GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
Questa presentazione espone l’indagine relativa alla legge geometrico - descrittiva
retta e piano sviluppando il
secondo metodo cioè :
riguardante la condizione di parallelismo tra
Procedura 2. Parallelismo tra retta e piano impostato
sul parallelismo tra piani
L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva
Al termine dell’analisi si definisce un abaco di riferimento che comprende sia gli aspetti
teorici che quelli grafici che quelli concettuali.
La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa
spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi scritti da volgere e
sviluppare in forma di elaborati grafici.
La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli
elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo:
conoscenza, competenza e capacità.
Per approfondimenti consultare il sito
http://www.webalice.it/eliofragassi
GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
PARALLELISMO TRA RETTA
E PIANO IMPOSTATO SUL
PARALLELISMO TRA PIANI
Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/2009
da Laguardia Elisa della classe 3 C
del Liceo Artistico “G. Misticoni “ di Pescara
per la materia :
“Discipline geometriche”
Insegnante: Prof. Elio Fragassi
La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla
dott.ssa Gabriella Mostacci
Il materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI (1)
In aggiunta alla procedura discussa e basata sul parallelismo tra la retta data ed una retta del
piano, possiamo sviluppare anche analisi di verifica del concetto di parallelismo tra la retta r
ed il piano  sulla base delle leggi del parallelismo tra piani, come nel disegno di (Fig.23).
Determinate, pertanto, le
tracce T1s e T2s di una retta s
parallela alla retta data, per
queste conduciamo le tracce di
un piano  che, per
costruzione, deve essere
parallelo al piano dato , che
in forma sintetica si esprime
come s//. Per questo
dovrà essere t1 //t1 ed
anche t2 //t2.
Le rette così definite e qualificate come tracce di , si presentano graficamente
parallele ma non si caratterizzano come tracce di un piano in quanto non sono
incidenti la lt. Per questo motivo le due rette identificate come t1 e t2, pur
contenendo le tracce della retta s, parallela alla retta data, e costruite parallele
alle tracce del piano dato , non definiscono il piano  in quanto
t1   ; t2  
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI (2)
Si può, quindi, concludere che:
s   // 
[1]
perché le tracce di  non si caratterizzano come tracce di un piano
Avendo stabilito, per costruzione, poi,
r // s
[2]
operando gli scambi tra la [1] e la [2] si può sviluppare quanto di seguito
Se
r //s sostituendo nella [1] si ha r //s   //  quindi
r // s   // 
pertanto sarà
da cui, infine
r
r // s  
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI (3)
Oltre la verifica di cui sopra,
impostata sulla ipotesi
dell'appartenenza di r ad un
piano  parallelo al piano dato
 che, non si caratterizza
come piano; si può impostare
la dimostrazione
direttamente con le
condizioni di parallelismo tra
piani (Fig.24).
Applicando direttamente il concetto del parallelismo tra piani accade che per le
tracce della retta r( T1r ; T2r) si devono condurre due piani distinti  e g paralleli
al piano dato e contenenti ciascuno una sola traccia della retta.
Infatti il piano //  contiene solamente la T1r così come il piano g// contiene solo
la T2r.
Ne discende che i due piani  e g pur essendo paralleli al piano dato  non
contenendo la retta r rendono esplicito che i due elementi non sono tra loro
paralleli e, quindi la retta r è obliqua al piano  e viceversa il piano  è
obliquo alla retta r.
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI (4)
INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA
Resta così dimostrato che, poiché (r//),
ed anche (rg//) allora neanche la retta r
sarà parallela al piano  e quindi si deduce che
(r  )
In forma sintetica si ha:
r   // 
r
Continuando l’analisi grafica
della fig. 24 accade che se
definiamo per T1r la traccia
t1//t1, nel disporre,
graficamente, la traccia
t2//t2 questa non passa per
T2r; al contrario, se attuiamo
per T2r il parallelismo in modo
tale che sia t2g//t2, nel
definire graficamente la
traccia t1g//t1, riscontriamo
che questa non passa per T1r
e quindi non verifica la
condizione di appartenenza
tra retta e piano.
In entrambi i casi i piani  e g
costruiti parallelamente al
piano dato , non contengono
la retta data r.
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI (5)
INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA
t1 //t1
t2//t2
 //   s
r   //
T1r  t1
T2r  t2
r 
r //
Invece può accadere, come
nel disegno di Fig. 25, che,
dati gli elementi
geometricorappresentativi dei due
componenti r' ed r" per la
retta r e t1 e t2 per il
piano , costruendo per r
un piano  parallelo al piano
 dato questo verifichi,
oltre le condizioni di
contenenza tra  ed r,
anche le condizioni di
parallelismo tra il piano 
ed il piano .
In questa situazione si ha la
seguente formalizzazione deduttiva.
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI (6)
INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA
Ragionando sullo schema di cui sopra si riscontra che i due piani  e  si qualificano,
geometricamente, come piani paralleli generando una retta impropria s, quindi è //.
Inoltre il piano , costruito parallelo al piano dato , verifica la condizione geometrica della
inclusione della retta data r, quindi è r
Riunificando i due concetti ed eseguendo le relative sostituzioni simboliche si ha che la retta r
appartiene al piano  che, a sua volta, è parallelo al piano .
Da ciò ne discende, come conseguenza logica, che r//.
Sinteticamente si ha la seguente formalizzazione: r   //
r // 
Sulla base di queste risultanze si può enunciare la seguente legge descrittiva
Dati un piano ed una retta, se la retta data appartiene ad un piano
parallelo a quello dato, allora, e sola allora possiamo asserire che la retta è
parallela al piano
Ampliando questa definizione con il concetto di retta impropria si ha la seguente enunciazione
Dati una retta ed un piano, se la retta appartiene ad un piano che,
intersecandosi con il piano dato, genera una retta impropria, allora si può
asserire che gli elementi geometrici sono paralleli tra loro
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI (7)
PROCEDURA IMPOSITIVA O APPLICATIVA
Se la condizione geometrica in discussione deve essere imposta o applicata
nel corso di una elaborazione grafica; allora è necessario operare,
graficamente in modo tale che si verifichino le relazioni di cui si è discusso
al punto precedente. Pertanto perché una retta sia parallela ad un piano è
necessario che appartenga ad un piano che ha le tracce parallele alle tracce
del piano dato. Conseguentemente la definizione impositiva della condizione
in esame può essere espressa in forma verbale come di seguito.
Una retta è parallela ad un piano se appartiene ad un piano
parallelo a quello dato
Questa definizione verbale può essere espressa in forma sintetica nel
modo seguente
r // 
r     //
Questa enunciazione teorica può essere riassunta e sintetizzata con la seguente
formalizzazione applicativa in forma insiemistico - descrittiva
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA PIANI (8)
PROCEDURA IMPOSITIVA O APPLICATIVA
T1r  t1
T2r  t2
r//
r   // 
 

T1r  r  1 ; t1 
-
dove
T2r  r  2 ; t2 
 

-
    s
t1//t1T1s
dove
t2//t2T2s
La definizione può essere ampliata includendo
anche il concetto di retta impropria; allora si
ha la seguente enunciazione
t1 



t2 
 


 T ; t
1a
1
 T ; t
2a
2








T 
1r
T 
2r
T 
1r
T 
2r
Una retta è parallela ad un piano se per essa è possibile condurre un piano
che intersecandosi con quello dato genera una retta impropria.
In forma sintetica si ha
r // 
r|r

PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
QUADRO SINTETICO DELLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO
T1r
1a traccia
Punto
T2r
2atraccia
Punto
Definizione fisica
dell'elemento
rapprsentativo
Definizione
geometrica
elemento
rapprsentativo
Didascalia
elemento
rappresentativo
Didascalia elemento
r
Nomenclatura
dell'elemento
rappresentativo
Retta
Elemento geometrico
CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI
Reale
Reale
r’
1a immagine o
Retta Virtuale
1a proiezione
r”
2a immagine o
Retta Virtuale
2a proiezione
PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL
PARALLELISMO TRA PIANI
Definizione grafica e descrittiva
degli elementi geometrici
Relazione insiemistica sintetica delle
leggi del parallelismo tra elementi
geometrici diversi
Formalizzazione esplicativa
t1//t1
//
t2//t2
r//
r//
T1rt1
r
T2rt2
Piano
Formalizzazione applicativa
t1
1a traccia
Retta
r
Reale
r

r//
t2
P
2a traccia
Retta
Reale
r//
//
r
r P
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1)
Seguono alcune esemplificazioni
grafiche relative all’aspetto
esplicativo del parallelismo tra
elementi geometrici diversi
variamente collocati nello spazio
dei diedri
Dato
Data la seguente
formalizzazione
esplicativa risolvere i
quesiti seguenti
t 1
//t11
1b//t
tt2
2b//t22
T
T1r
b
1rÎtt11
T2
2r
b
rÎtt22
b//
//a
r//
r r
Risultato
t2
T2r
r”
r’
T1r
t1
Definita la retta r//a con r’//a’ ed r”// a” si individua il piano // . Se
il piano  contiene la retta r allora significa che anche la retta a // . Se
Spiegazione invece, come nell’esempio, il piano  costruito parallelo al piano  non
contiene la retta r significa che i due elementi sono in rapporto di
obliquità accade cioè che r  
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (2)
Dato
Risultato

T1r
t2
r’
r”
T2r
t1
Si vuole verificare il parallelismo tra la retta orizzontale a nel II
diedro ed il piano  proiettante in 1° nel I diedro.
Definita la retta r//a con r’//a’ , r”// a”, T2r e T 1r si individua il piano
// . Si ottiene che t2// t2 e contiene T2r; invece t1//t1 non
Spiegazione
contiene T 1r . Essendo T 1r una traccia impropria, significa che t1
deve disporsi parallelamente alla proiezione r’ contenente T 1r .
Da queste risultanze si deduce che a//r//. Pertanto si può
asserire che i due elementi assegnati sono in rapporto di obliquità,
cioè che r  
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (3)
Dato
Risultato
r”

T1r
t2
T2r
r’
t1
Si vuole verificare il parallelismo tra la retta orizzontale a nel I
diedro ed il piano generico  nel I diedro con le tracce allineate.
Definita la retta r//a con r’//a’ , r”// a”, T2r e T 1r si individua il piano
// . Si ottiene che t2// t2 e contiene T2r; invece t1//t1 non
Spiegazione
contiene T 1r . Essendo T 1r una traccia impropria, significa che t1
deve disporsi parallelamente alla proiezione r’ contenente T 1r .
Da queste risultanze si deduce che a//r//. Pertanto si può
asserire che i due elementi assegnati sono in rapporto di obliquità,
cioè che r  
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (4)
Dato
Risultato
t1
t2
r’
T2r
r”
T1r
Sia da verificare l’esistenza del parallelismo tra la retta generica a
collocata nel IV diedro ed il piano generico  collocato nel II diedro.
Definita la retta r//a con r’//a’ , r”// a”, T2r e T 1r si individua il piano
// . Si ottiene che t2// t2 contiene T2r; come anche t1//t1
Spiegazione
contiene T 1r. In questo caso accade che il il piano // contiene la
retta r//a. Da queste risultanze si deduce che a//r//.
Pertanto si può asserire che i due elementi assegnati anche se
collocati in due diversi diedri sono in rapporto di parallelismo.
Quindi si deduce che a//
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA (1)
Seguono alcune esemplificazioni
grafiche relative all’aspetto
applicativo del parallelismo tra
elementi geometrici diversi
variamente collocati nello spazio
dei diedri
T1r  t1
T2r  t2
Data la seguente
formalizzazione
applicativa risolvere
i quesiti seguenti
r   // 
r//
t1 // t1
t2 //t2
Risultato
Dato
t2
t1
T2r
r’
T2a
r”
T1r
a”
a’
T1a
Definita una retta a , applicando le leggi dell’appartenenza e del
parallelismo si costruisce la retta r//a contenente il punto assegnato A.
Spiegazione Quindi sarà r//a ed anche Ar. Si individuano così le due proiezioni r’ ed
r” parallele rispettivamente ad a’ ed a”, A’r’ e A”r”. La retta r sarà
parallela al piano  ed apparterrà al piano //. (La definizione di  non è richiesta)
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA (2)
Dato
Risultato
t1
T2a
T1r
a”
T1a
r’
a’
r”
t2
T2r
Si definisce, anzitutto, una retta a  .
Applicando le leggi del parallelismo e dell’appartenenza si costruisce
una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto A, quindi
sarà r//a ed anche Ar. Si individuano così le due proiezioni r’ ed r”
Spiegazione
parallele rispettivamente ad a’ ed a” ed anche A’r’ e A”r”.
La retta r, così identificata conterrà il punto A e sarà, anche,
parallela al piano  perché parallela alla retta a  .
Inoltre per le tracce di r possiamo condurre un piano //. (Questo passo,
non richiesto, può essere omesso)
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA (3)
Dato
Risultato
T2a
r”
a”
a’
T1a
t1
T1r
t2
r’
La T2r appartenente a t2 esce
fuori dal rettangolo grafico
Come per l’esercizio precedente si definisce, anzitutto, una retta a.
Applicando le leggi del parallelismo e dell’appartenenza si costruisce
una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto X, quindi
sarà r//a ed anche Xr . Si individuano così le due proiezioni r’ // a’,
Spiegazione
r”//a” ed anche, per l’appartenenza, X’r’ e X”r”. La retta r, così
identificata conterrà il punto X e sarà, anche, parallela al piano 
perché parallela alla retta a  .
Inoltre per le tracce di r (T1r ,T2r) possiamo condurre un piano //,
piano che passando per le tracce della retta significa che la conterrà.
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA (4)
Dato
Risultato
t2
T1a
t1
T2r
r”
a’
r’
a”
T2a
La T1r appartenente a t1 esce fuori dal rettangolo grafico
Come per l’esercizio precedente si definisce, anzitutto, una retta a.
Applicando le leggi del parallelismo e dell’appartenenza si costruisce
una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto X, quindi
sarà r//a ed anche Xr . Si individuano così le due proiezioni r’ // a’,
Spiegazione
r”//a” ed anche, per l’appartenenza, X’r’ e X”r”. La retta r, così
identificata conterrà il punto X e sarà, anche, parallela al piano 
perché parallela alla retta a  .
Inoltre per le tracce di r (T1r ,T2r) possiamo condurre un piano //,
piano che passando per le tracce della retta significa che la conterrà.
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SUL PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO (1)
Esercizio
Risoluzione
t1
t2
No perché: a   // 
T2r
r”//a”
r’
T1r
No perché:   r a
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SUL PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO (2)
Esercizio
t2
Risoluzione
t1
No perché: s   
No perché: s  
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SUL PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO (3)
Esercizio
Risoluzione
t2
T2a
a”
a’

T 1a
t1
T2r
r”
r’
T 1r
a’
T 1a
a”
T2a
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SUL PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO (4)
Esercizio
Risoluzione
t2
T2s
s”
s’
T 1s
t1
T2r
r”
T2s
s”
T 1s
s’
r’
T 1r
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
TEMI SCRITTI DA VOLGERE IN FORMA DI ELABORATI GRAFICI (1)
1. Dati la retta r(T1r=3; T2r=6) ed il punto A(A’=1; A’’=3) definire e
rappresentare un piano  tale che sia (A)//r.
2. Dati la retta s(T1s=-4; T2s=8) ed il punto B(B’=3; B’’=5) definire e rappresentare
un piano  tale che sia (B)//s
3. Dati r 
A(A’=3; A”=7) ed il punto C(C’=-1; C’’=-7) definire e rappresentare un
B (B’=5; B”=1)
piano tale che sia (  C)//r  (A,B).
4. Dati s 
X(X’=-3; X”=7) ed il punto W(W’=3; W’’=3) definire e rappresentare
Y (Y’=7; Y”=-3)
un piano  tale che sia (  W)//s  (X,Y).
1. Dati la retta a(1+; 2+) ed un punto La, definire e rappresentare un piano
(b)//a|(1-; 2+).
2. Dati la retta b(1-; 2+) ed un punto Mb definire e rappresentare un piano
(M)//b|(1+; 2+; //lt).
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
TEMI SCRITTI DA VOLGERE IN FORMA DI ELABORATI GRAFICI (2)
3. Dati il piano (1-; 2+; //lt) ed un punto A definire e rappresentare la
retta (rA)//.
4. Dati il piano (1+; 2+) ed un punto B definire e rappresentare la retta
(sB)//.
1. Dati i seguenti punti A(A'=3; A''=5), B(B'=6;B''=1), C(C'=4; C''=4), D(D'=1;
D''=6), definire e costruire il piano (A,B,C), quindi condurre per D una retta s
tale che sia s//
2. Dati i punti seguenti E(E'=1; E''=6), F(F'=1; F''=1), G(G'=3; G''=3); H(H'=6;
H''=2), verificare se la retta a(E,F) è parallela alla retta b(G,H).
3. Dati i punti A(A'=-3; A''=6), B(B'=-5; B''=1), C(C'=-7; C''=3) definire e
rappresentare il piano (A,B,C) quindi per un punto X(X'=6; X''=-2) costruire e
rappresentare la retta (sX)//b(A,B) //|s.
4. Dati i punti D(D'=7; D''=3), E(E'=5; E''=1), F(F'=3; F''=6) definire e
rappresentare il piano g(D,E,F) quindi per un punto Y(Y'=2; Y''=-6) costruire e
rappresentare la retta (rY)//a(E,F) //g|r.
PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSI
GRIGLIA DI VALUTAZIONE DELLE ELABORAZIONI GRAFICHE
Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto
forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:
1)Conoscenze teoriche
2)Capacità logiche
3)Competenze grafiche
VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE
Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia
Test
Eserc.
1
2
Elementi della valutazione
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
0,00 0,50 1,00
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Competenze grafiche
3
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
Competenze grafiche
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
PUNTEGGIO TOTALE
2,50
2,50
0,00 0,25 0,50
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
2,50
0,00 0,25 0,50
0,00 0,50 1,00
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Punti
0,00 0,25 0,50
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Competenze grafiche
4
Valutazioni
2,50
0,00 0,25 0,50
10,00
Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può
consultare il seguente sito
http://www.webalice.it/eliofragassi