m = (24,4  0,4) g
risultato finale
Propagazione degli errori
Studiando le operazioni più semplici tra le grandezze misurate
direttamente dovremo analizzare i seguenti casi:
Errori nelle somme e differenze;
Errori nei prodotti e quozienti;
Errori nell’elevamento a potenza;
Errori nel prodotto con una costante.
Sfruttando le regole ricavate dall'analisi di questi casi potremo
passare a studiare anche funzioni composte riconducibili a singole
applicazioni delle operazioni sopraelencate attuando la cosiddetta
propagazione passo per passo.
Errori nelle somme e differenze
Supponiamo di avere le misure dirette (x e y) delle due grandezze di cui
si vuole calcolare la somma, così espresse:
x = xmx
y = ym  y
Se chiamiamo z la grandezza pari alla somma di x e y, abbiamo che il
valore "più alto" probabile per z si ha quando x e y assumono i loro valori
più grandi, cioè per xm+x e ym + y:
valore massimo probabile = (xm+x +ym+y) = (xm+ ym) + (x +y)
mentre il valore "più basso" probabile si ha quando entrambe x e y
assumono il loro minino, ossia xm- x e ym - y , per cui si ha:
valore minimo probabile = (xm - x + ym- y) = (xm+ ym) - (x +y)
Osservando i due valori (massimo e minimo) ricavati si vede che per la
grandezza derivata z = x+y = zm + z abbiamo:
zm = xm+ym
e
z  x + y
Errori nelle somme e differenze
Si può operare in modo analogo per calcolare l'errore commesso nel caso
di una differenza e si raggiunge lo stesso risultato.
Possiamo allora definire la regola della composizione degli errori in una
somma o in una differenza, generalizzando il risultato ottenuto a
somme o differenze di N termini, nel modo seguente:
Se diverse grandezze x, y, ... , w sono misurate con incertezze x , y , ...
w, e tali valori vengono utilizzati per calcolare quantità del tipo:
z = x +...+ y - (u+...+w)
allora
l'errore
nel
z  x + y+ u
valore
calcolato di z è pari alla somma
+...+w di tutti gli errori assoluti originali.
Si è usato il simbolo di uguaglianza approssimata per sottolineare il fatto
che quella che è stata fornita è una valutazione un po' "grezza"
dell'errore: vedremo più avanti che esiste una stima migliore costituita
dalla somma quadratica (o somma in quadratura) dei singoli errori.
Per ora accontentiamoci della definizione data con la consapevolezza che
essa rappresenta un limite superiore per la valutazione dell'errore,
valido in qualsiasi caso.
Esercizio
La misura della lunghezza dei tre lati di un triangolo fornisce il
risultato: a = (17.3 ± 0.2) cm, b = (11.25 ± 0.08) cm, c = (14.48 ±
0.06) cm. Si determini la lunghezza del perimetro e l'errore nella
misura del perimetro con il corretto numero di cifre significative.
Il perimetro si ricava dalla somma delle lunghezze dei tre lati:
a+b+c=43.03 cm.
In base alle usuali regole di propagazione degli errori l'errore
assoluto in una somma è uguale alla somma degli errori assoluti. Nel
nostro caso l'errore nel perimetro è 0.2 + 0.08 + 0.06 = 0.34 cm,
che arrotonderemo per difetto a 0.3 cm in modo tale da tenere una
sola cifra significativa nell'errore. Anche la misura andrà
arrotondata in maniera tale da tenere una sola cifra dopo la virgola.
In definitiva il perimetro 2p del triangolo sarà uguale a 2p = (43.0 ±
0.3) cm. Notiamo come lo zero dopo la virgola nella misura
rappresenti a tutti gli effetti una cifra significativa.
Errori nei prodotti e nei quozienti
Supponiamo che la grandezza che vogliamo calcolare sia z = xy.
Nel calcolo dell'errore nei prodotti (o nei quozienti) sfruttiamo gli errori
relativi delle singole misure.
Utilizziamo quindi una forma leggermente diversa per esprimere i valori
delle quantità misurate direttamente in termini di errore relativo, cioè:
valore misurato di
x  xm  x  xm (1 
valore misurato di
y  ym  y  ym (1 
x
| xm |
)
y
| ym |
)
Ora, poichè xm e ym costituiscono le nostre migliori stime per le
grandezze x e y, la stima migliore che possiamo fare della grandezza
z è proprio:
zm = xm . ym
Analogamente al caso della somma e della differenza, il valore
massimo probabile per z si ha quando vengono considerati i valori più
grandi di x e y, ossia nel caso in cui abbiamo il segno più nell'errore
relativo:
xm . ym (1 
valore massimo probabile:
x
xm
)(1 
y
ym
)
mentre il valore minimo è dato da:
xm . ym (1 
valore minimo probabile:
x
xm
)(1 
y
ym
)
Se ora andiamo a sviluppare il prodotto delle due parentesi nel caso
del valore massimo (il discorso si può ripetere in modo analogo per il
valore minimo) otteniamo:
(1 
x
xm
)(1 
y
ym
)  1
x
xm

y
ym

x y
xm ym
 1
x
xm

y
ym
Si noti che nell'ultimo passaggio si è usata l'uguaglianza
approssimata poichè abbiamo trascurato il prodotto dei due errori
relativi in quanto, essendo singolarmente numeri piccoli (dell'ordine
di qualche percento), il loro prodotto è assai piccolo e trascurabile
rispetto alle altre quantità.
Ne concludiamo in definitiva che le misure siffatte di x e y portano
ad un valore di z=xy dato da:
z  xm . ym [1  (
x
xm

y
ym
)]
Dal confronto dell’espressione sopra scritta con la forma generale per z:
z  zm (1 
z
zm
)
Possiamo esprimere l’errore relativo su z come la somma degli errori
relativi di x e y:
z
zm

x
xm

y
ym
Errori nei prodotti e nei quozienti
Per quanto riguarda i quozienti il modo di operare è analogo, per cui
possiamo enunciare la regola generale della propagazione delle
incertezze nei prodotti e nei quozienti nel modo seguente:
se diverse grandezze x, y, ... , w sono misurate con incertezze x, y,
... , w e tali valori vengono utilizzati per calcolare quantità del tipo:
x.... y
z
u....w
allora l'errore relativo nel valore calcolato di z è pari alla somma dei
singoli errori relativi:
z
z

x
x
 ........ 
y u
y

u
 ...... 
w
w
Anche in questo caso il simbolo di uguaglianza approssimata sottolinea
il fatto che quella indicata è una sovrastima dell'errore, un limite
superiore.
Esercizi
Supponiamo di aver effettuato le misure di due lunghezze e di aver ottenuto
come risultato a = (21.3 ± 0.4) m e b = (19.61 ± 0.06) m. Usando le regole di
propagazione degli errori si calcolino a + b, a - b, a · b, a : b, con il corretto
numero di cifre significative.
L'errore nella somma a + b è dato dalla somma degli errori assoluti δa + δb =
0.46 m. Dal momento che l'errore va sempre arrotondato ad un'unica cifra
significativa arrotonderemo 0.46 per eccesso e l'errore nella somma sarà δa +
δb = 0.5 m. Perciò la misura a + b = 40.91 m va arrotondata a 40.9 m. Analogo
discorso vale per la differenza a - b = 1.69 m, che andrà arrotondata per
eccesso a 1.7 m. Il risultato finale è:
a + b = (40.9 ± 0.5) m,
a - b = (1.7 ± 0.5) m.
Nei prodotti e nei rapporti invece vanno sommati gli errori relativi: δa/a + δb/b
= 0.0218. Questo è l'errore relativo nel prodotto a · b = 417.693 e nel
rapporto a : b = 1.08618. Per ottenere l'errore assoluto in queste misure
dobbiamo moltiplicare l'errore relativo per il risultato della misura indiretta.
Nel caso del prodotto l'errore assoluto, arrotondato a una cifra significativa,
è 417.693 · 0.0218 = 9 m2. Nel caso del rapporto l'errore assoluto è invece
1.08618 · 0.0218 = 0.02. Avremo pertanto:
a · b = (418 ± 9) m2,
a : b = 1.09 ± 0.02.
Errori nell’elevamento a potenza
Se x è misurato con incertezza
l'espressione
x e si deve calcolare
z  xn
dove n è un qualunque numero noto fissato, positivo o negativo,
allora l'errore relativo di z è |n| volte quello di x, ossia
z
z
n
z  n x
x
x
n 1
x
Errori nel prodotto con una costante
Supponiamo di misurare una grandezza x e in seguito di utilizzare tale
quantità per calcolare il prodotto z=Kx dove il numero K è una costante e
come tale non ha errore. Classico esempio di tale situazione è
rappresentato dal calcolo della lunghezza di una circonferenza, ove il
diametro, misurato con la sua incertezza, viene moltiplicato per la
costante .
Per la valutazione dell'incertezza sul prodotto di una grandezza per una
costante ci rifacciamo a quanto è stato detto per il calcolo dell'errore nei
prodotti e nei quozienti. In particolare l'errore relativo su z dovrebbe
essere stimabile attraverso la somma di quelli su K e su x.
Dal momento però che non abbiamo errore su K risulta:
z
zm

x
xm
Se vogliamo considerare l’errore assoluto, abbiamo:
z  K x
Funzioni arbitrarie di una variabile
Dopo avere studiato i casi di somma, differenza, prodotto e quoziente
andiamo a studiare funzioni più complicate di una variabile e cerchiamo di
trovare una regola generale per la propagazione degli errori in tali funzioni.
Vediamo come procedere: supponiamo al solito di avere misurato una
grandezza x nella forma xmx e di usare questa quantità per calcolare una
qualche funzione nota f(x).
Per capire come l'errore sulla quantità
di partenza x si propaghi attraverso il
calcolo dell'ipotetica funzione f(x)
consideriamo il grafico di quest'ultima:
dalla figura vediamo come la miglior
stima per f(x) sia costituita da fm che
non è altro che il valore assunto dalla
funzione nel punto xm. Per quanto
riguarda l'errore sfruttiamo il più
grande e il più piccolo valore probabile di
x: da questi graficamente troviamo i
corrispettivi valori probabili fmax e fmin
della funzione.
Operando in questo modo non è sempre
detto che fmax e fmin siano simmetrici
rispetto a fm : se però l'incertezza x è
sufficientemente piccola, la porzione di
grafico che andiamo ad analizzare è così
ristretta che la funzione in quel dominio
può essere approssimata ad una retta.
Se così è, allora fmax e
fmin sono
ugualmente spaziati su entrambi i lati di
fm e l'incertezza f , che ci permette di
scrivere il risultato nella forma fm  f ,
può essere ricavata dal grafico.
Molto spesso però non si ricorre all'osservazione del grafico per ricavare
l'errore in quanto si conosce la forma analitica della funzione (ad es. ln x, cos x,
ecc.).
Una nota proprietà dell'analisi matematica (espansione in serie di Taylor)
afferma che nel caso in cui x sia piccolo si ha:
f ( x0  x)  f ( x0 ) 
df
dx
x  x0 ( x0  x  x0 )  f ( x0 ) 
df
dx
x  x0
x
E quindi:
df
f  f x0  x   f x0  
dx
x  x0
x
Cioè per trovare l’errore associato alla funzione y = f(x) dobbiamo
calcolare la derivata della funzione f e moltiplicarla per x.
df
f  x
dx
La regola generale per il calcolo dell'errore per una funzione arbitraria di
una variabile si ottiene da questa con un piccolo accorgimento: poichè la
pendenza della curva rappresentante la funzione può essere sia positiva che
negativa, influenzando così il segno della derivata, dobbiamo considerare il
valore assoluto di quest'ultima.
In pratica abbiamo:
df
f 
x
dx
La propagazione passo per passo
Consideriamo ad esempio un'espressione del tipo:
z = x + y (u – w2)
Se partiamo dalle singole quantità misurate x, y, u e w possiamo
calcolare l'incertezza sulla precedente espressione procedendo in
questo modo: calcoliamo la funzione w2, quindi la differenza u – w2, il
prodotto y(u - w2) e infine la somma di x con y(u - w2).
Dalla precedente analisi sulle singole operazioni siamo in grado di dire
come si propagano gli errori attraverso ogni singolo passaggio: se
supponiamo come abbiamo fatto finora che le grandezze in esame siano
indipendenti, calcoliamo l'errore sul risultato finale procedendo
secondo i passi descritti partendo dalle misure originali.
Troveremo così inizialmente l'errore sulla funzione w2; noto questo,
calcoleremo l'errore sulla differenza u - w2 e poi quello sul prodotto
y(u - w2), arrivando finalmente all'errore completo sull'espressione
x + y (u - w2).
PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI:
funzioni arbitrarie di più variabili
La necessità di introdurre una formula generale deriva dal fatto che la
semplice propagazione passo per passo può talvolta dar luogo a degli errori di
valutazione dell'incertezza nel risultato finale: questo accade ad esempio
quando in un quoziente la stessa grandezza compare sia al denominatore che al
numeratore. In questo caso i due contributi dovuti alle incertezze dei due
fattori uguali potrebbero compensarsi parzialmente e attraverso la formula
della propagazione passo per passo rischieremmo di dare una sovrastima
dell'errore sul rapporto.
Vediamo un esempio:
Sfruttando il calcolo dell'incertezza per passi, si dovrebbero calcolare gli
errori sulle due somme x + y e x + w e successivamente quello sul quoziente,
rischiando però di trascurare una eventuale interazione tra i due fattori. Se
infatti la nostra stima di x fosse errata, ad esempio, in eccesso avremmo che
sia il denominatore che il numeratore risulterebbero sovrastimati, ma tale
errore di valutazione verrebbe in parte compensato, se non totalmente
cancellato, dalla successiva operazione di divisione. Analogamente l'effetto di
una eventuale sottostima di entrambi i fattori risulterebbe celato dal
quoziente.
Funzioni arbitrarie di più variabili
Consideriamo allora una funzione qualsiasi di due variabili del tipo:
z = z (x , y)
Poichè le nostre migliori stime per x e y sono xm e ym ci aspettiamo che
la migliore valutazione per z sia:
z = z (xm, ym)
Per quanto riguarda il calcolo dell'incertezza su z dobbiamo ampliare il
discorso già fatto nel caso di una variabile: dobbiamo cioè introdurre
la seguente approssimazione per una funzione di due variabili:
Tenendo presente che i valori probabili degli estremi per x e y sono
dati da (xm  x) e (ym  y) e che le derivate parziali in x e y possono
essere sia positive che negative, otteniamo che i valori estremi di z
sono dati da:
Funzioni arbitrarie di più variabili
Dall’ultima relazione scritta ricaviamo subito che l'errore su z(x,y)
è proprio:
L'uso diretto della formula può risultare a volte un po' macchinoso:
quando è possibile si preferisce procedere con il calcolo passo per
passo, ricordando però che nel caso in cui la stessa variabile
compaia più volte nell'espressione questo metodo può portare a
delle stime errate.
Propagazione degli errori
Propagazione degli errori
Esercizi
Si può utilizzare la legge dei gas perfetti come esempio:
dove
•P : è la pressione del gas;
•V : è il volume occupato dal gas;
•n : è il numero di moli del gas;
•R : è la costante dei gas perfetti, pari a 8,314 J·K-1·mol-1;
•T : è la temperatura assoluta del gas, in kelvin.
La pressione in funzione di n, R, T e V si esprime come:
e scrivendo i rispettivi differenziali si ha:
Se si sostituiscono i vari dx con i rispettivi errori, si ottiene:
che fornisce l'errore assoluto del valore di P conoscendo gli errori di T, R, n e V.
Esercizi
Una grandezza fisica A è legata alle grandezze indipendenti B, C, D
dalla relazione funzionale:
A  2 BC 3 / D
Sapendo che B viene misurata con un errore relativo del 2%, D con
un errore relativo del 1%, con quale errore relativo deve essere
determinata C, affinchè A sia determinata al meglio del 10%?
Calcoliamo l’errore relativo su A:
DA 1 DB
DC DD

3

A 2 B
C
D
Possiamo quindi scrivere:
0.01 + 3x + 0.01  0.1
con x = DC/C
da cui
x  0.08/3=0.027