Esercizio: calcola l’ordine di infinitesimo della funzione
5
f x   sin x  ln 1 x   1  x 1  x per x 0
2
Utilizziamo gli sviluppi di Taylor-Mac Laurin
1 2 1 3 1 4
ln 1 x   x  x  x  x  ox 4 
2
3
4
1 3 1 5
sin x  x   x   x  ox 5 
3!
5!
1
1 2 1 3
5 4
1 x 1 x   x   x 
x  ox 4 
2
8
16
128
 1

5
f x  x  ox   x  ox  1  x  ox1  x per x 0
 2

2
1
5
f x   x  x  1 x 1  x  ox  per x 0
2
2
f x   ox  per x 0
1
è necessario procedere oltre con gli sviluppi
 1

5
f x  x  ox   x  ox  1  x  ox1  x per x 0
 2

2
 1

1 3
1 2
1 2
5
3
2
2
f x   x  x  ox  x  x  ox  1  x  x  ox 1  x
 2

6
2
8
2
1 3
1 2
1 2
3
2
f x    x  ox  x  ox  x  ox 2 
6
2
8
3 2
1 3
2
f x    x  ox  x  ox 3 
8
6
3 2
f x    x  ox 2 
8
f x  è inf initesimo del 2 ordine per x 0 rispetto a x
2
Esercizio: calcolare il seguente limite
1 2
1 2 1 3 1 4
x
e 1  sin x  x
e  1 x  x  x  x  ox 4 
2
2
3!
4!
Lim
1
1 2
1 3 1 5
x0
1  x 1 x  x
sin x  x   x   x  ox 5 
2
8
3!
5!
Utilizziamo gli sviluppi
di Taylor-Mac Laurin

1
1 2 1 3
5 4
1 x 1 x   x   x 
x  ox 4 
2
8
16
128


 1 3
 1 2
1 2
2
3
1 x  x  ox 1  x  x  ox  x


 6
 2
2
Lim
 1

x0
1 2
1
1 2
2
1  x  x  ox 1 x  x
 2

8
2
8
1 3
2
ox  x  ox 3  Dobbiamo sviluppare ulteriormente
6
gli sviluppi di Taylor-Mac Laurin
Lim
x0
ooxx2 2 
perché non è possibile risolvere in
modo inequivocabile il limite!!!!
3
x
1 2 1 3 1 4
1 3
x
4
3
e

1
x

x

x

x

o
x
 
ox  x  ox 
2
3!
4!
6
Lim
1
1 2 1 3
5 4
x0
ox 2 
1 x 1 x   x   x 
x  ox 4 
2
8
16
128
1 3
1 3
2
3
2
3
o
x


x

o
x





ox    x  ox 
16
6
1 3
1 3
1 3
3 1 3
3
3
x
x  ox  x  ox 
x  ox 
16
3
6
6
3
 Lim

Lim
 Lim
1
x

0
1 3
1
x0
x

0
3
 x3
 x  ox 3 
 x 3  ox 3 
16
16
16
2



4
Considerazione importantissima
Sia Qx un polinomio tale che : Q0  0
allora a partire dalla formula di Taylor-Mac Laurin di f di
ordine n, si può scrivere la seguente uguaglianza:
2
3
f 0
f 0
f Qx   f 0  f 0Qx  
Qx  
Qx  ......... 


2
3!
n
n
f n 0
..... 
Qx   o Qx 
x 0

n!


 Qx  x 2  x  Q0  0
1 2 1 3 1 4
x
e  1 x  x  x  x  ox 4 
2
3!
4!
2
3
4
4
1 2
1 2
1 2
x 2 x
2
2
e

1 x  x  x  x   x  x   x  x   o x  x 
2
3!
4!
f x   e
x 2 x

5

Esercizio: calcolare il seguente limite
3x  ox   2x  ox   x
sin 3x  ln 1  2x   x
 Lim
Lim
2
x
x
2
x  0 1 x  x 2  o x  x 2 1  x  x 2
x0
   
e
1  x  x
1 3 1 5
sin x  x   x   x  ox 5 
3!
5!
1
1
3
5
5
 sin 3x   3x 
  3x    3x   o 3x 
3!
5!
1 2 1 3 1 4
ln 1 x   x  x  x  x  ox 4 
2
3
4
1
1
1
2
3
4
4
 ln 1 2x   2x   2x   2x   2x   o 2x 
2
3
4
1 2 1 3 1 4
x
e  1 x  x  x  x  ox 4 
2
3!
4!
1
1
1
x x 2
2
2 2
2 3
2 4
2 4
e
 1 x  x  x  x   x  x   x  x   o x  x 
2
3!
4!
ox 
 Lim
?
2
x0 o x  x
6
 






andiamo oltre con gli sviluppi
ox 
sin 3x  ln 1  2x   x
 Lim

Lim
2
2
x
x
2
x

0
x0
ox  x 
e
1  x  x
1
1
3
2
3
 3x   ox  2x   ox 2 
2
Lim 6
1
x0
2 2
2 2
x  x  o x  x 

2
2x 2  ox 2 
2x 2
 Lim
Lim
 4
1
x

0
x0 1
2
2
4
3
2
4
3
x
x

x

2x

o
x

x

2x




2
2
1
1
3
5
5
 sin 3x   3x    3x    3x   o 3x


3!
5!
1
1
1
2
3
4
4

 ln 1 2x   2x   2x   2x   2x   o 2x 
2
3
4
1
1
1
x x 2
2
2 2
2 3
2 4
2 4
e
 1 x  x  x  x   x  x   x  x   o x  x 
2
3!
4!
7










esercizio
Si scriva la formula di Taylor di ordine 2, con resto di Peano,
della seguente funzione
x 2 1
f x  
x 1
f 2  5
in x 0  2
Per prima cosa è facile osservare che la funzione è
derivabile infinite volte in x 0  2

f x 0 
2
2
P2 x  f x 0  f x 0 x  x 0 
x  x 0   ox  x 0 

2
2
2
x
 2x 1
2x x 1 1
x
1


 f 2  1

f
x




f x  
2
x 1
x 12
2x  2x 1  2x 1x 2  2x 1
2
f x  
x 1
4


4x  4
 f x  
4
x 1
8
4x  4
4
4
 f x  
4 
3  f 2 
3 4
x 1 x 1
2 1
Possiamo allora scrivere il polinomio di Taylor per la
funzione
f 2
2
2
P2 x   f 2  f 2x  2 
x

2

o
x

2

 

2

f 2  5 f 2  1 f 2  4
4
2
2
P2 2  5 1x  2  x  2  ox  2
2
2
P
2

5

x

2

2x
 8  8x  ox  2



2
2
P2 2  15  9x  2x  ox  2
2
2
x 2 1
2
2
 15  9x  2x  ox  2 per x 2
x 1
9
esercizio
Calcolare il seguente limite:
x 2 1
15  9x  2x 2 5 15 18  8 0


Lim x 1
3
3
x2
0
2  2
x  2
Sappiamo che
x 2 1
2
 15  9x  2x 2  ox  2 per x 2
x 1
2
2
15  9x  2x 2  ox  2 15  9x  2x 2
ox  2
Lim
 Lim
3
3
x2
x  2 x  2
x  2
Limite al quale non siamo in grado di dare un risultato
definitivo. Occorre esplicitare il numeratore, aumentando
l’ordine del polinomio di Taylor 
10
4
12
f x  
x   
3  f 
x 1
x 14
 f 2  12
Possiamo allora migliorare il polinomio di Taylor per la
funzione
 3
f
2


2
3


ox  2 
x  2  ox  2
3!
2
3
3
2
ox  2  2x  8  6x 12x ox  2
ox  2  2x 12x  24 x 18  ox  2
2
3
o x  2 
2
Lim
x2
x  2
3

3
2
2x 3 12x 2  24 x 18  ox  2
3
 Lim
x2
x  23
2
 
0

11
esercizio
1
1 2
3
f
x

2

x

x

o
x
per x 0


Sapendo che:


2
3
Determinare:
f 0 f 0 f 0 f 0
Nel caso in cui la
 funzione sia almeno tre volte derivabile in
un intorno di zero
f n 0 n
 
 f
0 2
f x   f 0  f 0x 
x .... 
x  ox n 
2
n!
1
f 0  2 f 0 
2
2
f 0
1
   f x   
3
2
3
f
0  0

12
esercizio
Si determini l’ordine di infinitesimo di
f x  e sin x  ln 1 x 1 per x 0
Lim f x  0
x0
rispetto al campione gx  x
f x 

se Lim   k  0  f ha ordine
 rispetto a x
x0 x
1 
1 3 1 4
x
2
e  1 x  x  x  x  ox 4 
2
3!
4!
1
1
1
2
3
4
4
sin x
e  1 sin x  sin x   sin x   sin x   o sin x 
2
3!
4!
1 3 1 5
sin x  x   x   x  ox 5 
3!
5!

e sin x

2
2 






1 3
1
1
1
 1 x   x  ox 3  x   x 3  ox 3   ox   x 3ox 2  
 3!
 2  3!
  3!
 
13
e sin x
e
2
2 






1 3
1
1
1
 1 x   x  ox 3  x   x 3  ox 3   ox   x 3ox 2  
 3!
 2  3!
  3!
 
sin x
1 3 1 2 1 6 1 4
 1 x  x  x 
x  x  ox 2 
6
2
72
6
1 2 1 3 1 4
ln 1 x   x  x  x  x  ox 4 
2
3
4
f x 
e sin x  ln 1 x  1
Lim   Lim


x0 x
x0
x
1 2 1 3
1 2
3
1 x  x  x  ox  x  x  ox 2 1
2
6
2
Lim


x0
x

Lim
x0
x 2  ox 2 
x

1  k  0    2
14