Sistemi e Tecnologie della
Comunicazione
Complementi 2: serie e trasformate di Fourier
Formule di prostaferesi

Le formule di prostaferesi esprimono il valore di seno e coseno di somme di
angoli in prodotti di seni e coseni dei singoli angoli, e viceversa:
cos(    )  cos(  ) cos(  )  sin(  ) sin(  )
cos(    )  cos(  ) cos(  )  sin(  ) sin(  )
sin(    )  sin(  ) cos(  )  cos(  ) sin(  )
sin(    )  sin(  ) cos(  )  cos(  ) sin(  )
cos(  ) cos(  ) 
1
 cos(    )  cos(    ) 
2
sin(  ) sin(  )  
1
 cos(    )  cos(    ) 
2
sin(  ) cos(  ) 
1
 sin(    )  sin(    ) 
2
cos(  ) sin(  ) 
1
 sin(    )  sin(    ) 
2
Funzione periodica di periodo T

Sia per tutto il seguito T=1/f
Data la funzione:
sin  2 nft 
si dimostra che e’ periodica di periodo T:
sin  2 nf ( t  T )   sin  2 nft  2 nfT  

1
sin  2 nft  2 nf   sin  2 nft  2 n  
f 

sin  2 nft 
l’ultima uguaglianza in quanto, per ogni angolo θ si ha:
sin   2 n   sin  
Integrali utili
(1) 
T
0
 0
cos  2 nft  dt  
 T
(2)  sin  2 nft  dt  0
T
0
(3) 
T
(4) 
T
0
0
n  0
per n  0
n
 0  n  0
cos  2 nft    dt  
 T cos   per n  0
 0  n  0
sin  2 nft    dt  
 T sin   per n  0
Dimostrazioni
Integrale (1):
 T cos( 0 ) dt  T dt  T  0  T
se n  0
0
 0
T
0 cos  2 nft  dt   1

 sin  2 nfT   sin  0    1  sin  2 n   0   0
 2 nf
2 nf
se n  0
Integrale (2)
per n = 0:

T
0
sin  2 nft  dt 

T
0
0 dt  0
per n ≠ 0:

T
0
sin  2 nft  dt 
1
 cos  2 nfT   cos  0    1  cos  2 n   1   1 1  1   0
2 nf
2 nf
2 nf
Dimostrazioni (cont.)
Integrale (3):

T
0
cos  2 nft    dt 
  cos  2 nft  cos    sin  2 nft  sin    dt 
T
0
cos    cos  2 nf  dt  sin     sin  2 nf  dt
T
T
0
0
Applicando i risultati degli integrali (1) e (2) si ha la dimostrazione.
L’integrale (4) si dimostra in modo analogo, applicando le formule
di prostaferesi e poi i risultati degli integrali (1) e (2)
Altri integrali utili
(5)  cos  2 nft  sin  2 kft  dt  0
T
0
0
(6)  cos  2 nft  cos  2 kft  dt  
0
 T/2
T
0
(7)  sin  2 nft  sin  2 kft  dt  
0
 T/2
T
 n, k
se n  k
se n  k
se n  k
se n  k
Dimostrazioni
Integrale (5):

T
0
cos  2 nft sin  2 kft  dt 
1
0 2  sin  2 nft  2 kf   sin  2 nft  2 kf  dt 
1 T
1 T
sin  2  ( n  k ) f dt   sin  2  ( n  k ) f dt

0
2
2 0
T
Poiche’ l’integrale (2) vale 0 per ogni n, l’integrale (5) vale 0.
Gli integrali (6) e (7) si dimostrano in modo analogo, applicando
le formule di prostaferesi ed i risultati degli intergali (1)-(4),
ricordando che per (n-k)=0 l’integrale del coseno non e’ nullo!
Serie di Fourier


Data una qualsiasi funzione periodica di periodo T continua con
derivata continua a tratti e limitata, e’ possibile scriverla come
somma di seni e coseni:


a0
v(t ) 
  a n  cos  2 nft    b n  sin  2 nft 
2
n 1
n 1
dove f = 1/T e’ la frequenza della funzione
I coefficienti dello sviluppo sono dati dalle relazioni:
2 T
a 0    v ( t ) dt
T 0
an
2 T
   v ( t ) cos  2 nft  dt
T 0
2 T
b n    v ( t ) sin  2 nft  dt
T 0
Dimostrazione dei coefficienti di Fourier

Coefficiente a0:

T
0
v ( t ) dt 
T
a0
0
2


n 0
T
0
dt    a n cos  2 nft  dt 
T
n 0
0
b n sin  2 nft  dt
per gli integrali (1) e (2) – in questo caso n≠0! - tutti i termini delle
due sommatorie sono nulli, quindi:

T
0
v ( t ) dt 
T
a0
0
2

dt 
Ta 0
2
2
 a0 
T

T
0
v ( t ) dt
Dimostrazione dei coefficienti di Fourier

Coefficiente ak (per i coefficienti bk la dimostrazione e’ analoga):
v ( t ) cos  2 kft  dt 

T

T
a0
0
2
0
cos  2 kft  dt 

n 0

n0
T
0
T
0
a n cos  2 nft  cos  2 kft  dt 
b n sin  2 nft  cos  2 kft  dt
il primo addendo vale zero (per l’integrale (1)), ed il terzo anche (per
l’integrale (5), per tutti gli n), quindi

T
0
v ( t ) cos  2 kft  dt 

n 0
T
0
a n cos  2  ( n  k ) ft  dt
per l’integrale (6) sono nulli i termini della somma con n ≠ k, quindi

T
0
T
2
v ( t ) cos  2 kft  dt  a k  a k 
2
T

T
0
v ( t ) cos  2 kft  dt
Esempio

Vediamo lo sviluppo in serie di Fourier della funzione
v ( t )  A cos  2ft   

Il calcolo dei coefficienti e’:
2
a0 
T
an 
2
T
T
A cos  2 ft    cos  2 nft  dt 
0

A cos  2 ft    dt  0 (vedi integrale (3))

T
0
2 T
A  cos  2 ft  cos    sin  2 ft  sin    cos  2 nft  dt 

0
T
T
T
2
2
A cos    cos  2 ft  cos  2 nft  dt  A sin    sin  2 ft  cos  2 nft  dt
0
0
T
T
Esempio

Il secondo addendo e nullo (integrale (5)), mentre il terzo e’ nullo per
n≠1, quindi
an  0
a1 
bn 
2
T

T
0
per n  1
2
T
A cos    A cos  
T
2
A cos  2 ft    sin  2 nft  dt 
2 T
A  cos  2 ft  cos    sin  2 ft  sin    sin  2 nft  dt 

0
T
T
T
2
2
A cos    cos  2 ft  sin  2 nft  dt  A sin    sin  2 ft  sin  2 nft  dt
0
0
T
T
Il primo addendo e’ sempre nullo, il secondo e’ nullo per n≠1, quindi
bn  0
b1  
per n  1
2
T
A cos     A sin  
T
2
Esempio

Si ha quindi lo sviluppo:
A cos  2 ft     a 1 cos  2 ft   b 1 sin  2 ft  
A cos   cos  2 ft   A sin   sin  2 ft  
A cos  2 ft     A  cos  2 ft  cos    sin  2 ft  sin   
Si puo’ osservare che lo sviluppo in serie di Fourier della
funzione di esempio coincida in questo caso con la
formula di prostaferesi (non poteva essere altrimenti!)
Note sulla formula di Eulero

La formula di Eulero definisce la funzione esponenziale ad esponente
immaginario:
e i  cos    i sin  
Da questa formula si deducono le relazioni:
e  i  cos    i sin  
e i  e  i
cos   
2
e i  e  i
sin   
2i
Sviluppo di Fourier in forma complessa
v(t ) 
a0
2


a
n
cos  2 nft  
n 1

b
n
sin  2 nft  
n 1

e i 2 nft  e  i 2 nft
e i 2 nft  e  i 2 nft
  an
  bn

2
2
2i
n 1
n 1


a0
a n  ib n i 2 nft
a n  ib n  i 2 nft

e

e
2
2
2
n 1
n 1
a0

definiamo:
cn 
a n  ib n
2
e c n 
a n  ib n
2
Sviluppo di Fourier in forma complessa
possiamo quindi scrivere:
v(t ) 
a0
2

 cne
i 2 nft
n 1

  c  n e  i 2 nft
n 1
poiche’ possiamo scrivere (sostituendo –n ad n nel terzo addendo):

 i 2 nft
c
e

 n
n 1

i 2 nft
c
e
 n
n  1
si ha:
v(t ) 
a0
2


i 2 nft
c
e
 n
n  
n 0
Sviluppo di Fourier in forma complessa
definendo infine:
c0 
a0
2
abbiamo l’espressione finale:
v(t ) 

i 2 nft
c
e
 n
n  
Relazione tra i coefficienti
In base alle definizioni si ha:
c0 
a0
2
;
cn 
a n  ib n
2
;
c n 
a n  ib n
2
da cui le relazioni inverse:
a0  2c 0 ;
a n  2 Re  c n  ;
b n  2 Im  c n
e’ semplice infine dimostrare che per ogni n:
cn
1

T

T
0
v  t  e  i 2 nft dt

Esempio: onda quadra

Eseguiamo lo sviluppo in forma complessa della funzione
onda quadra periodica di periodo T:

 A
vt   
 A

T
per 0  kT  t   kT ;
2
T
per  kT  t  T  kT ;
2
k 
k 
I coefficienti dello sviluppo sono dati da
cn
1

T
T
2
0

Ae
 i 2 nft
1
dt 
T

T
T
2
Ae  i 2 nft dt
Esempio: onda quadra
per n=0 si ha:
c0
1

T
T
2
0

1
Adt 
T

T
T
2
Adt 
1 T 1 
T
A  A T    0
T 2 T 
2
per n≠0 si ha:
T

A 1   i 2 nft 2
 i 2 nft T
cn 
e
0  e
T

T 2 nf 
2
A 1
e  infT  1  e  i 2 nfT  e  infT
T 2 nf











Esempio: onda quadra
essendo (ricordiamo che T=1/f):
e i 2 fT  e i 2   cos  2    i sin  2    1
si ha:
cn


A 1

e  in  1  1  e  in 
T 2 nf
2A 1
iA
 cos n   i sin n   1    cos n   1 
T 2 nf
n
quindi:
cn
0

  i2A
  n
per n pari
per n dispari
Esempio: onda quadra
esprimendo il risultato in termini di a e b:
a0  0 ;
an
0

 0 ; bn   4 A
 n
per n pari
per n dispari
possiamo quindi scrivere lo sviluppo dell’onda quadra come:
sin  2 nft 
v t  

 n dispari
n
4A