Lezione 13
L’atomo di He
Testo di riferimento
Alonso Finn
Fundamental University Physics
III Quantum and Statistical Physics
CD lezione 13
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
2
Atomo di He
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
3
Atomo di He
Non risolvibile
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
4
Atomo di He
Modello a particelle indipendenti
1
H  H1 (1)  H 2 (2) 
r12
H  H1 (r1 )  H 2 (r2 )
H 1 1  E  1 H 2  2  E  2
 (r1 , r2 )  1 (r1 ) 2 (r2 )
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
5
Atomo di He
Fattore di schermo
Z2
Eatom  2  2 13.6 eV
n
n  1 Z  2  Eatom  2  4 13.6  108.8 eV
Eatom ( sperimentale)  78.98 eV
Eatom
Z S

 2 
n
2
2
13.6 eV
S  0.32
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6
Atomo di He
Conseguenze dell’indistinguibilità dei due elettroni
2
1
A
2
B
1
 atomA   n1 ,l1 ,m1 ( x1 , y1 , z1 ) n2 ,l2 ,m2 ( x2 , y2 , z2 )  atomB   n ,l ,m ( x2 , y2 , z2 ) n ,l ,m ( x1 , y1 , z1 )
1 1
1
2 2
2
 atomA   atomB ???
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
7
Atomo di He
 atom   n ,l , m ( x1 , y1 , z1 )  n ,l , m ( x2 , y2 , z2 )   n , l , m ( x2 , y2 , z2 )  n , l , m ( x1 , y1 , z1 )
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
 atom   a (1) b (2)   a (2) b (1)
   a (1) b (2)   a (1)  b (2)   a (2)  b (1)
2
2
2
2
2
2
 simm   a (1) b (2)   a (2) b (1)
 antis   a (1) b (2)   a (2) b (1)
 simm 1, 2    simm  2,1
 antis 1, 2    antis  2,1
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
8
Atomo di He
Due elettroni possono trovarsi nello stesso posto?
Due elettroni possono nello stesso stato (a=b)?
 simm   a (1) b (2)   a (2) b (1)
 antis   a (1) b (2)   a (2) b (1)
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
9
Atomo di He
Spin totale dell’atomo di He
s1  s 2  S
S  s1  s2 ,..., s1  s2
S 1
S 0
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10
Atomo di He
Effetti dello spin sull’atomo di He
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
11
Atomo di He
ms1
+1/2
ms2
-1/2
Ms tot
0
S
0
+1/2
+1/2
1
1
-1/2
+1/2
0
1
-1/2
-1/2
-1
1
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
12
Atomo di He
1
A 
 (1) (2)   (2) (1)
2
  (1)  (2)

 1
 S      (1)  (2)    (2)  (1) 
 2
  (1)  (2)
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Ms  0
M s  1
Ms  0
M s  1
13
Atomo di He
La statistica di Fermi impone che la funzione d’onda
totale di particelle aventi spin ½ deve essere sempre
antisimmetrica
 tot   orbit antis  spin simm
 tot   orbit  simm  spinantis
Due elettroni possono trovarsi nello stesso posto?
Due elettroni possono trovarsi nello stesso stato (a=b)?
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14
Atomo di He
 tot   orbit  simm   spin  antis

 tot    a (1)  b (2)   a (2)  b (1)   

1





2
Se 1  2  tot  0
Se a  b  tot  0
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Fisica Atomica e Molecolare


(1)  (2)   (2)  (1)  
15
Atomo di He
 tot   orbit  antis   spin  sim
 tot    a (1)  b (2)   a (2)  b (1)    

(1)  (2) 

1

  (1)
 tot    a (1)  b (2)   a (2)  b (1)   
 2
 tot    a (1)  b (2)   a (2)  b (1)     (1)  (2) 



(2)   (2) 



Se 1  2  tot  0
Se a  b  tot  0
Francesco Adduci
Fisica Atomica e Molecolare
16

(1)  

Atomo di He
Le autofunzioni calcolate escludono sempre la
possibilità che due elettroni siano coincidenti.
I tre numeri quantici del primo elettrone (a)
possono essere uguali a quelli del secondo
elettrone (b) solo nel caso in cui i due spin degli
elettroni siano diversi.
In altri termini i due elttroni non possono mai
avere tutti e 4 i numeri quantici uguali.
Principio di esclusione di Pauli
Francesco Adduci
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17
E
(eV)
0
singoletto S=0
ns
1S
np
1P
tripletto S=1
nd
1D
ns
3S
np
3P
E
(eV)
nd
3D
singoletto
0
idrogeno n=4
-1
4
4
3
4
4
3
4
-1
3
3
-2
4
3
-2
3
idrogeno n=3
4s - 0,9
4p - 0,85
4d - 0,85
3s - 1,7
3p - 1,55
3d - 1,5
2s - 4,0
2p - 3,5
1s - 24,6
-3
-3
tripletto
2
2
-4
energie (eV)
-4
2
idrogeno n=2
2
-5
-5
-24.6
-24.6
1
4s - 1,0
4p - 0,9
4d - 0,85
3s - 2,0
3p - 1,7
3d - 1,55
2s - 4,8
2p - 3,7
E
(eV)
0
-1
singoletto S=0
ns
1S
np
1P
4
tripletto S=1
nd
1D
4
3
ns
3S
4
np
3P
4
3
-2
nd
3D
4
0
4
3
-2
3
4s - 0,9
4p - 0,85
4d - 0,85
3s - 1,7
3p - 1,55
3d - 1,5
2s - 4,0
2p - 3,5
1s - 24,6
-3
-3
tripletto
2
2
-4
energie (eV)
singoletto
-1
3
3
E
(eV)
-4
2
2
-5
-5
-24.6
-24.6
1
4s - 1,0
4p - 0,9
4d - 0,85
3s - 2,0
3p - 1,7
3d - 1,55
2s - 4,8
2p - 3,7