12 aprile 2005
Approximate Dynamic Factor Models:
sviluppi della teoria e applicazioni –
parte prima
Andrea Brasili
Strategie e Studi – UniCredit Banca d’Impresa
1
12 aprile 2005
Indice
• Stock-Watson papers on diffusion indexes
• Empirical
application:
inflation
or
IP
forecasts
• Determining the number of factors: Bai-Ng
•Empirical
application:
common
and
local/industrial components
• A digression: the EM algorithm
• Primi cenni: principal components in the
frequency domain
2
12 aprile 2005
Dynamic factor model
C’è una crescente
letteratura che cerca di
rispondere alla questione di come riassumere le
informazioni contenute in cross section ampie.
Due metodologie:
Stock e Watson (1999)
componenti principali “statiche”
Forni Hallin Lippi Reichlin (1999)
componenti principali dinamiche
3
12 aprile 2005
Dynamic factor model
Si tratta sostanzialmente di riassumere
l’informazione contenuta nelle serie disponibili
in uno spazio più piccolo. Favero Marcellino
(2003) mostrano che non vi sono differenze di
performance sostanziali tra i due approcci
quando lo scopo è generare un indicatore a
scopo previsivo (es. Forecasting inflation SW
1999)
4
12 aprile 2005
Dynamic factor model
Xt = ΛFt + et
di dimensioni
(N*T) = (N*r) * (r*T) + (r*T)
Con la finalità di prevedere
Yt+1 = β’Ft + εt+1
5
12 aprile 2005
Dynamic factor model II
Per la stima è necessario risolvere questo
problema di ottimizzazione:
V(k) = min(NT)-1ΣNi=1 ΣTt=1 (Xit – λ’kiFkt)2
s.t.
Λk’Λk/N = Ik or Fk’Fk/T = Ik
6
12 aprile 2005
Dynamic factor model III
…concentrating
out Λk this is equal to
V(k) = max tr(Fk’(XX’)Fk)
La matrice dei fattori stimati è uguale a √T che
moltiplica i k più grandi autovalori di XX’.
Stimata F, Λ sarà data semplicemente da
Λ = (Fk’Fk)-1Fk’X
7
12 aprile 2005
Dynamic factor model IV
Xt = Commont + idiosynct
Xt = ΛFt + et
Questo, seguendo SW 1999, ricomprende la più
generale rappresentazione in cui
F0t = (ft, ft-1….. ft-q)
Tenendo presente che in ogni caso i fattori non
sono identificati, cioè vale
Xt = ΛG’GFt + et dove G’G = I
8
12 aprile 2005
Dynamic factor model II
yht+h = β0 + Σmj=1β’0Ft-j+1 + Σpj=1βγjzt-j+1 + εht+h
Four differences rispetto alla slide 5: dependent
variable in h-step growth; lags of z (lagged
transformed values of the variable of interest);
there is an intercept; m-i lags of Ft (the
estimated factors) are introduced.
9
12 aprile 2005
Riferimenti bibliografici
•
J. Bai, S. Ng, (2002), Determining the number of factors in approximate factor models, Econometrica, Vol. 70, N 1, pp. 191-221
•
J. H. Stock, M.W. Watson, (1989), New indexes of coincident and leading economic indicators, “NBER macroeconomics Annual”, 4, pp
351-393;
•
J. H. Stock, M.W. Watson, (1999), Diffusion indexes, “NBER WP 6702”
•
J. H. Stock, M.W. Watson, (1999), Forecasting inflation, Journal of monetary economics 44. pp.293-335
•
J. H. Stock, M.W. Watson, (2004), Forecasting with many predictors, prepared for the Handbook of economic forecasting
•
Camacho M. and I. Sancho (2003) “Spanish diffusion indexes”, Spanish economic review, Vol. 5, No. 3, 2003, pp. 173-203
•
Angelini E., J Henry, R. Mestre (2001) “Diffusion index-based forecasts for the euro area”, ECB Working Paper num. 61, April 2001.
10
12 aprile 2005
Applicazione 1: la previsione
dell’inflazione o della produzione
industriale
11
12 aprile 2005
Data set
Prezzi
IT CPI EXCLUDING TOBACCO (FOI) NADJ
IT CPI - ALCOHOLIC BEVERAGES, TOBACCO & NARCOTICS NADJ
IT CPI - CLOTHING & FOOTWEAR NADJ
IT CPI - COMMUNICATIONS NADJ
IT CPI - EDUCATION NADJ
IT CPI - ENERGY NADJ
IT CPI - FOOD & NON ALCOHOLIC BEVERAGES NADJ
IT CPI-FURNISHINGS & HOUSEHOLD EQUIPMENT & MANTNC. OF HOUSE NADJ
IT CPI - GOODS (OVERAL INDEX EXCLUDING SERVICES) NADJ
IT CPI - RESTAURANTS & HOTELS NADJ
IT CPI - HEALTH NADJ
IT CPI - MISCELLANEOUS GOODS & SERVICES NADJ
IT CPI - RECREATION AND CULTURE NADJ
IT CPI - TRANSPORT NADJ
IT CPI - HOUSING, WATER, ELECTRICTY, GAS & OTHER FUELS NADJ
IT PPI: FOOD PRODUCTS BEVERAGES & TOBACCO NADJ
IT PPI: TEXTILES & TEXTILE PRODUCTS NADJ
IT PPI: LEATHER & LEATHER PRODUCTS NADJ
IT PPI: WOOD, WOOD PRODUCTS & CORK EXCEPT FURNITURENADJ
IT PPI: PULP,PAPER & PAPER PRODUCTS - PUBLISHING & PRINTING NADJ
IT PPI: COKE, REFINED PETROLEUM PRODUCTS & NUCLEAR FUEL NADJ
IT PPI: CHEMICALS, CHEMICAL PRODUCTS & MAN-MADE FIBRES NADJ
IT PPI: RUBBER & PLASTIC PRODUCTS NADJ
IT PPI: OTHER NON-METALLIC MINERAL PRODUCTS NADJ
IT PPI: BASIC METALS & FABRICATED METAL PRODUCTS NADJ
IT PPI: MACHINERY & EQUIPMENT - OTHER NADJ
IT PPI: ELECTRICAL & OPTICAL EQUIPMENT NADJ
IT PPI: TRANSPORT EQUIPMENT NADJ
IT PPI: FURNITURE MANUFACTURING - OTHER NADJ
IT PPI: FURNITURE MANUFACTURING NADJ
Produzione industriale
Intermedi
strumentali
consumo durevoli
consumo non durevoli
Consumo
Energia
Estraz.minerali
Attività manifatturiere
Alimentari
Tessile
Calzature
Legno
Carta
Coke
Chimica
Gomma
Non-metalliferi
Metallurgia
Macchine
Elettronica
Mezzi trasp.
Altre
Mobili
Energia
Totale
...altro
IT REAL EFFECTIVE
ITL
ITALY INTERBANK 3
IT GOVERNMENT BO
m3
BRENT
fat_tot
fat_totsa
fat_dom
fat_domsa
fat_est
fat_estsa
ord
ordsa
ord_dom
ord_domsa
ord_for
ord_forsa
IT IMPORT VOLUME
IT IMPORTS CIF CUR
IT EXPORT VOLUME
IT EXPORTS FOB CU
12
12 aprile 2005
Data set
Per un totale di 73 serie, dal 1991:2 al 2005:1
(wow! very up-to-date!).
I dati sono a frequenza mensile e il campione è
balanced, completo, non ci sono NA.
N<T ma sono entrambi abbastanza grandi (with
respect to empirical applications in literature).
13
12 aprile 2005
Bai and Ng criteria
Per determinare il numero di fattori da utilizzare
è ormai consolidato l’utilizzo dei criteri di Bai ed
Ng. Questi sono basati sulla formulazione di una
funzione di penalty che introduca un costo per
l’overfitting, nell’ipotesi (certa) che un modello
con k+1 fattori non possa adattarsi ai dati meno
bene di uno con k.
Due famiglie di criteri,
PCp (panel Cp criteria)
ICp (information Cp criteria)
14
12 aprile 2005
Bai and Ng criteria
PC(k) = V(k,Festk)+kg(N,T)
PCp (panel Cp criteria)
ICp (information Cp criteria)
PCp1(k) = V(k,Festk)+kσest(kmax)2((N+T)/NT)ln(NT/(N+T))
ICp1(k) = ln(V(k,Festk))+k((N+T)/NT)ln(NT/(N+T))
15
12 aprile 2005
Bai and Ng criteria
Factors
pcp1
pcp2
pcp3
icp1
icp2
icp3
1
0.79001
0.79362
0.78055
-0.20986
-0.20271
-0.22857
2
0.74513
0.75236
0.72621
-0.25147
-0.23718
-0.28889
3
0.7329
0.74374
0.70452
-0.25436
-0.23292
-0.31049
4
0.73047
0.74492
0.69263
-0.24675
-0.21817
-0.32159
5
0.73111
0.74918
0.68381
-0.23834
-0.20261
-0.33189
6
0.73348
0.75516
0.67672
-0.23129
-0.18841
-0.34355
16
12 aprile 2005
applicazione 1
• Quanta varianza spiegano i fattori comuni?
• Cosa accade utilizzando più lags delle variabili
nel data set?
• A quali serie sono legati i fattori?
• Come si formula il modello previsivo?
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12 aprile 2005
Matlab
E-views
18
0.6
-0.1
IT CPI EXCLUDING
IT CPI IT CPI - CLOTHING
IT CPI IT CPI IT CPI - ENERGY
IT CPI - FOOD &
IT CPIIT CPI - GOODS
IT CPI IT CPI - HEALTH
IT CPI IT CPI IT CPI IT CPI - HOUSING,
IT PPI: FOOD
IT PPI: TEXTILES &
IT PPI: LEATHER &
IT PPI: WOOD,
IT PPI:
IT PPI: COKE,
IT PPI:
IT PPI: RUBBER &
IT PPI: OTHER
IT PPI: BASIC
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
Intermedi
strumentali
consumo durevoli
consumo non
Consumo
Energia
Estraz.minerali
Attività
Alimentari
Tessile
Calzature
Legno
Carta
Coke
Chimica
Gomma
Non-metalliferi
Metallurgia
Macchine
Elettronica
Mezzi trasp.
Altre
Mobili
Energia
Totale
IT REAL
ITL
ITALY INTERBANK
IT GOVERNMENT
m3
BRENT
fat_tot
fat_totsa
fat_dom
fat_domsa
fat_est
fat_estsa
ord
ordsa
ord_dom
ord_domsa
ord_for
ord_forsa
IT IMPORT
IT IMPORTS CIF
IT EXPORT
IT EXPORTS FOB
12 aprile 2005
0.9
0.8
0.7
Factor1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
19
-0.05
IT CPI EXCLUDING
IT CPI IT CPI - CLOTHING
IT CPI IT CPI IT CPI - ENERGY
IT CPI - FOOD &
IT CPIIT CPI - GOODS
IT CPI IT CPI - HEALTH
IT CPI IT CPI IT CPI IT CPI - HOUSING,
IT PPI: FOOD
IT PPI: TEXTILES
IT PPI: LEATHER &
IT PPI: WOOD,
IT PPI:
IT PPI: COKE,
IT PPI:
IT PPI: RUBBER &
IT PPI: OTHER
IT PPI: BASIC
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
Intermedi
strumentali
consumo durevoli
consumo non
Consumo
Energia
Estraz.minerali
Attività
Alimentari
Tessile
Calzature
Legno
Carta
Coke
Chimica
Gomma
Non-metalliferi
Metallurgia
Macchine
Elettronica
Mezzi trasp.
Altre
Mobili
Energia
Totale
IT REAL
ITL
ITALY INTERBANK
IT GOVERNMENT
m3
BRENT
fat_tot
fat_totsa
fat_dom
fat_domsa
fat_est
fat_estsa
ord
ordsa
ord_dom
ord_domsa
ord_for
ord_forsa
IT IMPORT
IT IMPORTS CIF
IT EXPORT
IT EXPORTS FOB
12 aprile 2005
0.35
0.3
Factor2
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
20
-0.05
IT CPI EXCLUDING
IT CPI IT CPI - CLOTHING
IT CPI IT CPI IT CPI - ENERGY
IT CPI - FOOD &
IT CPIIT CPI - GOODS
IT CPI IT CPI - HEALTH
IT CPI IT CPI IT CPI IT CPI - HOUSING,
IT PPI: FOOD
IT PPI: TEXTILES
IT PPI: LEATHER &
IT PPI: WOOD,
IT PPI:
IT PPI: COKE,
IT PPI:
IT PPI: RUBBER &
IT PPI: OTHER
IT PPI: BASIC
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
IT PPI:
Intermedi
strumentali
consumo durevoli
consumo non
Consumo
Energia
Estraz.minerali
Attività
Alimentari
Tessile
Calzature
Legno
Carta
Coke
Chimica
Gomma
Non-metalliferi
Metallurgia
Macchine
Elettronica
Mezzi trasp.
Altre
Mobili
Energia
Totale
IT REAL
ITL
ITALY INTERBANK
IT GOVERNMENT
m3
BRENT
fat_tot
fat_totsa
fat_dom
fat_domsa
fat_est
fat_estsa
ord
ordsa
ord_dom
ord_domsa
ord_for
ord_forsa
IT IMPORT
IT IMPORTS CIF
IT EXPORT
IT EXPORTS FOB
12 aprile 2005
0.3
0.25
Factor3
0.2
0.15
0.1
0.05
0
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12 aprile 2005
Applicazione 2: estrazione di componenti
comuni e componenti nazionali da un
indicatore di rischiosità
22
12 aprile 2005
How to disentangle common
and idiosyncratic components
(Yt )   Ft   t
Where Y is our cross section of n elements (regional activity indicators, or
industry-specific indicators, or firms’ balance sheet data)
And F are the common factors (r << n)
(Yt )  E  N  I
ij
ij
t
ij
t
ij
t
23
12 aprile 2005
Co-movements in EU banks’ fragility:
a dynamic factor model approach
Andrea Brasili – Giuseppe Vulpes
UniCredit Banca d’Impresa
Research Department
1st ICEEE
Venice 24-25 January 2005
24
12 aprile 2005
Riferimenti bibliografici
•
Forni M. and L. Reichlin (1998) “Let’s Get Real: A Dynamic Factor Analytic Approach to Disaggregated Business Cycle”, Review of
Economic Studies, 65, pp. 453-473
•
Forni M. and L. Reichlin (2001) “Federal Policies and Local Economies: Europe and the US”, European Economic Review 45 pp 109134.
•
Forni M., M. Hallin, M. Lippi and L. Reichlin (2000) “The Generalised Dynamic Factor Model: Identification and Estimation”, The
Review of economics and statistics 82 pp 540-554
•
Pain D. and J. Vesala (2004) “Driving factors of credit risk in Europe”, mimeo, European Central Bank
•
Vulpes and Brasili
25
12 aprile 2005
Applicazione 3: estrazione di componenti
comuni e componenti locali/settoriali
26
12 aprile 2005
SECTORIAL
ANALYSIS
The role of the European, Sectorial,
National and Idiosyncratic components in
the New Europe industrial sector dynamics
27
12 aprile 2005
A digression: the EM algorithm
28
12 aprile 2005
EM algorithm
Nel caso di variabili mancanti o serie
incomplete, se si dispone cioè di un panel non
bilanciato, la stima diviene:
V†(F, Λ) = min(NT)-1ΣNi=1 ΣTt=1 Iit(Xit – λ’kiFkt)2
dove Iit = 1 se Xit è osservato, 0 altrimenti. La
J-esima iterazione è calcolata come
Q(X†,Fj-1,Λj-1,F,Λ) = EF ,Λ [V(F, Λ)|X†]
j-1
j-1
29