La matrice CKM e la violazione
di CP
Massimo Lenti
INFN-Firenze
2002
1
Sommario
•
•
•
•
•


•
•


•
L’angolo di Cabibbo
La matrice CKM
Le Simmetrie P, C, T
La violazione di CP
Il sistema K0 K0
La violazione indiretta di CP: e
La violazione diretta di CP: e´/e
I triangoli di unitarietà
Il sistema B0 B0
Fit al triangolo di unitarietà
Misura di sin2b
Conclusioni
2
L’angolo di Cabibbo
•
Le transizioni con cambiamento di stranezza sono molto soppresse
L0gpe-ne, DS = 1
ngpe-ne, DS = 0
K+gm+nm, DS = 1
p+gm+nm, DS = 0
K+gp0e+ne, DS = 1
p+gp0e+ne, DS = 0
•
•
La soppressione è circa 1/20 (corretta per lo spazio delle fasi)
Angolo di Cabibbo: l’autostato debole del quark di carica –1/3 è:
d´ = cosq d + sinq s, sinq @ 0.22
3
Sperimentalmente sono molto soppresse le transizioni di corrente neutra con
cambiamento di stranezza: es. K0gm+ms
n
u
d
m+
W
W
m-
Occorre allora introdurre un altro quark di carica +2/3, il c
Ed un altro autostato debole di carica –1/3:
s´ = cosq s - sinq d
Se le masse dei quark sono uguali si ha una cancellazione delle SCNC (GIM)
È stata poi scoperta la terza famiglia di quark: t e b
Generalizzazione dell’angolo di Cabibbo
4
La lagrangiana d’interazione per le correnti cariche deboli si può scrivere:
3
g
i 1
2 2
Lint   dove
ui '  m 1 -  5  di 'Wm+ + c.c.
 ui '  rappresenta uno dei tre doppietti left-handed dei quark
 
 di ' 
Il settore di massa della lagrangiana non è diagonale:
3
Lmass   - miju ui ' u j '-mijd di ' d j '
i , j 1
miju e mijd sono due matrici
u
u
 m11
m12
 u
u
mij   m21 m22u
 mu mu
32
 31
3 3
:
u

m13

u
m23 ,
u 
m33

 m11d m12d
 d
d
mij   m21 m22d
 md md
32
 31
m13d 

d
m23 
d 
m33

5
Diagonalizzando
 mu
U u mijuU u†   0
 0

0
0  ;
mt 
0
mc
0
con Uu e Ud matrici unitarie
 md
U d mijdU d†   0
 0

0
ms
0
0
0 
mb 
3 3
. Gli autostati di massa saranno allora:
u
 u1 ' 
 
 
 c   U u  u2 ' ;
t
u '
 
 3
d 
 d1 ' 
 
 
 s   Ud  d2 ' 
b
 d '
 
 3
La lagrangiana d’interazione assumerà quindi la forma:
3
g
i 1
2 2
Lint   dove
 ui   u 
    ,
 di   d 
c
 ,
s
uiU uikU dkj † m 1 -  5  diWm+ + c.c.
t
 
b
6
La matrice CKM
Sperimentalmente sono osservabili le masse mu, mc, mt, md, ms, mb e la matrice
unitaria:
VCKM  U uU d †
Vud Vus Vub 
 Vcd Vcs Vcb 
V

V
V
ts
tb 
 td
7
I moduli degli elementi della VCKM si possono misurare da larghezze parziali di
decadimento o da sezioni d’urto:
n
d
n
W
eu
u
u
d
d
p
| Vud | dal decadimento beta dei nuclei (ngpe-ne oppure pgne+ne) paragonato al
decadimento del leptone m:
| Vud | = 0.9735  0.0008
8
n
e+
W
K+
s
u
u
u
p0
| Vus | dal decadimento Ke3 (K+gp0e+ne oppure K0gp-e+ne):
| Vus | = 0.2196  0.0023
e-
n
W
d
c
| Vcd | dalla produzione di charm per interazione di fasci di neutrini sui quark d di
valenza del bersaglio:
| Vcd | = 0.224  0.016
9
en
W
D-
c
s
d
d
K0
| Vcs | dal decadimento De3 dei mesoni con charm (D-gK0e-ne oppure D0gK+e-ne):
| Vcs | = 1.04  0.16
n
e+
W
B+
b
c
u
u
D0
| Vcb | dai decadimenti semileptonici dei mesoni con bottom in un mesone con charm
(B+gD0e+ne oppure BdgD-e+ne) e dai decadimenti semileptonici “inclusivi” del quark b
nel quark c (in cui stato iniziale e finale sono ricostruiti solo parzialmente):
| Vcb | = 0.0407  0.0019
10
en
W
b
c
| Vub | dai decadimenti semileptonici inclusivi del quark b in cui l’impulso del leptone è
superiore a quello permesso da un decadimento con un quark c associato:
| Vub / Vcb | = 0.089  0.012
b
Bd
t
W
d
d
W
t
Bd
b
| Vtd | dalle oscillazioni dei mesoni BdBd: la frequenza di oscillazione
DMBd= 0.489  0.008 ps-1 dipende dal prodotto Vtb* Vtd attraverso un diagramma a box
con il quark top
| Vtb* Vtd | = 0.0083  0.016
11
b
t
Bs
W
s
W
s
Bs
t
b
| Vts | dalle oscillazioni dei mesoni Bs Bs: la frequenza di oscillazione
DMBs> 14.6 ps-1 (95% CL) per confronto con D MBd permette di stabilire il limite
| Vtd / Vts | < 0.24
en
W
t
b
| Vtb | dal rapporto tra decadimenti semileptonici di un quark t in un quark b e quelli con
anche quark s e d (ossia quando viene identificato un adrone con b nello stato finale e
quando questo non avviene, corretto per le efficienze di identificazione)
| Vtb |2
| Vtb
|2
+ | Vts
|2
= 0.99  0.29
+ | Vtd
|2
12
Dalle misure fatte (escludendo | Vts | e | Vtd | ) ed imponendo il vincolo di unitarietà (ed
assumendo solo tre famiglie di quark), i limiti al 90% di livello di confidenza sui moduli
degli elementi della matrice CKM sono:
0.219 - 0.226
0.002 - 0.005 
 0.9742 - 0.9757


 0.219 - 0.225 0.9734 - 0.9749 0.037 - 0.043 
 0.004 - 0.014

0
.
035
0
.
043
0
.
9990
0
.
9993


Se si permettono altre famiglie di quark i limiti diventano:
 0.9724 - 0.9755

 0.199 - 0.232

0 - 0.010




0.217 - 0.223
0.847 - 0.975
0 - 0.036

0.0018 - 0.0044 

0.036 - 0.042 
0.05 - 0.9994




13
La matrice CKM: parametrizzazione
 La matrice CKM è una matrice 3 x 3 unitaria in generale complessa
 Su 18 parametri liberi iniziali le 9 condizioni di unitarietà portano a 9 parametri
indipendenti
 Una matrice unitaria 3 x 3 reale ha 3 parametri liberi (rotazioni in tre dimensioni g 3
angoli di Eulero). Gli altri 6 parametri liberi della matrice CKM possono quindi
essere scelti come fasi complesse ( eifj ).
 Le funzioni d’onda dei quark sono definite a meno di una fase: la fisica deve essere
invariante per trasformazioni q g eifq q
 Ridefiniamo le funzioni d’onda di ciascun quark con una fase, diversa per ciascun
quark:
if
 u   e u
 
c   0
t   0
  
0
e if c
0
0  u 
 
0  c ,

eift  t 
if
 d   e d
 
s 0
b  0
  
0
e if s
0
0  d 
 
0  s 

e ifb  b 
14
Gli autostati deboli trasformeranno allora come:
 eifu
u '
c' U†  0
u 
 
 t'
 0
 

0
eifc
0
 eifd
 d '
 s'  U†  0
d 
 
 b' 
 0
 

0 u

0   c  ,
eift   t 
0
eifs
0
0 d 

0   s 
eifb   b 
e questo equivale a trasformare la matrice CKM in:
VCKM
 e - i fu

 0

 0
0
e - if c
0
 e if d
0 


0 VCKM  0


e - if t 
 0
0
e if s
0
0  Vud ei (fd -fu ) Vus ei (fs -fu ) Vubei (fb -fu ) 
 

i (fd -fc )
i (f s -fc )
i (fb -fc )
0    Vcd e
Vcs e
Vcb e

 

e ifb   Vtd ei (fd -ft ) Vts e i (fs -ft ) Vtbe i (fb -ft ) 
Possiamo fattorizzare una fase, per esempio e-ifu, ottenendo:
 Vud e ifd
Vus e ifs
Vube ifb 


i (fd +fu -fc )
i (f s +fu -fc )
i (fb +fu -fc )
Vcs e
Vcb e
Vcd e


i (f d +fu -ft )
i (f s +fu -ft )
i (fb +fu -ft ) 
V
e
V
e
V
e
ts
tb
 td

15
 Una fase globale per tutta la matrice non comporta alcun vincolo per i
parametri della matrice CKM
 Le altre 5 fasi possono essere scelte arbitrariamente e tolgono altri 5 parametri
liberi alla matrice CKM
 I parametri indipendenti di VCKM sono allora 4: tre reali (angoli) ed una fase
complessa
 Nel caso di n famiglie di quark, con il vincolo di unitarietà restano n2
parametri liberi
 Una rotazione in uno spazio n-dimensionale può essere parametrizzata con
n(n-1)/2 angoli
 2n-1 fasi possono essere riassorbite dalla ridefinizione delle funzioni d’onda
dei quark
 Restano quindi (n-1)(n-2)/2 fasi complesse libere
16
Una matrice ortogonale può sempre essere scritta come il prodotto di tre matrici R12, R23 e
R31:
 cos q

R12 q    - sin q
 0

sin q
cos q
0
0
1

R23     0 cos 
 0 - sin 

 cos

R31     0
 - sin 

0

0 ,
1 
0 

sin  ,
cos  
0 sin  

1
0 
0 cos  
Vi sono 12 combinazioni di prodotti per generare la generica matrice ortogonale
17
Vi sono 6 combinazioni con due rotazioni nello stesso piano (non consecutive)
Vi sono 6 combinazioni con tutte e tre le rotazioni
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
R = R12(q) R23() R12(q’)
R = R12(q) R31() R12(q’)
R = R23() R12(q) R23(’)
R = R23() R31() R23(’)
R = R31() R12(q) R31(’)
R = R31() R23() R31(’)
R = R12(q) R23() R31()
R = R12(q) R31() R23()
R = R23() R12(q) R31()
R = R23() R31() R12(q)
R = R31() R12(q) R23()
R = R31() R23() R12(q)
18
Le 12 combinazioni non sono tutte indipendenti:
R12(q) R31() R12(q’) = R12(q+p/2) R23() R12(q’-p/2)
R23() R31() R23(’) = R23(q-p/2) R12(q) R23(’+p/2)
R31() R23() R31(’) = R31(+p/2) R12(q) R31(’-p/2)
Vi sono 9 combinazioni indipendenti: 1., 3., 5., 7.-12.
La fase complessa può essere introdotta in una matrice di rotazione in modo da ottenere una
matrice unitaria
 cos q
e + if sin q 0 


Per esempio R12 può diventare:
R12 q , f    -e -if sin q

0

oppure
 cos q

R12 q , f    - sin q
 0

sin q
cos q
0
cos q
0
0 ,
1 
+ if

e
cos q
0 


0 , oppure R12 q , f    - sin q

-if 
0
e 

sin q
e -if cos q
0
0

0
1 
ed analogamente per R23 e R31. Scegliamo la seconda possibilità (le altre si ottengono da una
ridefinizione delle fasi dei quark)
Abbiamo quindi 9 parametrizzazioni possibili nelle quali la fase complessa è sempre
posta in una sottomatrice 2 x 2 mentre gli altri parametri sono reali:
19
P1: V = R12(q) R23(,f) R12(q’)-1 
 sq sq 'c + cq cq 'e - if

 cq sq 'c + sq cq 'e -if

- sq ' s

sq cq 'c - cq sq 'e - if
cq cq 'c + sq sq 'e -if
- cq ' s
sq s 

cq s 
c 
P2: V = R23() R12(q,f) R23(’)-1 
 cq

 - sq c
 ss
 q 
- sq s '
sq c '
cq c c ' + s s 'e -if
- cq s c ' + c s 'e -if


-if
- cq c s ' + s c 'e 
cq s s ' + c c 'e -if 
P3: V = R23() R31(,f) R12(q) 
cq c


-if
c
s
s
s
c
e
 q   q 
 - c c s + s s e -if
 q   q 
sq c
- sq s s + cq c e -if
- sq c s - cq s e -if
s 

s c 
c c 
20
P4: V = R12(q) R31(,f) R23()-1 
 cq c

 - sq c
 -s


cq s s + sq c e - if
- sq s s + cq c e -if
s c
cq c s - sq s e - if 

- if
- sq c s - cq s e 

c c

P5: V = R31() R12(q,f) R31(’)-1 
 cq c c ' + s s 'e - if

- sq c '

 - c s c + c s e - if
 q  '  '
sq c
cq
- sq s
- cq c c ' + s s 'e - if 

sq s '

cq s s ' + c c 'e -if 
P6: V = R12(q) R23(,f) R31() 
 - sq s s + cq c e - if

 - cq s s - sq c e -if

- c s

sq c
cq c
- s
sq s c + cq s e - if 

- if
cq s c - sq s e 

c c

21
P7: V = R23() R12(q,f) R31()-1 
cq c


-if
s
c
c
+
s
s
e
 q    
 s s c + c s e -if
 q    
sq
cq c
- cq s
- cq s


-if
sq c s + s c e 
- sq s s + c c e -if 
P8: V = R31() R12(q,f) R23() 
 cq c

 - sq
- c s
 q 
sq c c - s s e - if
cq c
- sq c s - s c e -if
sq s c + c s e - if 

cq s

- sq s s + c c e -if 
P9: V = R31() R23(,f) R12(q)-1 
 - sq s s + cq c e - if

sq c

 - s s c - s s e - if
 q   q 
- cq s s - sq c e -if
cq c
- cq s c + sq s e -if
c s 

s 
c c 
22
P3 con le trasformazioni c g c e-if, t g t e-if e b g b e-if è stata scelta dal Particle Data
Group come rappresentazione standard di VCKM:
VPDG

c12c13

  - s12c23 - c12 s23s13e i13

i13
s
s
c
c
s
e
 12 23 12 23 13
s12c13
c12c23 - s12 s23s13e i13
- c12 s23 - s12c23s13ei13
s13e - i13 

s23c13 

c23c13 
I simboli per gli angoli e la fase sono secondo il PDG
23
La matrice CKM: sviluppo di Wolfenstein
 Sviluppiamo VCKM in serie di l  s12 @ 0.22
 Vcb = Al2, con A di O(1);
Vub = Al3(r - ih, con r e h di O(1)
 Trascurando elementi Ol4 (sufficienti per studi di CP nei B) otteniamo:
VW olfenstein
2

l
1l

2
2

l

-l
12
3
2
 Al (1 - r - ih ) - Al

Al3 ( r - ih ) 

Al2


1

 Per la violazione di CP nei K occorre uno sviluppo fino a Ol5:
2

l
1
2

2 4
l
1
+
A
l ( r + ih )

 Al3 1 - ( r + ih ) 1 - l2
2







l
2
l
1-
2
l
- Al 1 2
2

2
+ l2 ( r + ih )

Al3 ( r - ih ) 

Al2


1

 Vud , Vus , Vcs , Vcb e Vtb sono praticamente reali, Vcd e Vts sono leggermente complessi
 Vtd e Vub sono complessi
24
Gli operatori P, T, C
 In Fisica delle Particelle assumono particolare importanza gli operatori:
 Parità:


P r , t    - r , t 
 Inversione Temporale:

 
T  r , t    r ,-t 
 Coniugazione di Carica:

 
C r , t    r , t 
dove  è la funzione d’onda
25
Parità
 Inversione Spaziale:
x, y, z  - x, - y, - z


P  r , t    - r , t 
2

   P 1
P  - r , t    r , t 
è un operatore unitario
 Gli autovalori di P sono ±1
 Se  ha parità definita (è autostato di P)
P  +1
P  -1
Funzione Pari
Funzione Dispari
 Esempi:
  cosx ; P  cos- x   cosx   + ; Pari
  sin x ; P  sin - x   - sin x   - ; Dispari
  cosx  + sin x ; P  cosx  - sin x    ; Non è autostato di P
26
 La Parità di un sistema si conserva se:
H, P  0
dove H è l’hamiltoniana del sistema
 Esempio: Funzioni d’onda dell’Atomo di Idrogeno
  r ,  ,      r   lm  ,      r 
 2l + 1 l - m !P m cos  eim ;

l 
4p  l + m  !


P
P
P
P
r 
 -r  r 
 r ,  
 p -  ,  
p +  ;
P
eim 
 eimp +   (-1) m eim ;
P
Pl m  cos   
 Pl m  cos p -     (-1)l + m Pl m  cos   ;
P
 lm  ,   
  lm p -  , p +    (-1)l  lm  ,   ;
 Le armoniche sferiche hanno parità (-1)l
27
Parità intrinseca delle particelle
 I barioni p, n, … hanno P +1 per convenzione (conservazione del numero barionico)
 I mesoni p , p0 , K , K0 , K0 hanno P -1 (pseudoscalari)
 Vi sono mesoni:
 Scalari (JP= 0+):
a0, f 0,…
 Pseudoscalari (JP= 0-):
 Vettori (JP= 1-):
p , p0 , K , K0 , K0, h , h´
r , w , r0 , f, K , K0 , K0
 Vettori Assiali (JP= 1+): h1, b1,…
P
m
l
m




(
1
)

l
P  -( -1)l  l P
( -1)qq
q q 
 Fermioni e Antifermioni hanno Parità opposta
 Bosoni e Antibosoni hanno Parità uguale
28
Coniugazione di Carica

 
C r , t    r , t 
C
carica 

carica opposta;
C
momento magnetico 

momento magnetico opposto;
C
particella 

antipartic ella;
    C
  

j , E, B, m 
 - j , - E,- B, - m ;
C
Q, N B , N L 

-Q, - N B , - N L ;
 Gli autovalori di C sono ±1
29
Esempio 1: pioni
C
p + 
p-  p+ ;
p 0   ;
C p0   p0 ;
Esempio 2: neutrini

p
p+ , p-


C
C   - ;  C p0  + p0 ;


P
n
n
CP


p
non sono autostati di C

p


vietato
vietato

n
n

p
Esempio 3: stati quark-antiquark
C  -(-1)S +1 (-1) L  (-1) L+S ;
• Scambio di fermioni: -1
• Simmetria di scambio degli stati di spin: -1S+1
• Inversione spaziale: (-1L
30
Inversione Temporale

 
T  r , t    r ,-t 
 Antilineare:
T a 1 + b 2   a T 1  + b T 2 ;
 Antiunitario: antilineare e unitario
Osservabile
r
p

E
B
 B
 E
p
   p1  p2 
T
P
C
r
-r
r
posizione
-p
-p
p
impulso
-


spin   r  p 
E
-E
-E
campo elettrico
-B
B
-B
campo magnetico
 B
 B
-  B
momento magnetico di dipolo
-  E
-  E
-  E
momento elettrico di dipolo
p
-  p
p
polarizzazione longitudinale
-   p1  p2     p1  p2     p1  p2 
polarizzazione trasversa
31
Il Teorema CPT
•



•
•
•
•
Una simmetria S è conservata se:
l’operatore S commuta con l’hamiltoniana: [H,S] = 0
lascia invariante la lagrangiana: S L = L
lo stato iniziale e finale hanno lo stesso autovalore di S
Le interazioni e.m. e forti conservano sia P che C che T
Le interazioni deboli violano sia P che C
Si è osservata la violazione di CP nel sistema K0K0 e B0 B0
Teorema CPT: tutte le interazioni sono invarianti sotto la successione di
C, P, T applicate in qualunque ordine
32
La violazione di CP
 Nel Modello Standard delle interazioni elettrodeboli la violazione di CP è spiegata
dalla fase complessa della matrice CKM:
3
g
i 1
2 2
Lint   -
uiV ij m 1 -  5 d jWm+ + c.c.
 Per ottenere il coniugato hermitiano:
uiV 
ij
m
1 -  5  d jWm
+
 d i V
ij

†
 m 1 -  5  u jWm-
 mentre applicando CP:
uiV 
ij
m
1 -  5 d jWm
+
   1 -  u W
 di V
ij T
m
5
j
-
m
 CP è conservata se e solo se V = V ossia se VCKM è reale
33
Il sistema K0 K0
 Il K0(ds) ha stranezza +1, il K0(sd) ha stranezza -1
 K0 e K0 sono distinguibili solo dalla stranezza (conservata nelle interazioni e.m. e forti,
non in quelle deboli)
 K0 e K0 hanno canali di decadimento comuni: un K0 si può trasformare in un K0 e
viceversa
K0 g 2p, 3p g K0
 L’equazione di evoluzione di un sistema di K0 e K0 è:

i  t   H  t  ;
t
 t   at  K 0 + bt  K 0 ;
dove H è l’hamiltoniana efficace del sistema.
 at 
  at 
  H 

i 
t  bt 
 bt 
dove ora H è una matrice 2 x 2 non hermitiana
 M11 M12  i  G11 G12 
G
- 

H  M -i

2  M 21 M 22  2  G21 G22 
dove M e G sono hermitiane ossia: M21 = M12*, G21 = G12*, mentre M11, M22, G11, G11 sono reali
 se CPT è conservata allora M11 = M22 = M0 e G11 = G22 = G0
34
 La soluzione dell’equazione di evoluzione è:


a t   p CS e - ihS t + CL e - ihLt ;


bt   q CS e - ihS t - CL e - ihLt ;
dove CS e CL sono delle costanti che dipendono dalle condizioni iniziali
hS , L  H11  H 21H12  mS , L
i
- GS , L
2
mS ,L  M 0  M12 ;
GS ,L  G0  G12 .
sono gli autovalori
 Gli autostati di massa e vita media sono:
KS 
1
p +q
2
2
pK
0

+ qK 0 ;
q

p
KL 
1
p +q
2
2
pK
0

- qK 0 ;
H 21
;
H12
35
 Sperimentalmente:
S 
1
 0.8935  0.0008  10-10 s;
GS
L 
1
 5.17  0.04   10-8 s;
GL
Dm  mL - mS  0.5300  0.0012   1010 s -1  3.489  0.008  10-12 MeV
Dm
2Dm
xK 

 0.9455  0.0023 ;
G
GS + GL
DG GS - GL
yK 

 0.9965  0.0003 ;
2G GS + GL
36
0
 Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di K :
a (0)  1  pCS + CL ;

1
 CS  C L 
;
b(0)  0  qCS - CL ;
2p

a (t )  A K 0 (0)  K 0 (t )  f S (t );


q
b(t )  A K (0)  K (t )  f L (t );
p
0
0


1 -ihS t
f S ,L (t )  e
 e -ihLt ;
2
 Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di K 0:
a (0)  0  p CS + CL ;
1
 CS  -CL 
;
b(0)  1  qCS - CL ;
2q

 qp f (t);
b(t )  AK (0)  K (t )  f (t );
a (t )  A K 0 (0)  K 0 (t ) 
0
L
0
S
37
Violazione Indiretta di CP
 Se l’Hamiltoniana commuta con CP:


A K 0 (t  0)  K 0 (t )  K 0 H K 0  K 0 CP  CP H CP  CP  K 0 
-1

-1
K 0 CP H CP  K 0  K 0 H K 0  A K 0 (t  0)  K 0 (t )
-1

 Se le due ampiezze sono invece diverse allora abbiamo violazione di CP,
chiamata violazione indiretta o dovuta al mixing
 Definiamo il parametro e di violazione indiretta di CP:


 
 


q
f L (t ) 0
0
0
0
A K ( t  0 )  K ( t ) - A K ( t  0)  K ( t )
p

A K 0 (t  0)  K 0 (t ) + A K 0 (t  0)  K 0 (t ) q f (t ) +
L
p
p-q
2e
e 
dove
 -2e
2
p+q
1+ e
p
f L (t )
q2 - p 2
q
 2

2
p
f L (t ) q + p
q
38
 Riscriviamo gli autostati di massa:
1

KS 
2 1+ e


1
KL 

2 1+ e



dove

 K1 

K2 

2
2




1 + e K
0
1 + e K
0


1
K0 + K0 ;
2
1
K0 - K0 ;
2

+ 1 - e K 
0

- 1 - e K 
0
1
1 + e 
2
1
1 + e 
2
K1 + e K2 ;
K2 + e K1 ;
 K1 e K2 sono autostati di CP:
 con la convenzione:
CPK1  K1;

CPK2  - K2 ;
CPK 0  K 0 ,
CP K 0  K 0 .
 e è in generale complesso e la sua fase, con questa convenzione, risulta:
 Dm 
fe  arctan 
  43.4
 G 
39
Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP:

p0 p0 CP+1;

p+ p- CP+1;

p0 p0 p0 CP-1;

p+ p- p0 CP-1 tranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di
pioni sia dispari)
Se non vi è violazione di CP nel decadimento:
K1  2p
K 2 3p
da cui:
BR K L  2p  
AK L  2p 
AK L  tutto
 e AK S  2p 
2
2
2
L

2
 AK L  2p 
 e BR K S  2p 
2
2
L

 e AK1  2p 
2
2
L

L
 3 10 -3 BR K S  2p 
S
mentre:
BR K
S
 3p
0
 e
2
BR K
L
 3p
0

S
 9  10-9 BR K L  3p 0 
L
40

CP di pp e ppp
Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP:
 p0 p0 CP+1; a C p0  +p0; p0g
 p+ p- CP+1; a C(p+ p- )  Scambio(p+ p- ) Pspaziale (p+ p- )  -1I+L -1L
I = isospin
 i pioni sono bosoni (simmetrici nello scambio)
 I+L pari, I+L = 2L
 P(p+p-  -1-1 Pspaziale(p+p-
 CP(p+ p-  -12L  +1
 p0 p0 p0 CP-1; a L pari tra ogni coppia di p0
 p+ p- p0 CP-1 tranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di
pioni sia dispari)
 CP (p+ p- ) = -12L
 CP (p0  -1
 Pspaziale((p+p-p0  -1L
 CP (p+ p- p0 ) = -13L+1
41
Sperimentalmente:

BR K

  0.936  0.02010
AK  p p 
h e 
e
AK  p p 
AK  p p 
h e 
e
AK  p p 
BR K L  p +p -  2.067  0.03510-3
L
 p 0p 0
h+ -
-3
+-
f+ -
L
+
-
+
-
S
Se CP è conservata nel decadimento:
h00
f00
0
0
0
0
L
00
S
h+-   2.276  0.017  10-3 , f+-   43.3  0.5 
Sperimentalmente:
h00   2.262  0.017  10-3 , f00   43.2  1.0 
Nei decadimenti semileptonici del KL:




GK L  p -l +n  - G K L  p +l -n

 2 e
- +
+ GK L  p l n  + G K L  p l n
Sperimentalmente:
 (l  e)  0.333  0.014%,
 (l  m )  0.304  0.025%
42
Il parametro e
s
t,c,u
K0
W
d
d
K0
W
t,c,u
s
 I diagrammi con u sono trascurabili (mu << mc, mt )
 Diagramma con c e c:
2
 VcsVcd  mc2  l2 + i 2 A2l6h mc2
 Diagramma con c e t:
 2VcsVcd VtsVtd mc mt  2 A2l6 (1 - r ) - i 2 A2l6h mc mt
 Diagramma con t e t:


 VtsVtd  mt2  A4l10 (1 - r )2 + h 2 - i 2 A4l10 (1 - r )h mt2
2
Abox
e 
Abox
 La parte reale è dominata dal diagramma con c e c
 Per la parte immaginaria i tre contributi sono paragonabili
43
 più precisamente…

e  Ce Bˆ K A2 l6 h 1 - r A2l4h2 S ( xt ) + h3 S ( xc , xt ) - h1 xc
 Il primo termine vale circa il 75%, il secondo il 37%, il terzo(negativo)il 12%
 l2 
r  r 1 - ;
2

 l2 
h  h 1 - ;
2

h1  1.38  0.53;
 
h2  0.574  0.004;
h   0.47  0.04;
 3
GF2 f K2mK M W2
4
Ce 

3
.
85

10
;
2
6 2p DmK
Bˆ K  0.87  0.06  0.13;
44

2
m
xc  c2 ;
MW
2
m
xt  t2 ;
MW
 mc  1.3 GeV;

mt  167 GeV;





1
9
1
3
1
3
x



t
S ( xt )  xt  +
ln
x
;

t


2



 4 4 1 - xt 2 1 - xt   2 1 - xt 
2

 

x
8
x
+
4
3
x

t
t
S ( xc , xt )  - xc ln xc + xc  t
ln
x
+
;
t

 2
4 xt - 1
 41 - xt 
3
Sperimentalmente:
e  2.271  0.017 10-3
45
Violazione diretta di CP
 CP puo’ essere violata anche nel decadimento:

 + AK
AK 0  p +p -  - A K 0  p +p -
AK 0  p +p -
0
 p +p -
  e ;


AK  p p  + AK
  e ;
p p 
AK 0  p 0p 0  - A K 0  p 0p 0
0
0
0
0
0
0
 Se CPT è conservata la larghezza totale di decadimento del K0 deve essere uguale
2
2
2
2
a quella del K0:
A+- + A00  A+- + A00 ;
 e quindi

A
e   -e 
A
+00
+ A+ + A00
 Se la violazione di CP è piccola:


2
 Per simmetria di isospin: A+ - 
2 A00
2
A+ - + A+ -  2 A+ - ;
AK L  p +p - 
h+ - 
 e + e ;
+ AK S  p p 
da cui:
e   -2e 
AK L  p 0p 0 
h00 
 e - 2e ;
0 0
AK S  p p 
46
Teorema di Watson
 Se vale il teorema CPT
 Se T è conservata nelle interazioni forti
 Allora per ogni decadimento debole di un adrone i a spin nullo in uno stato finale f :
Ai  f   e
2i
A i  f 

dove  è la fase dovuta alla diffusione elastica (causata dalle interazioni forti) tra gli adroni
nello stato finale f
47
Violazione diretta di CP (II)
 Gli stati a due pioni possono essere scritti in funzione dell’isospin:
p +p - 
2
1
I 0 +
I 2 ;
3
3
 Dal teorema di Watson:
p 0p 0  -
1
2
I 0 +
I 2 ;
3
3
AK 0  (pp ) I   AI ei I ;


A K 0  (pp ) I  AIei I ;
 Da cui per KS e KL:
6(1 + e AK S  p +p -   2 (1 + e ) A0ei 0 + 2 (1 - e ) A0ei 0 + (1 + e ) A2ei 2 + (1 - e ) A2ei 2 ;
2
6(1 + e AK S  p 0p 0   -(1 + e ) A0ei 0 - (1 - e ) A0ei 0 + 2 (1 + e ) A2ei 2 + 2 (1 - e ) A2ei 2 ;
2
6(1 + e AK L  p +p -   2 (1 + e ) A0ei 0 - 2 (1 - e ) A0ei 0 + (1 + e ) A2ei 2 - (1 - e ) A2ei 2 ;
2
6(1 + e AK L  p 0p 0   -(1 + e ) A0ei 0 + (1 - e ) A0ei 0 + 2 (1 + e ) A2ei 2 - 2 (1 - e ) A2ei 2 ;
2
48
AK L  p 0p 0  i A0 + e A0 ei 0 - 2 i A2 + e A2 ei 2
h00 

;
0 0
i 0
i 2
AK S  p p  A0 + i e A0 e - 2 A2 + i e A2 e
 La convenzione di Wu-Yang consiste nell’imporre
 Definiamo: w 
A2 A2

 0.045
A0 A0
e 
A0  0;
(dai rate sperimentali di decadimento di K0 e K+):
i i ( 2 - 0 ) A2
e
;

A
2
0
 Avremo:
e- 2
i A2 + e A2  ei ( - )
2
0
e - 2e  - 2 e w ei ( 2 - 0 )
A0
h00 

 e - 2e ;
A2 + i e A2 i ( 2 - 0 )
1 - 2 w - 2e e 
1- 2
e
A0
49
 Analogamente:
h+ -
AK L  p +p - 


+ AK S  p p 
h+ -
1 i A2 + e A2  i ( 2 - 0 )
1
e
e +e+
e w ei ( 2 - 0 )
A0
2
2


 e + e ;
1 A2 + i e A2 i ( 2 - 0 )
1
1+
e
1+
w ei ( 2 - 0 ) + e e 
A0
2
2
2 i A0 + e A0 ei 0 + i A2 + e A2 ei 2
;
i 0
i 2
2 A0 + i e A0 e + A2 + i e A2 e
e+
Con la convenzione di Wu-Yang: e  e
R
h00
2
h+ -
2
 Abbiamo:
h00  e - 2e ;

h+ -  e + e 
BR K L  p 0p 0 BR K S  p +p - 
e

 1 - 6 ;
0 0
+ BR K S  p p BR K L  p p 
e 
 R è chiamato il Doppio Rapporto
50
 Sperimentalmente:
e
   23.0  6.5  10-4 ( NA31);
e 
e
   7.4  5.9   10-4 ( E 731);
e 
e
   15.3  2.6  10-4 ( NA48);
e 
e
   20.7  2.8  10-4 ( KTEV );
e 
51
Schema dei fasci di NA48
I rivelatori di NA48
Se i 4 decadimenti vengono raccolti
contemporaneamente e nello stesso
volume fiduciale:
R
BR  K L  p 0p 0  BR  K S  p +p - 
BR  K S  p 0p 0  BR  K L  p +p - 
N  K L  p 0p 0  N  K S  p +p - 
N  KS  p p
0
0
 N K
p p
+
L
-

;
u
p+
d
W
W
s
u
s
p-
K0
d
u, c, t
, g, Z
K0
d
u
u
d
d
 Il BR è dominato dal primo diagramma:
p+
p-
d
 VusVud  l2
2
 e´ è dominato dal secondo diagramma con il top:  VtsVtd   A2 l5h
 In realtà i calcoli sono molto complicati
Vub Vcb sin 

e
0.074
e
 110 MeV 


 M s (M c ) 
2
2.5

 M t   L MS 

 
0.75B6 - 0.4 B8 
 165 GeV   340 MeV 

 I “pinguini” forti(B6) ed elettrodeboli (B8) tendono a cancellarsi
53
KLgp0nn
 E’ il canale preferito per la
violazione di CP
n
Z
s
 CP(p0 = -1, CP(nn) = +1
 Pspaziale(p0 (nn) ) = -1L = -1
d
u, c, t
p0
K0
W
 CP(p0 nn ) = +1




AK  p nn   AK  p nn   R ;
AK  p nn   i AK  p nn   i I ;
BR K  p nn   I + 2- i e R I  + e
1
A K  p nn 
A K +  p +nn ;
2
0
n
d
d
0
+
0
+
1
A
+
0
+
2
A
0
L
2
A
A
A
2
RA2  I A2
 la violazione indiretta di CP è trascurabile
 il pinguino con il top è dominante:
RA VtsVtd  3.0  10-4


;

-4
I A VtsVtd  1.4  10
54


BR K L  p 0nn  4.08  10-10 A2h 2  2.6  1.2   10-11;
2
-2


2


 l 
2
BR K +  p +nn  8.88  10-11 A4 1.4 - r  +  1 -  h    7.5  2.9   10-11;


2  

 

2
 l 
h  1 - h ;
2
 dove



 l2 
r  1 -  r ;
2

 sperimentalmente:


-10
BR K +  p +nn  1.57+-10..75

10
[E787, 2 eventi osservati]
82
55
Triangoli di Unitarietà
 La Matrice CKM è unitaria a vi sono 6 relazioni che devono essere uguali a zero:
1 VudVus + VcdVcs + VtdVts  0;
3 VusVub + VcsVcb + VtsVtb  0;
5 Vud Vtd + VusVts + VubVtb  0;
2  VudVub + VcdVcb + VtdVtb  0;
4  Vud Vcd + VusVcs + VubVcb  0;
6 Vcd Vtd + VcsVts + VcbVtb  0;
 Si rappresentano come triangoli nel piano complesso (triangoli di unitarietà)
 I lati e gli angoli sono misurabili sperimentalmente e sono vincolati dalla teoria
Tutti i triangoli hanno area uguale:
1
1
A triangolo  J CP   VijVklVilVkj ;
2
2
2
J CP  s12 s13s23c12c13
c23s13  A2l6h ;
i  k , j  l;
56
1 VudVus + VcdVcs + VtdVts  0;
Im
Non in scala
 l2 
 l2 
0  l 1 -  - l 1 -  1 + A2l4 r + ih  +
2
2




VcdVcs


 l2   l2  2
+ A l 1 - r + ih 1 -  1 -  + l r - ih 
2   
2



VtdVts
VudVus
2 5
Re
Im
2 V

ud ub

cb
VudVub

td tb
V + VcdV + V V  0
VtdVtb
VcdVcb
Re

 l2 
 l2 
3
2 4
3
0  Al 1 - r + ih  - Al 1 + A l r + ih  + Al 1 - r + ih 1 - 
2
2 



3


57
Im
Non in scala
3 VusVub + VcsVcb + VtsVtb  0;
VtsVtb
VusVub
VcsVcb
Re


 l2 
l2  2
2 
0  Al r + ih  + Al 1 -  - Al 1 -  + l r + ih 
2
2



4
2
Im
Non in scala
4 Vud Vcd + VusVcs + VubVcb  0;
Vud Vcd
VusVcs
Vub Vcb
Re
2
 l2 


l
2 4
0  - l 1 -  1 + A l r + ih  + l 1 -  + A2l5 r + ih 
2
2




58
Im
5 V

ud td

us ts

ub tb
V + V V + V V  0;
VubVtb
Vud Vtd
VusVts
Re


 l2  
 l2 
l2  2
3 
0  Al 1 -  1 - r + ih 1 -  - Al 1 -  + l r + ih  + Al3 r + ih 
2 
2 
2




3
6 Vcd Vtd + VcsVts + VcbVtb  0;

 l2  
0  - Al 1 + A l r - ih  1 - r + ih 1 -   2 


4

 l
- Al 1 2

2
2

2 4
  l
 1 2
 
2

 2
 + l r + ih  + Al2


Im
Non in scala
VcsVts
VcbVtb
Vcd Vtd
Re
59
Il sistema Bd Bd
 Il sistema Bd Bd è analogo a quello K0 K0 ma:
DM Bd  0.489  0.008 ps -1;
 B   B  1.56  0.06 ps;
1
2
DM Bd

 0.76  0.03;
 xBd  G
Bd


 y  DGBd  0;
 Bd 2GB
d

 Non possiamo cercare violazioni di CP come KLg2p
 Si possono confrontare i decadimenti del Bd e del Bd in uno stato finale fCP
(che sia autostato di CP) in funzione del tempo:

 DM Bd t  qBd
 DM Bd t 
 + i
;
f CP , t Bd (t  0)  e
e
AfCP sin 
 AfCP cos
pBd

 2 
 2 
pBd
 DM Bd t 
 DM Bd t 
-t /( 2 Bd ) -iM Bd t 
 + i
;
f CP , t Bd (t  0)  e
e
AfCP sin 
 AfCP cos

 2  qBd
 2 
-t /( 2 Bd ) -iM Bd t
 pBd e qBd sono gli analoghi di p e q per i K0 mentre
AfCP  fCP Bd ;
AfCP  fCP Bd ;
60
 Definiamo:
rfCP 
qBd AfCP
pBd AfCP
 Se CP non fosse violata
;
f CP Bd  CPfCP CP Bd   fCP Bd ;
dove ± dipende dall’autovalore di CP di fCP
 Quindi:
2
2

1 + rfCP
1 - rfCP
2 -t / 
Bd

GBd t  0  fCP (t )   AfCP e
+
cos DM Bd t -  rfCP sin DM Bd t
 2
2


   
2
2

1
+
r
1
r
2 -t / 
f CP
f CP
G Bd t  0  f CP (t )  AfCP e Bd 
cos DM Bd t -  rfCP sin DM Bd t
 2
2




 L’asimmetria dipendente dal tempo sarà:
a fCP (t ) 
   




GBd t  0  f CP (t )  - G Bd t  0  f CP (t )

GBd t  0  f CP (t )  + G Bd t  0  f CP (t )


  

1 - r 2  cos DM t - 2 r sin DM t
f CP
Bd
f CP
Bd



;
2
1 + rfCP
61










 eBd è l’analogo di e per i
K0:
e B  1;
d
qBd
pBd

 Se vi è un solo diagramma dominante nel decadimento:
AfCP  AfCP eifD ,
 Quindi
rfCP  1
AfCP   AfCP e - ifD ;
ossia:
1 - e Bd
1 + e Bd
A fCP
A fCP
1
 1;


a fCP (t )  k fCP sin 2f M + fD sin DM Bd t ;
 k f C P è l’autovalore di CP di f CP
 2fM è la fase del mixing BdBd
 fD è la fase debole dell’ampiezza di decadimento
62
b
Bd
t
W
d
qBd
pBd

1 - e Bd
1 + e Bd

H 21

H12
d
W
Bd
t
b
V V   V V   V
V V  V V  V
2

tb td
 2
tb td

tb td

tb td
td

td
 e2iftd
 Il triangolo di unitarietà (2) “normalizzato” è:
Im

ub

cb
V
lV
 Vtb, Vcd, Vcb, Vud sono reali
 ftd= b
 l2 
 l2 
r  r 1 - , h  h 1 - ;
2
2



0,0
r ,h 

Vtd
lVcb
b
1,0
Re
63
J/ KS
 L’fCP “d’oro” è J/ KS con kCP = -1
 CP J/ = + J/ (stessi numeri quantici del fotone)
 CP KS = + KS e1
b
 P lJ/ KS = -1
AfCP
l2 
2
 VcbVcs  Al 1 - 
2

c
W
Bd
J/
c
s
d
KS
d
 fD = 0 (diagrammi a pinguino trascurabili)

a J / K S (t )  - sin 2 b  sin DM Bd t

64
p+ p fCP = p+p- con kCP = +1
u
d
 fD = 
W
b
AfCP
p+
 l2  

 VubVud  1 - Vub
2

u
p-
Bd
d
d


t   sin 2  sin DM t 
ap +p - (t )  sin 2b +   sin DM Bd t 

 sin 2p -   sin DM Bd
Bd
 In realtà I diagrammi a pinguino non sono trascurabili
65
Il sistema Bs Bs
 Vi è anche il sistema Bs Bs è analogo a quello K0 K0:
 B   B al livello di qualche per cento
DM Bs  14.6 ps-1;
1
2
b
Bs
t
W
s
s
W
t
Bs
b
 L’angolo  può essere misurato dalle oscillazioni:
Bs  Ds- K + , Ds+ K - ;
Bs  Ds- K + , Ds+ K - .
 Anche il trangolo di unitarietà (5) può essere studiato
 Avremo angoli ´, b´, ´≡  + 
  può essere misurato dalle oscillazioni:
Bs , Bs  J / f
66
 La relazione tra DMB e gli elementi della matrice CKM è:
DM Bd
GF2 M W2
2
2
2 ˆ

V
V
M
f
tb
td
Bd
Bd BBd hc S  xt ;
6p 2
mt2
xt  2 ;
MW
hc  0.55  0.01;
mt  167  5 GeV;
f Bd Bˆ Bd  230  25  20 MeV;


2
2

Vtb Vtd  A l 1 - r + h ;
2
2
2 6
 Il rapporto tra il DMB del Bd e del Bs è:
 l2 
 dove possiamo sostituire: Vts  Vcb 1 - ;
2

DM Bd
DM Bs
 e conosciamo con maggiore precisione il rapporto:  
2
M Bd f B2d Bˆ Bd Vtd

;
2
2 ˆ
M Bs f Bs BBs Vts
f Bd Bˆ Bd
f Bs Bˆ Bs
 1.14  0.04  0.05;
67
Fit al Triangolo di Unitarietà
 Con I dati attuali:
A
Vcb
l
2
 0.813  0.037;
 l2 
r  r 1 -   0.218  0.038;
2

 l2 
h  h 1 -   0.316  0.040;
2

 da cui:
sin 2   -0.42  0.24;
sin 2 b   0.696  0.068;
  55.5  6.2 ;
68
Misura Sperimentale di sin2b
 Dall’asimmetria nelle oscillazioni di Bd e Bd con decadimento in J/ KS ed altri:
sin 2 b   3.20+-12..80 stat  0.5sist (OPAL );
82
sin 2 b   0.84 +-10..04
 0.16 sist ( Aleph );
stat
sin 2 b   0.91  0.32 stat  0.18sist (CDF );
sin 2 b   0.82  0.12 stat  0.05sist ( BELLE );
sin 2 b   0.75  0.09 stat  0.04 sist ( BABAR );
sin 2b   0.78  0.08 (media mondiale )
69
Il Triangolo di unitarietà: le misure dei lati e dell’angolo b sono per ora consistenti
70
LHCb funzionerà al collider LHC
a partire dal 2007
E’ stato progettato per misurare
i lati e gli angoli dei triangoli di
unitarietà con grande precisione
utilizzando i decadimenti dei
mesoni B
71
Il Triangolo di unitarietà può essere misurato anche usando solo i K
72
Conclusioni








La violazione di CP è stata osservata nei sistemi K0 K0 e Bd Bd
Nel modello standard è generata dalla fase complessa nella matrice CKM
La violazione di CP nei K0 K0 è giunta inaspettata
La violazione di CP nei Bd Bdè stata predetta con notevole precisione
Interrogativi aperti:
Vi sono altre sorgenti di violazione di CP?
La violazione di CP osservata è sufficiente per spiegare l’asimmetria barionica
nell’Universo?
La matrice di mescolamento dei neutrini (matrice MNS) può produrre
violazione di CP nel settore leptonico?
73