
x2
n21
n22
n2.
n.1
n.2
n
Tot.
Distrib.
Prob.
X
Tot.
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Y
Tot.
Distrib.
Prob.
Tot.
y1
y2
x1
π11
π12
π1.
x2
π21
π22
π2.
π.1
π.2
1
πij
pij
X
Tot.
nij
Y
Tot.
y1
y2
x1
p11
p12
p 1.
x2
p21
p22
p 2.
p.1
p.2
1
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Elementi di Statistica I
Esempio
Infarto
sì
Farmaco
no
placebo
189
10845 11034
aspirina
104
10933 11037
293
21778 22071
Tot.
Infarto
sì
Farmaco
Tot.
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Tot.
no
Tot.
placebo
0,009 0,491 0,500
somm.
0,005 0,495 0,500
0,014 0,986
L’aspirina, riduce la prob.
di avere un infarto?
Confronto tra palcebo e aspirina
Prob. Congiunta pij
Prob. Marginale di X pi.
Prob. Marginale di Y p.j
1,00
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Elementi di Statistica I
Distrib. Condizionata:
…dalla legge del prodotto: P(Y|X)=P(Y∩X)/P(X)
P(Yj|Xi)=P(Yj∩Xi)/P(Xi) → πj|i= πij/ πi.
πij= πj|iπi.
Se X e Y sono indip. → πj|i = π.j → πij= πi.π.j
Distrib.
Prob.
X
Tot.
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Y
Tot.
y1
y2
x1
π11
π12
π1.
x2
π21
π22
π2.
π.1
π.2
1
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Elementi di Statistica I
Esempio
Infarto
sì
Farmaco
no
placebo
189
10845 11034
aspirina
104
10933 11037
293
21778 22071
Tot.
Infarto
sì
Farmaco
Tot.
24 maggio 2008
Tot.
no
Tot.
placebo
0,017 0,083
1,000
aspirina
0,009 0,991
1,000
Prob. sì|plac p1|1
Prob. no|plac p2|1
Prob. sì|asp p1|2
Prob. no|asp p2|2
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Elementi di Statistica I
Rischio Relativo
• Confronto tra proporzioni di gruppi differenti
Infarto
sì
Farmaco
no
Tot.
RR ≥ 0
placebo
0,017 0,083
1,000
aspirina
0,009 0,991
1,000
RR = 1 ←→ X indip. Y
Tot.
RR = π1|1 / π1|2 = 0,017 / 0,009 = 1,89
la proporzione di coloro che ha sofferto di infarto è 1,89 volte più alta
per quelli che prendono il placebo rispetto a quelli che prendono
l’aspirina
Ovvero: la probabilità di avere un infarto è 1,89 maggiore per chi usa il
placebo rispetto a chi prende l’aspirina
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Elementi di Statistica I
Odds
• Confronto di proporzioni dello stesso gruppo
Infarto
sì
Farmaco
no
Tot.
placebo
0,017 0,983
1,000
aspirina
0,009 0,991
1,000
Ωi = π1|i / π2|i
Ωi ≥ 0
Tot.
Ω1 = π1|1 / π2|1 = 0,017 / 0,983 = 0,017
Ω2 = π1|2 / π2|2 = 0,009 / 0,991 = 0,009
Tra coloro che prendono il placebo (aspirina) è poco verosimile che si
presenti un infarto
Ovvero tra quelli che prendono il placebo (aspirina) ogni 98 (99) senza
infarto ce ne sono 2 (1) che presentano l’infarto.
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Elementi di Statistica I
Odds Ratio
• Confronto di odds
Infarto
sì
Farmaco
no
Tot.
θ≥0
placebo
0,017 0,983
1,000
θ=1 X indip. Y
aspirina
0,009 0,991
1,000
θ<1 y1 è più verosimile in x2
Tot.
θ>1 y1 è più verosimile in x1
θ = Ω1 / Ω2 = 1,89
L’odds della prima riga (ovvero del placebo) è quasi il doppio di quello
relativo all’aspirina
Ovvero l’evento (infarto) si verifica più verosimilmente nel primo caso
(placebo) che nel secondo (aspirina)
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Master in Neuropsicologia Clinica
Elementi di Statistica I
Infarto
sì
Farmaco
no
Tot.
placebo
0,017 0,983
1,000
aspirina
0,009 0,991
1,000
Tot.
1

2
 11
 1|1  1.  11
1 


 2|1  12  12
 1.
 1|2
2 
 2|2
 21
 2.  21


 22  22
 2.
1  11  21  11 22


/

 2  12  22  12 21
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Elementi di Statistica I
Se X e Y sono indipendenti, allora: πij = πi. π.j
πj|i = πij / πi. = πi. π.j / πi. = π.j
RR = π1|1 / π1|2 = π.j / π.j = 1
Ω1 = π1|1 / π2|1 = π.1 / π.2
Ω2 = π2|1 / π2|2 = π.1 / π.2
θ = Ω1 / Ω2 = 1
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