PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
funzioni arbitrarie di più variabili
La necessità di introdurre una formula generale deriva dal fatto che la
semplice propagazione passo per passo può talvolta dar luogo a degli errori di
valutazione dell'incertezza nel risultato finale: questo accade ad esempio
quando in un quoziente la stessa grandezza compare sia al denominatore che al
numeratore. In questo caso i due contributi dovuti alle incertezze dei due
fattori uguali potrebbero compensarsi parzialmente e attraverso la formula
della propagazione passo per passo rischieremmo di dare una sovrastima
dell'errore sul rapporto.
Vediamo un esempio:
Sfruttando il calcolo dell'incertezza per passi, si dovrebbero calcolare gli
errori sulle due somme x + y e x + w e successivamente quello sul quoziente,
rischiando però di trascurare una eventuale interazione tra i due fattori. Se
infatti la nostra stima di x fosse errata, ad esempio, in eccesso avremmo che
sia il denominatore che il numeratore risulterebbero sovrastimati, ma tale
errore di valutazione verrebbe in parte compensato, se non totalmente
cancellato, dalla successiva operazione di divisione. Analogamente l'effetto di
una eventuale sottostima di entrambi i fattori risulterebbe celato dal
quoziente.
Funzioni arbitrarie di più variabili
Consideriamo allora una funzione qualsiasi di due variabili del tipo:
z = z (x , y)
Poichè le nostre migliori stime per x e y sono xm e ym ci aspettiamo che
la migliore valutazione per z sia:
z = z (xm, ym)
Per quanto riguarda il calcolo dell'incertezza su z dobbiamo ampliare il
discorso già fatto nel caso di una variabile: dobbiamo cioè introdurre
la seguente approssimazione per una funzione di due variabili:
Tenendo presente che i valori probabili degli estremi per x e y sono
dati da (xm  x) e (ym  y) e che le derivate parziali in x e y possono
essere sia positive che negative, otteniamo che i valori estremi di z
sono dati da:
Funzioni arbitrarie di più variabili
Dall’ultima relazione scritta ricaviamo subito che l'errore su z(x,y)
è proprio:
L'uso diretto della formula può risultare a volte un po' macchinoso:
quando è possibile si preferisce procedere con il calcolo passo per
passo, ricordando però che nel caso in cui la stessa variabile
compaia più volte nell'espressione questo metodo può portare a
delle stime errate.
PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
somma quadratica
Abbiamo visto che nel caso in cui le grandezze misurate direttamente
si debbano sommare, allora possiamo stimare l'errore sul risultato
come la somma dei singoli errori assoluti, mentre quando si procede a
delle moltiplicazioni o a delle divisioni sono i singoli errori relativi a
venire sommati. Ora vedremo come, sotto certe condizioni, le
incertezze calcolate utilizzando le suddette regole possano essere più
grandi del necessario, costituiscano cioè una sovrastima.
Le condizioni affinchè si possa applicare la somma quadratica sono
fondamentalmente due e riguardano entrambe gli errori sulle
grandezze originarie: questi devono essere
• indipendenti
• casuali.
In questo modo le misure iniziali si possono considerare governate da
una distribuzione normale: essendo inoltre indipendenti, la
composizione di due o più distribuzioni dà luogo ad una distribuzione
nuovamente di tipo normale e con deviazione standard pari alla radice
quadrata della somma dei quadrati delle deviazioni standard iniziali.
PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
somma quadratica
Vediamo di chiarire il concetto sopra espresso. Supponiamo di avere
misurato le due quantità x e y
e che queste soddisfino i requisiti sopra enunciati. Allora se
supponiamo che esse siano governate da due distribuzioni normali
di centro rispettivamente X e Y e deviazione standard x e y ,
possiamo sostituire ai loro errori assoluti (x e y) le rispettive
deviazioni standard. Ora la probabilità di ottenere un particolare
valore di x è:
mentre per y è:
dove abbiamo posto momentaneamente i valori X e Y uguali a zero
per semplicità di calcolo.
Somma quadratica
A questo punto si può dimostrare che la probabilità di ottenere un
dato valore z = x + y ha la seguente forma:
Questo risultato mostra che i valori di z = x + y sono normalmente
distribuiti attorno all'origine con deviazione standard pari a:
Se invece di considerare X e Y entrambi nulli li valutiamo con il loro
valore reale, giungiamo alla stessa conclusione salvo il fatto che z sarà
non più distribuita rispetto all'origine, ma rispetto alla quantità X + Y.
Somma in quadratura:
errori nelle somme/differenze
Se diverse grandezze x, y, ... , w sono misurate con incertezze
"indipendenti e casuali" x, y, ... , w, e tali valori vengono
utilizzati per calcolare quantità del tipo:
z = x + ... + y - (u + ... +w)
allora l'errore su z è la somma quadratica degli errori
originari.
In ogni caso, l'errore su z non è mai più grande della somma
ordinaria dei singoli errori:
Somma quadratica
Somma in quadratura:
errori nei prodotti/quozienti
Se diverse grandezze x, y, ... , w sono misurate con
incertezze "indipendenti e casuali" x, y, ... , w, e tali
valori vengono utilizzati per calcolare quantità del tipo:
allora l'errore relativo su z è la somma quadratica dei singoli
errori relativi:
In ogni caso, l'errore relativo di z non è mai più grande
della somma ordinaria dei singoli errori relativi:
Somma in quadratura: formula generale
Definiamo ora una regola generale per la propagazione degli
errori in funzioni di più variabili.
Siano x, y, ... , w misurati con incertezze indipendenti tra
loro e casuali x, y , ... , w e tali valori vengano utilizzati
per calcolare la funzione z (x , y, ... , w), allora l'errore su z
è dato da
In ogni caso esso l’errore su z è limitato superiormente dalla
somma:
Propagazione degli errori
Propagazione degli errori
Esercizi
Si può utilizzare la legge dei gas perfetti come esempio:
dove
•P : è la pressione del gas;
•V : è il volume occupato dal gas;
•n : è il numero di moli del gas;
•R : è la costante dei gas perfetti, pari a 8,314 J·K-1·mol-1;
•T : è la temperatura assoluta del gas, in kelvin.
La pressione in funzione di n, R, T e V si esprime come:
e scrivendo i rispettivi differenziali si ha:
Se si sostituiscono i vari dx con i rispettivi errori, si ottiene:
che fornisce l'errore assoluto del valore di P conoscendo gli errori di T, R, n e V.
Esercizi
Una grandezza fisica A è legata alle grandezze indipendenti B, C, D
dalla relazione funzionale:
A  2 BC 3 / D
Sapendo che B viene misurata con un errore relativo del 2%, D con
un errore relativo del 1%, con quale errore relativo deve essere
determinata C, affinchè A sia determinata al meglio del 10%?
Calcoliamo l’errore relativo su A:
DA 1 DB
DC DD

3

A 2 B
C
D
Possiamo quindi scrivere:
0.01 + 3x + 0.01  0.1
con x = DC/C
da cui
x  0.08/3