Lezione 10: Equazioni di Maxwell, energia e quantità di moto
del campo elettro-magnetico
Le equazioni di Maxwell
1873: “Trattato sull’elettricità e sul magnetismo”
legge di Gauss
per elettricità
 
E 
0
Descrizione
carica e campo
elettrico
legge di Gauss
per il magnetismo

B  0
campo magnetico
legge dell’induzione
di Faraday

B
 E  
t
legge di
Ampere-Maxwell
effetto elettrico di un
campo magnetico
variabile
 effetto magnetico di una
E corrente o di un campo
  B  0 j   0 0
elettrico variabile
t
Equazioni di Maxwell:
 non sono solo speculazioni teoriche
 rendono conto dei risultati sperimentali:
 
E 
0

B  0

B
 E  
t
  B  0 j 

E
 0 0
t
legge di Coulomb ( Eq1q2/r2 )
carica su un conduttore isolato si
dispone sulla superficie esterna
non esiste il monopolo magnetico
una sbarra magnetica spinta
attraverso una spira chiusa genera
corrente nella spira
filo percosro da corrente genera
campo magnetico
correnti di spostamento
Proprietà delle
equazioni di Maxwell
descrizione macroscopica di tutti i
fenomeni statici e dinamici di
elettro-magnetismo e ottica




j


 conservazione della carica
t
simmetria: termine corrente di
spostamento rende simili le
equazioni in

 E
e

 B
mentre restano asimmetriche
 
E 
0
e

B  0
N.B. eventuale scoperta del
monopolo magnetico
potrebbe essere incorporata
con facilità
esistenza delle onde elettromagnetiche
(Hertz 1888)
invarianza per tras. di Lorentz
Conservazione della carica
evidenza sperimentale:
 la carica elettrica si conserva
 per ogni carica positiva creata
si crea carica negativa uguale
Q
dQ

 I
dt
 
dQ

  j  n dS
S
dt
d

dt

V
dV   
V

dV 
t


 j  
t
V
S
I

V

  j dV
equazione di
continuità
conservazione locale della carica;
piu` forte della conservazione globale
(esempio: diminuisco di 1C la carica a Milano
aumento di 1C la carica a Parigi!!)
Energia del campo
elettromagnetico
0
UE 
2
UM 
2
E
 dV
1
2 0
2
B
 dV
energia elettrostatica
energia magnetostatica
campo elettromagnetico:
 nel vuoto:
conservazione locale dell’energia

DV
 
w
dV   S  n dS
S
t
w=densità di energia
S=flusso di energia per superficie unitaria
nella direzione di propagazione

w
S  
t
S
w
DV S
equazione di continuità
per l’energia
in presenza di cariche:
scambio di energia tra campo e materia
 
 F  vi 
N
lavoro del
campo
elettro-magnetico
sulle cariche
nell’unita` di tempo

i 1
   
 q(vi  B  E )  vi 
N
i 1
 N  
q  vi   E 
 i 1 
   
qN  v  E  j  E
principio di
conservazione dell’energia:
 
 
w

dV   S  ndS   E  j dV
DV t
S
DV
  
w

 S  E j
t
Cerco soluzione per w e S :
funzione solo di E e B
impongo le equazioni di Maxwell
w
0
E 
2
1
20

1  
S
EB
2
B2
0
possibile soluzione
(teorema di Poynting)
è la più semplice
altre espressioni:
diverse distribuzioni di energia nello spazio
il problema andrebbe
risolto sperimentalmente
(effetti previsti deboli e di difficile rivelazione)
Esempio di flusso di energia
carica di un condensatore
energia aumenta
U 

0
0
2
E (t ) 2  Volume
E (t ) 2 r0 h
2
2
dU
dE
 0E
r0 2 h
dt
dt
r0
h

campo dE/dt induce campo B:
 
d E
B  ds   0 I conc   0 0 dt
dE
2r0 B   0 0
r0 2
dt

dE
B  0 0 r0
2
dt

circuitazione
Ampere-Maxwell
 S è diretto verso l’ interno del condensarore
l’energia entra attraverso la superficie laterale
attraverso il campo elettromagnetico!!!
Quantità di moto
del campo elettromagnetico
 
E, B
forza elettro-magnetica
sulla carica dq:

  
dF   ( E  v  B)dV


F   dF
dV
S
dq  dV
forza totale
V
 
 
da equazioni
F   ( D  B)dV  0 di Maxwell
t V

GM  quantità di moto
meccanica



GM
F 

t






 
Gem   ( D  B)dV quantità di moto
V
elettromagnetica

  S dV
V


GM  Gem  costante
 per un sistema elettromagnetico isolato
si conserva la quantità di moto totale
Quantità di moto e pressione
di radiazione
onde elettromagnetiche trasportano
energia
quantità di moto

pressione (di radiazione)
su oggetto illuminato
1903 Nichols e Hull:
illumino oggetto per tempo t
con fascio di energia U
quantità di moto trasferita:
specchio
p  2
U
c
assorbitore p  U
c
il bilanciere ruota !!
 effetto piccolo (F10-10 N)
 importante nei cicli vitali delle stelle
Violazione del principio di
azione e reazione
(per le forze elettromagnetiche)
q1
q2
+ v1

sistema
isolato
F21
azione
q2 su q1
+

v2
 
q1v1  B2
 
+
q1 E2
i2
v1
B2
azione
q1 su q2


F12  F21
i1
B1
+


q2 E1 
F12
v2
quantità di moto delle due cariche
non si conserva
si conserva quantità di moto
complessiva (cariche + campo)
Paradosso di Feynman
(non conservazione del
momento angolare meccanico)
dispositivo:
disco di plastica
N biglie conduttrici su 
solenoide sull’asse con corrente I
t=0

r
sistema in quiete
L=0
 
 B   B  ndS
S
t0
S superficie
di contorno 
interrompo I:
B va a zero
B decresce nel tempo
su  appare una f.e.m.
 
d B
   E  ds  2rE

dt
su ogni pallina F=qE (tangente a )

L0
il disco ruota!!!