“o piccolo”
Siano f e g entrambi infiniti o infinitesimi per x c
si dice che f è un “o piccolo” di g in un intorno di c se:
f x 
Lim
0
x  c gx 
f  og in Uc

x2
2
Lim  0 x  ox in U0
x0 x


x
2
Lim 2  0 x  ox  in U 
x   x


Nota bene: essere un “o piccolo” è una proprietà locale


Esercizio
f x  x 2  4x gx  x 3  ex  ln x
Stabilire se
f  og oppure g  o f  in U  e in U  0
x2  4x
x2
Lim 3 x
 Lim x  0  f  og in U 
x   x e  ln x
x   e
 x 2  4 x



0  4 0
0

Lim 3 x

f

o
g


0



in
U
0

0

x  0 x  e  ln x
0
 e  ln 0


 

Stabilire quali funzioni sono o1 in U 0
f x 
  un infinitesimo

f
x


Lim

0
deve
essere



x0
1
f x  x; x 2 ; x ;ln 1 x ;e x 1;......




Proprietà dell’“o piccolo”
o f   k o f   ok f  k  R, k  0
go f   ogf  g definita e diversa da 0 in U(c)
o f  o f   o f 

Nota bene: o f   o f   0

f  og  f a  og a  a  R
f  og  e f  oe g  se: Lim gx   
xc

2
2

f x   x 2  4 x  x  f x   x  ox  in U 
 x  in
f x   x 2  4 x  x  f x   x  o

U0
Teorema degli Infiniti e degli infinitesimi
f ; f1;g;g1
Contemporaneamente infiniti o infinitesimi
in un intorno di c
Se f1  o f 
f x   f1x 
f x 
Lim
 Lim
allora
x  c gx   g x 
x  c gx 
Se g1  og
1

x 3  ln x 2
x3
Lim
 Lim 3  1
3
x


x   x

xx
x
x  x2
Lim
 Lim 3\ 2  
x0 x x  x4
x0 x





Stabilire se è possibile risolvere i seguenti limiti e in caso
affermativo risolverli
x 5  ox 5 
x5
Lim 3
 Lim
 
5
x   2x  o x
x   o x 5
 
 
ox 5  sono infiniti del tipo x a con 0  a  5
2x 3  ox 5  ox 5 
ox 5   ox 5 

x 5  ox 6  
? 
Lim 5
 Lim 5 
3
x   2x  o x
  x   2x
ox 6  potrebbe contenere infiniti del tipo x a con 0  a  6
ma non abbiamo la certezza che ci sia una potenza >5
 5
3
ox   ox 


Stabilire se è possibile risolvere i seguenti limiti e in caso
affermativo risolverli
x 5  ox 5 
5
x
Lim 3
 Lim 3  0
5
x  0 2x  o x
  x  0 2x
ox 5  sono infinitesimi del tipo x a con a  5

ox 5   ox 3 

 x 5
x 5  ox 6 
x 5
 Lim 
Lim 5
 Lim
3
3
x  0 2x  o x
  x  0 ox  x  0 ?
ox 6  contiene infinitesimi del tipo x a con a  6
2x 5  ox 3  ox 3  ox 3   ox 3 

3

ox  contiene infinitesimi del tipo x a con a  3


ma non abbiamo la certezza che ci sia una potenza <5
Asintotico “  ”
Siano f e g entrambi infiniti o infinitesimi per x c
si dice che f è “asintotica” a g in un intorno di c se:

f x 
Lim
1
x  c gx 
f g
in Uc

x
x  x3
3
2
Lim

1
Lim

in U0
x

x

x

x
2
x0 x
x0 x  x


5x  3x 2
3x 2
2
2
x
in U 
5x

3x

3x

e
Lim 2 x  Lim 2  1
x   3x  e
x   3x



Nota bene: essere “asintotici” è una proprietà locale



Proprietà dell’“asintotico”
f g g f
Lim f x   L1 Lim gx  L2 e f  g  L1  L2
xc
xc
f  g  f  g  og
f  g  f a  g a a  R 



f  g  ln f  ln g tranne il caso in cui Lim f x  1
xc


Esercizio
f x  x 2  3x 3 gx  3x 3  ex  ln x 5
U  e in
f  g in
Stabilire se
U  0
x 2  3x 3
3x 3
Lim 3 x
f  g in U 
5  Lim
3 1 
x   3x 
x   3x
 e  ln x

0  3 0
x2  3x 3
0

f
non

g
Lim 3 x



0

in
U
0

0

5
x  0 3x  e
0 e  ln 0
 ln x


 

Stabilire se sono asintotiche in U 0 le seguenti funzioni
f x   x x  x 3  x 2 
gx  x 2e x 1  x 4  3x x

 
f x 
Lim
1 ?
x  0 gx 
x x  ox 3 / 2 

x xx x
1
Lim 2 x 1
 Lim
 
4
3
/
2
x0 x e
3
 x  3x x x  0 3x x  ox 

3
2
NO