Propagazione guidata
Le linee ne sono un caso particolare
Superficie arbitraria uniforme in z,
in grado di vincolare le onde in tale
direzione

z
Guide “metalliche”: es. guide d’onda,
guide planari (microstriscia, complanare ecc)

Guide “dielettriche”: es. fibre ottiche
Limitando al regime sinusoidale permanente (fasori) cercheremo
soluzioni del tipo
 z
z
t
z
z
Ex, y, z   E x, y e
componente campo trasversale
(piano XY)
 E x, y e u
componente campo longitudinale
(direzione di propagazione)
La costante di propagazione  sarà generalmente complessa
ajb
Cosa si può dedurre dalle equazioni di Maxwell? Mettiamoci in
condizioni di assenza di sorgenti
J  0   0  E z E y

  j H x

Ed esplicitiamo la legge di Faraday
z
 y
 E x E z
  E   jH

  j H y


x
 z
Chiaramente ora
 
z
 E y  E x   j H
z
 x
 E z
y
 E   j H

y
x
 y

E z

  j H y
 E x 
x

 E y  E x   j H
z
 x

y

Analogamente dalla legge di
Ampère/Maxwell
  H  jE
 E z
 y  E y   j H x

E z

  j H y
 E x 
x

 E y  E x   j H
z
 x

y

 H z
 y  H y  j E x

H z

 j E y
  H x 
x

 H y  H x   j E
z
 x

y


1

1   2

Ex 
Hy 
yHz
Hy  

Hy 
 y H z   x Ez 
j
j

j  j
j

j j   2   k 2
 
H y 1  2
 k

  
 x Ez 


 H 
  k2 y z
j 
 
1
Hy   2
 y H z  j  x E z
2
 k
 k2  2   
 x Ez

Hy

H

 k 2    k 2 y z j

 
2


Notate che Hy dipende solo
da Hz ed Ez



In modo analogo si ottengono le relazioni
Ex  
Ey 
Hx 
1
2 k
1
 k
2
2
 x E z  j  y H z 
2
  y E z  j  x H z 
1
 k
Hy  
2
2
  x H z  j  y E z 
1
 k
2
2
 y H z  j  x E z 
Cioè: le componenti
trasversali del campo,
nell’ipotesi di onde
guidate, sono funzione
delle componenti
longitudinali
Ora, qualora vi fosse solo propagazione
senza attenuazione
  jb   2  b 2
Ex  
Ey 
1
k b
1
2
k2  b 2
1
2
 x E z  j  y H z 
  y E z  j  x H z 

  x H z  j  y E z
k2  b 2
1
Hy   2
 y H z  j  x E z
k b2
Hx 

così che a denominatore delle relazioni compare k2-b2
Notate che se k=b i campi trasversali divergono a meno che
Ez ed Hz non siano simultaneamente nulle: solo le onde con
Ez=Hz=0, definiti “modi TEM, trasverso-elettromagnetici”,
possono avere costante di propagazione - e quindi velocità
di fase- coincidenti con quelle della luce


Cosa succede all’equazione di Helmhotlz l’avevamo già
visto
 2E  k 2E  0
nell’ipotesi di onda guidata
Ex, y, z   Ex, y e z

Conviene isolare nell’operatore laplaciano la derivata in z,
cioè scrivere
2 
2
x 2

2
y 2

2
z 2

 t 2 
2
z 2



Il primo termine, che opera solo sulle coordinate x,y,
trasversali rispetto alla direzione di propagazione z, lo
chiamiamo brevemente laplaciano trasverso
D’altro canto la doppia derivazione in z, con la dipendenza
esponenziale che abbiamo assunto, diventa solo una
moltiplicazione per 2 (meraviglie degli esponenziali!)
L’equazione d’onda diventa in tal caso


t 2E  k 2   2 E  0

Che definiremo equazione d’onda per onde guidate;
analogamente per il campo magnetico


t H  k 2   2 H  0
2




Ciascuna eq d’onda vettoriale rappresenta 3 equazioni
scalari
Tuttavia sappiamo che bastano Ez ed Hz per determinare
le altre componenti
Le equazioni di Maxwell sono lineari: potremo immaginare le
soluzioni generali come combinazioni lineari di soluzioni più
semplici
Definiremo quindi:
modi TE (trasverso-elettrici) quelli per cui Ez=0
 modi TM (trasverso-magnetici) quelli per cui Hz=0
 modi TEM (trasverso-elettromagnetici) quelli per cui
simultaneamente Ez=Hz=0



Chiaramente, l’equazione d’onda scalare in Hz (+condizioni
al contorno) sarà sufficiente per determinare i campi dei
modi TE
Viceversa per i TM sarà sufficiente lavorare su Ez

Trattiamo il caso TM: in tal caso dovremo risolvere l’eq.


t Ez  k 2   2 Ez  0
2


Definiamo in particolare

  k  kc 2
2
2
Dovremo imporre che le componenti tangenziali di E siano
nulle sulla guida metallica (se metallica ideale): questo
garantisce l’unicità della soluzione

Et

z
Tuttavia, basterà imporre che Ez sia
nulla sulla guida per assicurarsi che
tutte le componenti tangenti lo siano
Del resto possiamo ricavare una
relazione semplice per avere le
componenti tangenziali da E
Ex  
Ey 


1
 k
2
1
 k
2
2
 x E z  j  y H z 
  y E z  j  x H z 
2
Ovvero, vettorialmente

  k  kc

kc
2
Ey  

kc
2
 x Ez

kc
2
 y Ez
t Ez
Vediamo le proprietà della costante di propagazione:
ricaviamola dalla definizione di kc
2

Et  


2
2
   kc  k
2
2
2
    kc 2  k 2
Mentre k dipende dalla frequenza, kc dipende
fondamentalmente dalle condizioni al contorno
Per frequenze basse, il termine sotto radice è positivo e la
costante di propagazione REALE: ATTENUAZIONE

Ridefiniamo kc

Così che la pulsazione c costituisca la pulsazione a cui  =0
  a  kc

k c   c 
 f 
1   
 fc 
2
Posto su un grafico
a( f)
fc
f

Invece per >c
 fc 
  jb  jk 1   
 f 

2
Posto su un grafico

b ( f)
k( f )
k
fc
f
Notate che per
frequenze alte, la
costante di
propagazione si
avvicina a quella
della luce

La velocità di fase è, per definizione, il rapporto tra
pulsazione e costante di propagazione
vp   / b 


2

1   fc  
1   
   f  

1
2
Al “taglio” diviene infinita, e decresce per frequenze
maggiori
Quando la velocità di fase dipende dalla frequenza, il
modo si definisce “dispersivo”. In particolare la dipendenza
dalla frequenza decrescente si definisce “dispersione
normale”

La velocità di gruppo è, per definizione, il rapporto tra le
variazioni di pulsazione e costante di propagazione
v g  d / db 


1
2 2
1   f c  
1   
   f  
Essa rappresenta la velocità dell’inviluppo di un pacchetto
di onde
Notiamo che il rapporto tra componenti ortogonali di
campo elettrico e magnetico è
Ey
Ex



Hy
Hx
j
Ht 
1
Z 0TM
u z  Et

Quantità che definiamo
impedenza modale TM, così da
poter scrivere
fc
vp( f )
vg( f )
c
f