Progressioni
aritmetiche
descrizione
elementare
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire
una scala dal piano a1=0 a livello a8 = 16 ?
K=2
Usando mattoni di diverso colore per ogni gruppo verticale
quanti mattoni per ogni gruppo si devono usare ?
16
14
12
10
8
6
4
2
0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire
una scala dal piano a1=0 a livello a8 = 16 ?
K=2
Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 9*(0+16)/2= 72
Numero mattoni 72/ 2 = 36 K
16
14
12
a1=0k=0
a2=1k=2
a3=2k=4
a4=3k=6
a5=4k=8
a6=5k=10
a7=6k=12
a8=7k=14
a9=8k=16
sn = 36k
10
8
6
4
2
0
a1
a2
a3
0
1
2
a4
a5
3
4
a6
5
a7
6
Mattoni per
scalino
e altezza
a8
a9
7
8
mattoni k
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire
una scala dal piano a1=0 a livello a5 = 16 ?
Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 5*(0+16)/2= 40
Numero mattoni 40/ 4 = 10 K
K=4
16
a1=0k=0
a2=1K=4
a3=2k=8
a4=3k=12
a5=4k=16
sn = 10k
12
8
8
6
4
4
0
a1
a2
a3
0
1
2
a4
3
Mattoni per
scalino
e altezza
a5
4
mattoni k
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire
una scala dal piano a1=4 a livello a3 = 16 ?
Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 4*(4+16)/2= 40
K=4
16
Numero mattoni 40/ 4 = 10 K
Sottraendo 4 mattoni della base:6 k
12
8
Mattoni per
scalino
e altezza
4
a1=0k=4
a2=1K=8
a3=2k=12
a4=3k=16
sn = 6k
0
a1
a2
a3
0
1
2
a4
3
mattoni k
concludendo



Il numero di mattoni necessario varia
In funzione del livello iniziale dal quale
si inizia la costruzione a1
e dal livello finale an
E dallo spessore dei mattoni k
La differenza tra due termini contigui risulta costante :ragione , k
Ogni termine si può ottenere aggiungendo
la ragione al termine precedente
16
14
12
10
8
6
2
4
Ragione k
2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
an(8)
termini
Ogni termine può essere ottenuto aggiungendo al primo, k ,
un numero di volte pari alla differenza tra l’indice del termine
e l’indice del primo termine a1
Es. a6 = a1 + (6-1)*k…….a8= a1 + (8-1)*k an = a1 +(n-1)*k
16
14
12
10
8
6
2
4
Ragione k
2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
an(8))
termini
Il termine ennesimo della progressione aritmetica
si può calcolare con la formula
an = a1 + (n-1)*k
a6 = 2 + (5)*2 = 12 .a8= 2 + (7)*2=16
a8=2+7k =16
16
14
a7 = 2+6k=14
12
a6=2+5k=12
10
a5=2+4k=10
8
A4=2+3k=8
6
2
4
2
a1
Ragione k
2
2
a2
a3
2
a4
2
a5
2
a6
2
2
a7
a8
termini
Il primo termine , a1, della progressione aritmetica
si può calcolare con la formula
a1 = an - (n-1)*k
a1 =a8 - (8-1)*2 = 16 – (7)*2 = 2
16
a1= a5-(5-1)*k = 10-(4)*2=2
14
12
10
8
6
2
4
Ragione k
2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
termini
Conoscendo il valore dei termini estremi della
progressione a1, an, e il numero dei termini, n,
è possibile calcolare la ragione k
k = (an –a1) / (n-1)… (a8-a1) /(n-1) = (16-2)/(8-1)= 14/7=2
K =(a6-a1)/(n-1) = (12-2)/(6-1)=10/5 = 2
16
14
12
10
8
6
2
4
Ragione k
2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
termini
Conoscendo il valore dei termini estremi della
progressione a1, an, e la ragione k
è possibile calcolare il numero totale dei termini n
n = ((an-a1)/k)+1
N = ((a8-a1)/k)+1 = (16-2)/2)+1 = 8
16
14
12
10
8
6
2
4
Ragione k
2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
termini
Osservazione:la somma dei termini equidistanti dagli
estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini
estremi (a1+a9)=(a2+a8)=(a3+a7)=(a4+a6)=16
K=2
16
16
16
10
16
16
2
0
a1
12
10
6
4
14
8
6
4
2
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Osservazione:la somma dei termini equidistanti dagli
estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini
estremi (a1+a9)=(a2+a8)=(a3+a7)=(a4+a6)=16
K=2
Sn = 16*4+8 = 72 …Sn = n*((a1+a9/2) =9*8= 72
16
16
16
10
16
16
2
0
a1
12
10
6
4
14
8
6
4
2
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
La somma di n termini si ottiene moltiplicando il numero n
dei termini per la semisomma degli estremi
Sn = n * ((a1+an)/2)
K=2
Sn = n*((a1+a9/2) =9 *((0+16/2)=72
16
16
16
10
16
16
2
0
a1
12
10
6
4
14
8
6
4
2
a2
a3
a4
a5
36 k * 2 = 72
a6
a7
a8
a9
Inserimento di h medi aritmetici tra due termini assegnati x, y :h=3
Calcolo la ragione con la formula k = (an-a1)/(n-1)
numero termini totale risulta 2 ( x,y) + h = h+2
quindi (n-1) = (h+2-1) = h+1
k = (y –x) /(h+1)
K =(y-x)/(h+1) = (14-6)/(3+1) = 2
m1= x+k =6+2=8
m3
m2=x+2k=6+2*2=10
m2
m1
m3=x+3k=6+3*2=12
X=6
6
Y=14
8
10
12
14
Inserimento
a8=y+k = 14+2
di 3 medi
= 16aritmetici tra due termini assegnati
interni
a9=y di
+ una
2k =progressione
14+2*2 =18aritmetica :x=6, y=14
completare
a10 = y + la
3kprogressione
= 14+3*2=20
per un totale di 10 termini
K =(y-x)/(h+1) = (14-6)/(3+1) = 2
m1= x+k =6+2=8
m2=x+2k=6+2*2=10
m3=x+3k=6+3*2=12
m3
m2
a2=x-k=6-2=4
m1
a1=x-2k=6-4=2
a1
a2
X=6
a4
a5
a6
a3
2
4
6
Y=14
a8
a9
a10
18
20
a7
8
10
12
14
16
Fine descrizione
arrivederci