Università degli Studi di
Ferrara
CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA
ANNO ACCADEMICO 2005/2006
Il problema della misura.
Integrale definito e sue
applicazioni
Specializzando
Dott. Eros Bernardi
Tutor
Prof. Luigi Tomasi
Relatore
Prof. Valter Roselli
Introduzione al percorso didattico e
scelte metodologiche.
Il capitolo risulta composto da una breve
introduzione; quindi prosegue con la trattazione
storica del concetto di integrale definito, per
concludersi con la trattazione delle scelte
metodologiche per la classe.
Presentazione dei contenuti
ed intervento didattico.
Il secondo capitolo si apre con la trattazione degli
obbiettivi e prerequisiti per poi dare ampio spazio
alla tempistica e trattazione degli argomenti.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
2
Scelta del periodo e metodologie





Percorso didattico previsto per una classe quinta
di un Liceo Scientifico con indirizzo P.N.I. nel
periodo di Marzo Aprile.
Il docente cercherà ogni occasione per illustrare
alcune questioni di epistemologia della disciplina.
L'uso dell'elaboratore elettronico sarà via via
potenziato.
Visualizzazione di processi algoritmici non
attuabile con elaborazione manuale
Si insiste sull'opportunità che l'insegnamento sia
condotto per problemi.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
3
Programma ministeriale



Il problema della misura sarà affrontato
con un approccio molto generale.
Inquadramento preferibilmente sotto il
profilo storico.
Il concetto di integrale scaturirà poi in
modo naturale dalla necessità di dare
metodi generali per il calcolo di lunghezze,
aree, volumi
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
4
Prerequisiti





Divisione tra due polinomi; i radicali;
geometria analitica; trigonometria;
funzioni esponenziali e logaritmiche.
Rappresentazione grafica di una funzione
nel piano cartesiano.
Limite per successioni e funzioni.
Continuità e derivazione.
Integrale indefinito.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
5
Obiettivi generali



Essere in grado di inquadrare
storicamente l'evoluzione delle idee
matematiche fondamentali.
Avere compreso il valore strumentale della
matematica per lo studio delle altre
scienze.
Sapere elaborare informazioni ed utilizzare
consapevolmente metodi di calcolo e
strumenti informatici
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
6
Obiettivi specifici



Saper affrontare a livello critico situazioni
problematiche di varia natura, scegliendo
in modo flessibile e personalizzato le
strategie di approccio.
Abilità di individuare le strategie più
appropriate per risolvere integrali e
problemi connessi al calcolo integrale
(calcolo di aree, volumi ecc.)
Significati fisici del concetto di integrale
definito
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
7
Cenni storici sul concetto di
integrale



Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla
necessità di determinare le aree di figure piane aventi
contorno curvilineo.
Le idee principali che sono alla base del calcolo
differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i primi
passi furono compiuti dai matematici greci.
Il primo a muovesi in questa direzione
è Archimede di Siracusa (287-212 a.C.)
che mediante il metodo di esaustione
calcola con buona approssimazione
l’area del cerchio e determina l’area del settore
parabolico.
C
E V
G
F
D
B
A
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
8
La nascita del calcolo integrale
Anche se esistono alcune
discussioni sulla paternità
originale, Gottfried Wilhellm
von Leibniz (1642-1727) è
accreditato assieme ad Isaac
Newton dell'invenzione,
intorno al 1670, del calcolo
infinitesimale.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
9
Lo sviluppo del calcolo integrale
In seguito Augustin Louis
Cauchy(1789-1857) nel Cours
d’analyse da una definizione
Rigorosa dell’integrale.
Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet(1805-1859) affermare
che condizione necessaria per
l'integrabilità sia che l'insieme dei
suoi punti di discontinuità sia
"rado“.
1 se x è razionale
 x   
0 se x è irrazional eClasse di Concorso A049
Anno 2005/2006
Eros Bernardi
10
Il problema è ripreso nella memoria di
Georg Friedrich Bernhard
Riemann(1826-1866), in essa,
introduce l'integrale che porta il suo
nome.
Henri Léon Lebesgue(1875-1941)
rielaborò le nuove idee, ponendole alla
base della sua trattazione dell'integrale
una nuova idea di integrazione
estendendo la classe delle funzioni
integrabili
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
11
Sequenza logica e
temporale dei contenuti.

Dalla definizione di integrale al teorema di
Torricelli-Barrow
Grafico della funzione integrale ed il calcolo delle
aree
Integrale generalizzato
Volumi dei solidi, lunghezza di archi di curva e
l’area di una superficie di rotazione.
Derive6, l’integrale definito e le sue applicazioni.

Significati dell’integrale in fisica.




Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
12
Trapezoide.
Sia la funzione positiva nell’intervallo allora:

Dividiamo l'intervallo in parti uguali di ampiezza
x 


b  a
n
Consideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di
suddivisione e per altezza il segmentomi o M i
Indichiamo con sn la somma delle aree di tutti questi
rettangoli di altezza
mi
sn  m1  x  m2  x  ..............  mn 1  x  mn  x
Analogamente si avrà se considero M i
Sn  M1  x  M 2  x  ..............  M n 1  x  M n  x
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
13

Utilizzando l'ipotesi di continuità della
funzione f x  in a; b si riesce a dimostrare,
che le due successioni:
s1 , s2 , s3 ...... S1, S2 , S3......
convergono allo stesso limite, che viene
indicato con il simbolo:

b
a
Anno 2005/2006
f x dx
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
14
Integrale definito


Tuttavia la definizione più generale di
integrale definito non richiede questa
ipotesi in quanto non si collega all'area dei
trapezoidi.
Possiamo comunque dare
un significato di tipo
geometrico, considerando,
ad esempio, una funzione
come in figura Classe di Concorso A049
Anno 2005/2006
Eros Bernardi
15
Calcolo dell’integrale definito



Il calcolo dell’integrale definito
risulta complesso anche se
consideriamo una funzione
semplice come la parabola
Nella maggior parte dei casi
risulta impossibile da calcolare.
Risulta come si osserva in alcuni
casi particolari legarlo ai valori
a
1 3
2
della primitiva agli estremi
x dx  a

0
3
dell’intervallo
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
16
Teorema della media.

Se f x  è una funzione continua in a; b ,
esiste almeno un punto c  a; b tale che:
f  x dx

f c  
b
a
ba

Significato Geometrico.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
17
Teorema di Torricelli-Barrow.
Data la funzione f x  continua in un intervallo
a; b , la funzione integrale:
F x    f t dt
x
a
è derivabile x  a; b e risulta:
F x  f x
Anno 2005/2006
F a   0
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
18
Il calcolo dell’integrale
definito.

Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo
ottenere la formula del calcolo
dell’integrale definito.
 f xdx  F x
b
a

b
a
 F b  F a 
e la funzione integranda
F x    f t dt
x
a
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
19
Il calcolo delle aree





Area del segmento parabolico
Area delimitata da una circonferenza
Area della regione delimitata
dall’ellisse
Le aree di figure piane
Il problema delle aree “negative”.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
20
Area racchiusa da due
funzioni.
Siano f x  e g x due funzioni definite
nello stesso intervallo a; b , con f x   g x 
per ogni x in a; b , i cui grafici
racchiudano una superficie chiusa. L’area
della super-ficie è allora data:
Area    f x   g x dx
b
a
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
21
Gli Integrali generalizato





Consideriamo la funzione f x  continuaa; b
Consideriamo un punto z interno
all'intervallo
La funzione f x  continua a; z 
z
Quindi esiste l'integrale F z   a f xdx
Si dice che la funzione è in integrabile in
senso improprio se esiste ed è finito il
limite: lim F z  Classe di Concorso A049
z b 
Anno 2005/2006
Eros Bernardi
22
Volumi dei solidi

Metodo delle “fette”

Volume dei solidi di rotazione
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
23
Derive6 e l’integrale e sue
applicazioni.
Rappresentare sullo stesso grafico
2
la funzione e una sua funzione y  x  x  6
integrale
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
24
Osservazioni sulla funzione
integrale.



Osserviamo che i grafici delle
funzioni possono essere
sovrapposti.
I grafici mette in rilievo il fatto che
la funzione integrale per i valori di
a=5 si annulla in x=5
Negli intervalli in cui la parabola è
positiva la funzione integrale e
crescente e viceversa
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
25
Approfondimenti: significato
fisico dell’integrale.





Legge oraria del moto.
Il lavoro.
Energia Cinetica.
Quantità di carica.
Energia di una corrente alternata.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
26
Verifiche - Valutazione



Le fasi di verifica e valutazione
dell'apprendimento devono essere
strettamente correlate e coerenti.
La valutazione non deve essere un controllo
sulla padronanza delle sole abilità di calcolo o
di particolari conoscenze mnemoniche degli
allievi.
Le verifiche sommative serviranno a valutare
il grado di conoscenze e competenze
raggiunto da ogni studente.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
27
Recupero



Attraverso la ripresa dei concetti non
recepiti e lo svolgimento di esercizi che
aiutino a fare chiarezza sulle procedure
non comprese.
Attività pomeridiane con gli studenti
interessati (sportello scolastico e tutoring).
Diversificati interventi didattici, finalizzati
anche all'attività di recupero.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
28
Conclusioni




Compito dell’insegnante è proprio fare da
mediatore tra i saperi accademici e gli
studenti
Far cogliere i legami interdisciplinari
dell’argomento.
Demolire il normale contratto didattico con gli
alunni.
Fare accettare allo studente la responsabilità
di una situazione di apprendimento.
Anno 2005/2006
Classe di Concorso A049
Eros Bernardi
29