Programmazione idraulico di
breve termine
– Obiettivo della programmazione di breve termine dell’idraulico
(programmazione giornaliera) è quella di utilizzare al meglio la
risorsa idraulica disponibile minimizzando la produzione
termoelettrica.
– I dati del problema, relativi a ciascun impianto idroelettrico,
riguardano:
– la conoscenza dei diagrammi di carico del giorno successivo
(deterministici)
– la conoscenza degli apporti idrici del giorno successivo (deterministici)
– la conoscenza (dalla programmazione di medio termine) del livello iniziale
del bacino (ri,0) e dei volumi di acqua da utilizzare nel giorno successivo
(Vi)
Programmazione idraulico
– La principale ipotesi relative allo sviluppo del problema sono:
– il rendimento idraulico degli impianti viene assunto costante; in effetti
esso dipende dalla potenza erogata dalla singola turbina nonché dalla
portata complessiva di ciascuna condotta che alimenta generalmente più
turbine. Tuttavia è possibile verificare che sopra il minimo tecnico e fino
alla potenza massima della centrale il rendimento complessivo si mantiene
abbastanza costante;
– Il carico che deve essere coperto è quello totale idro-termoelettrico
diminuito della quota parte relativa ad impianti non modulati (acqua
fluente, impianti termoelettrici di base, impianti contrattualizzati, ecc.);
cioè si considera solo la quota parte di carico che può essere coperta con
centrali di modulazione e di regolazione.
Programmazione idraulico
– Occorre innanzitutto osservare che:
l
n
e q
k 1
k
j 1
l
k, j
n
  f k ( Pk , j )
k 1 j 1
– dove:
ek
qk,j
fk
Pk,j
= costo specifico del combustibile del gruppo k-esimo
= portata di combustibile al gruppo k-esimo nel j-esimo intervallo
= funzione di costo del gruppo k-esimo (termoelettrico)
= potenza erogata dal gruppo k-esimo nel j-esimo intervallo
– D’altra parte poiché le funzioni di costo dipendono dal quadrato
della potenza si può scrivere:


e

q

f
(
P
)

P



k  k, j
k
k, j
 k , j 
k 1
j 1
k 1 j 1
j 1  k 1

l
n
l
n
n
l
2
Programmazione idraulico
– Di conseguenza trovare il minimo della funzione di costo
l
n
e q
k 1
k
j 1
k, j
– equivale a trovare il minimo della seguente funzione


P

 k , j 
j 1  k 1

n
l
2
Programmazione idraulico
– Se si indica con
sj = il carico idro-termoelettrico da coprire nell’intervallo j-esimo
xi,j = la potenza erogata dalla centrale i-esima nel periodo j-esimo
– Si ottiene
m
l
l
s j   xi , j   Pk , j
i 1
k 1
2
P
k 1
k, j





 Pk , j    s j   xi , j 
j 1  k 1
j 1 
i 1


n
E ancora
da cui
l
n
m
m
 s j   xi , j
i 1
2
Quindi il minimo della funzione costo di produzione
coincide con quello della funzione
2



 s j   xi , j   min
j 1 
i 1

n
m
Programmazione idraulico
– I vincoli a cui deve sottostare la funzione obiettivo prima definita
sono i seguenti:
n x
i, j
 Vi

j 1 ci
x i  xi , j  x i
xi ,h 

  Ri
ri  ri , 0    ai ,h 
ci 
h 1 
j
– dove
ci = coefficiente energetico della centrale i-esima
ai,j = apporti al bacino della centrale i-esima nel periodo j-esimo
ri = limite di svuotamento del bacino i-esimo
Ri = limite di sfioro del bacino i-esimo
Ottimazione economica
– Consideriamo la seguente funzione di costo da minimizzare sotto
opportuni vincoli:
ng
 C ( P )  min
k
k
k
 Ct
k 1
ng
P
k
– dove
Ck = costo orario di produzione della centrale k-esima
Pk = potenza oraria media erogata della centrale k-esima
Ct = carico da coprire con la produzione termica
ng = numero dei generatori “in giri”
Ottimazione economica
– Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange () si ha:
ng
ng
k 1
k
   Ck ( Pk )    (Ct   Pk )
– Il cui minimo, che coincide con quello della funzione di costo
prima definita, può essere calcolato annullando le derivate
parziali prime rispetto alle variabili Pk:

C1
0

P1
P1
.........
C j

0

Pj
Pj
..........
Ottimazione economica
– In definitiva la condizione di minimo della funzione costo si
ottiene quando tutti i generatori funzionano in corrispondenza
dello stesso valore di , che rappresenta il costo incrementale
(detto anche costo marginale).
– Il criterio prima esposto va sotto il nome di criterio degli uguali
costi incrementali (uguali costi marginali).
– L’unica condizione da imporre perché il sistema sia
convergente è che la funzione di costo sia monotona non
decrescente.
Ottimazione economica
Criterio degli uguali costi incrementali
Ottimazione economica
– Se introduciamo un vincolo che tiene conto della potenza
massima e del minimo tecnico di ciascun gruppo il problema del
dispacciamento a minimo costo assume la seguente forma:
ng
 C ( P )  min
k
k
k
 Ct
k 1
ng
P
k
Pk  Pk  Pk
– e la funzione lagrangiana diventa (condizioni di Kuhn-Tucker)
ng
ng
ng
k 1
k 1
k 1


ng

   Ck ( Pk )    (Ct   Pk )   k  Pk  Pk   k  Pk  P k
k 1

Ottimazione economica
– Dato un insieme di generatori è possibile definire una curva
monotona non decrescente che definisce un legame univoco (Pk;
); tale curva identifica il costo incrementale del sistema al variare
della potenza complessivamente prodotta.
Ottimazione economica
Costo incrementale di sistema
Dispacciamento generatori termici
– La funzione di costo di produzione che deve essere minimizzata
in funzione delle potenze erogate dai diversi generatori ed i
relativi vincoli è la seguente:
E ( x, u )  min
F ( x, u )  0
G ( x, u )  0
xxx
uuu
I ( x, u )  I
– dove F e G rappresentano le equazioni di load-flow attivo e
reattivo della rete.
Dispacciamento generatori termici
– I costi che si considerano sono tutti quelli variabili legati al
funzionamento di una centrale, e cioè sostanzialmente i costi di
combustibile (gli altri costi possono essere considerati fissi e
quindi indipendenti dalla potenza erogata dalla centrale).
– Il problema così come è stato posto in maniera generale è
estremamente complesso; infatti si deve tenere conto di
– costi di funzionamento a regime
– costi di avviamento dei gruppi
– dispacciamento della potenza attiva e di quella reattiva
– Di conseguenza per trovare una soluzione è necessario effettuare
alcune semplificazioni.
Dispacciamento generatori termici
– Poiché la soluzione del problema è funzione di un elevato numero
di variabili e ciascuna di esse ha un peso paragonabile alle altre, la
funzione obiettivo presenta un minimo molto piatto; in tali
condizioni si può dimostrare che la soluzione trovata separando il
problema in più sottoproblemi e determinando il minimo di
ciascuno di questi praticamente coincide con la soluzione globale
del problema.
– Di conseguenza per trovare la soluzione del problema generale
verranno determinate le soluzioni di alcuni sottoproblemi nei quali
è scindibile il problema originario:
– determinazione dello U.C.;
– separazione del dispacciamento attivo e reattivo.
Unit Commitment
– La prima semplificazione che viene fatta riguarda la
determinazione dei gruppi termici che devono rimanere in giri
durante il periodo considerato; tale operazione prende il nome di
Unit Commitment.
– Nello U.C. il periodo temporale che tipicamente viene preso in
considerazione è la settimana.
– L’obiettivo che ci si pone è quello di determinare, per ciascun
intervallo (generalmente l’ora) del periodo considerato, quali sono
i gruppi che devono rimanere in giri garantendo il minimo costo
complessivo di esercizio.
– La funzione obiettivo è costituita dalla somma dei costi di
funzionamento a regime e di quelli di avviamento di tutti i gruppi
del parco.
Unit Commitment:
programmazione delle fermate
– Questa tecnica può essere utilizzata quando il parco macchine sia
ridotto (es.: i gruppi di una centrale); si stabilisce in anticipo
quale gruppo si vuole fermare.
– Per la soluzione del problema occorre conoscere i costi di
funzionamento e di avviamento di ciascuno dei gruppi oltre che,
ovviamente, il diagramma di carico da coprire.
  Ck ( Pk )      Pk  Ca,k  (1  e )
– Se la condizione è verificata viene arrestata la macchina k-esima.
Unit Commitment:
programmazione completa
– In un parco composto da m macchine il problema di minimo
vincolato posto è il seguente:
l
n
 C
k 1 h 1
l
P
k 1
k ,h
l
k ,h
( Pk ,h )   Ca ,k  k  min
k 1
 Lh
 k ,h  P k ,h  Pk ,h   k ,h  P k ,h
 1     
n
h 1
k ,h
k
Separazione attivo/reattivo
– Dalle equazioni di load-flow è nota la seguente relazione (con
ovvia notazione di simboli):
P
Q

J P ,
J Q ,
J P ,V 

J Q ,V V
– Per le reti di trasmissione con buona approssimazione si può
ipotizzare che:
P
Q

J P ,
0
0


J Q ,V V
Separazione attivo/reattivo
– Quindi le variazioni di transito della potenza attiva sono in prima
approssimazione indipendenti dalla tensione e quelle di potenza
reattiva dagli angoli; in altre parole la potenza attiva e quella
reattiva sono debolmente legate.
– Di conseguenza il problema può essere risolto in maniera iterativa
determinando prima i transiti di potenza attiva a tensioni fissate e
successivamente quelli di potenza reattiva a  fissati; in questo
modo il problema generale viene declassato alla risoluzione di due
sottoproblemi più semplici e più agevoli da risolvere:
– Dispacciamento della potenza attiva
– Dispacciamento della potenza reattiva.
Considerazioni sulle equazioni di l.f.
– L’espressione in forma polare delle equazioni di load-flow
consente di esplicitarle applicando il teorema del Dini.
– Tale teorema afferma che data una funzione implicita di variabili
di stato e di controllo, sotto opportune ipotesi riguardanti la
continuità della funzione e la sua derivabilità rispetto alle suddette
variabili, è possibile definire due intorni, uno nello spazio delle
variabili di stato ed uno in quello delle variabili di controllo, tali
per cui se le variabili appartengono ai rispettivi intorni è possibile
esplicitare le variabili di stato in funzione di quelle di controllo.
Considerazioni sulle equazioni di l.f.
– L’espressione in forma polare delle equazioni di load-flow è la
seguente:
n
Pi   Vi Vk  Yi ,k  cos(i  k   i ,k )  0
k 1
n
Qi   Vi Vk  Yi ,k  sen(i  k   i ,k )  0
k 1
– Ossia, in forma implicita (indicando con x le variabili di stato e
con u quelle di controllo):
F ( x, u )  0
F = equazioni di l.f. della potenza attiva
G ( x, u )  0
G = equazioni di l.f. della potenza reattiva
Considerazioni sulle equazioni di l.f.
– Dalla applicazione del teorema del Dini, limitandoci alle
equazioni della potenza attiva, possiamo scrivere:
x  JF  u
– Il cui Jacobiano JF vale:
F
JF  
x
1
F

u
Considerazioni sulle equazioni di l.f.
– Verifica: poniamo
x  1 ,...,n 1 , Pn
u  P1 ,..., Pn 1 ,n
– L’insieme delle F(x,u)=0 risulta
P1  f1 (1 ,..., n 1 )  0
P2  f 2 (1 ,..., n 1 )  0
.................
Pn  f n (1 ,..., n 1 )  0
Considerazioni sulle equazioni di l.f.
f1

1
F
..

x
..
f n

1
F
x
f1

n 1
..
..
f n

n 1
..
..
..
..
1
J
1
 f n
J

F F

x x
0
1
1
I
1
0
0
0
1
Considerazioni sulle equazioni di l.f.
F I 0

u 0 0
– In base alla definizione:
F
JF  
x
J
1
1
F

  f n
J
u

1
  f n
J

J
0
1
0
1
0 I 0


1 0 0
Considerazioni sulle equazioni di l.f.
– Particolare interesse riveste l’ultima riga che scritta in forma
esplicita diventa:
Pn  An,1  P1  An, 2  P2  .......  An,n1  Pn 1
– Dove le costanti A rappresentano gli elementi del vettore:
f n
J

1
Considerazioni sulle equazioni di l.f.
Pn
– Tali costanti costituiscono però anche le Pi e cioè le
variazioni della potenza richiesta nel nodo di saldo in funzione
delle iniezioni negli altri nodi della rete.
– Da un punto di vista fisico i coefficienti A rappresentano quindi i
contributi alle perdite di rete per effetto delle iniezioni di potenza
negli altri nodi.
Dispacciamento potenza attiva
– Il problema posto è quello di definire il dispacciamento della
potenza attiva dei gruppi termoelettrici che sono “in giri” (a valle
dello U.C.) avendo definito come funzione obiettivo la
minimizzazione dei costi variabili conoscendo il carico da coprire
con il termico e tenendo conto delle curve di capability dei
generatori.
– Il problema posto può essere risolto con diverse approssimazioni:
– I approssimazione: non si tiene conto delle perdite di rete (modello sbarra)
– II approssimazione: si tiene conto delle perdite di rete adottando differenti
modelli
Dispacciamento potenza attiva
– I approssimazione: modello sbarra
G1
G2
Gj
Gng
Ct
– Viene applicata la tecnica degli uguali costi incrementali già
dimostrata in precedenza
Dispacciamento potenza attiva
– II approssimazione: modello sbarra ad uguali costi incrementali
corretti
G1
G2
Gj
Gng
Ct
pr
– Anche in questo caso viene applicata la tecnica degli uguali costi
incrementali introducendo però un ulteriore condizione.
Dispacciamento potenza attiva
– Il problema di minimo costo è così definito
ng
 C ( P )  min
k
k 1
ng
P
k
k
 Ct  p
k
Pk  Pk  Pk
– dove p rappresenta le perdite nella rete di trasmissione; dalla
applicazione delle condizioni di Kuhn-Tucker si ottiene
ng
ng
ng
k 1
k 1
k 1


ng

   Ck ( Pk )    (Ct  p   Pk )   k  Pk  Pk   k  Pk  P k
k 1

Dispacciamento potenza attiva
– Annullando le derivate prime rispetto alle potenze iniettate si ha
Ck
p
   (1 
)  k  k  0
Pk
Pk
– In assenza dei vincoli  la soluzione porta alla seguente espressione
Ck
Pk

p
(1 
)
Pk
– Dove la correzione tiene conto della “distanza” elettrica delle
iniezioni.
Dispacciamento potenza attiva
– Per determinare la funzione delle perdite p si può anche in questo
caso ricorrere a modelli di differente approssimazione.
– Modello di I approssimazione: le perdite vengono definite sulla
base di una funzione semi-empirica del tipo
n 1
1 n1 n1
p  B0   B1,i  Pi    B2,i , j  Pi  Pj
2 i 1 j 1
i 1
– Da tale espressione si ottiene:
n 1
p
 B1,i   B2,i , j  Pj
Pi
j 1
Dispacciamento potenza attiva
– Modello di II approssimazione: le perdite vengono definite sulla
base alla seguente formulazione (n = nodo di saldo)
n 1
n
 P  P  P
i 1
i
i 1
i
n
Ct  p
– Da cui derivando si ottiene:
Pn p
1

Pi Pi
– Dalla esplicitazione delle variabili di stato in funzione di quelle
di controllo si ottiene:
Pn
Pi
T
f n

J

1
Procedura di dispacciamento potenza attiva
1. Determinazione delle potenze erogate da ciascun generatore con
il criterio degli uguali costi incrementali;
2. Calcolo di load-flow e stima delle perdite di rete (nodo di saldo);
p
3. Calcolo dei
con la voluta approssimazione;
Pi
4. Determinazione delle potenze erogate da ciascun generatore con
il criterio degli uguali costi incrementali corretti;
5. Verifica di convergenza ed eventuale nuova iterazione dal punto
2.
Dispacciamento potenza reattiva
– Il problema posto è quello di definire il dispacciamento della
potenza reattiva dei gruppi termoelettrici che sono “in giri” (a
valle dello U.C.) avendo definito come funzione obiettivo:
– Un dispacciamento a minime perdite di potenza (attiva);
– Un dispacciamento a minima potenza reattiva prodotta;
– Un dispacciamento a massima tensione prodotta.
– La funzione obiettivo è naturalmente una sola tra quelle definite;
quella che viene tipicamente utilizzata è la prima.
– Esaurita questa fase di dispacciamento si esegue una nuova
iterazione di dispacciamento attivo/reattivo fino a raggiungere
una soluzione stabile.
Analisi della sicurezza
– Successivamente alla effettuazione del dispacciamento è
necessario verificare che la rete sia in grado di trasportare la
potenza che viene prodotta dai singoli gruppi fino ai nodi di
carico.
– Questa fase va sotto il nome di controllo della sicurezza del
sistema; essa viene effettuata il giorno prima a valle del
dispacciamento.
– La verifica di sicurezza viene generalmente effettuata mediante
una procedura che va sotto il nome di verifica della sicurezza N-1
del sistema.
– In Italia tale verifica veniva effettuata dal CNC (Centro
Nazionale di Controllo)
Il sistema di controllo.