Introduzione

Fisica: scienza sperimentale
basata su esperimenti
studia la materia, i suoi componenti e le
loro interazioni per spiegare i fenomeni
che osserviamo

scienza quantitativa


i risultati degli esperimenti vengono
sistematizzati e correlati secondo il
metodo scientifico (o metodo
sperimentale) utilizzando gli strumenti
forniti dalla statistica
la misura deve essere riproducibile
misure fatte nelle stesse condizioni
devono dare i medesimi risultati
1
Osservazione

osservazione di un fenomeno:
analisi accurata:
 delle caratteristiche
 delle circostanze che lo producono
 dei fattori che lo influenzano
2
Osservazione
esempio: osservazione della caduta di un
corpo sotto l'azione del suo peso

fattore di disturbo:
la resistenza opposta dall'aria
➘si cerca di eliminare questa
resistenza
➘il moto così ottenuto è un moto
uniformemente accelerato
per facilitare la comprensione del fenomeno
sotto osservazione esso viene eseguito in
condizioni accuratamente
predisposte
riproducibili
astrazione
3
Metodo Scientifico

ricerca di teorie valide capaci di riportare
la spiegazione del maggior numero possibile
di fatti sperimentali ad un piccolo numero di
principi
questi principi base devono avere capacità
predittive
4
Grandezze Fisiche

l'osservazione deve essere quantitativa:
tradursi in un enunciato quantitativo
(formula matematica) delle osservazioni
effettuate
leggi fisiche
è fondamentale per poter tradurre le leggi
della Fisica in espressioni matematiche

concetto di grandezza fisica:
definiamo una serie di operazioni di
laboratorio
consentono di associare ad un concetto
fisico un valore numerico
grandezze fisiche della stessa specie si
dicono omogenee
5
Grandezze Fisiche

molte grandezze fisiche sono note in quanto
di uso quotidiano:
lunghezza
tempo
volume
forza
 deve essere chiaro come si misurano

la definizione di una grandezza fisica è
operativa:
descrive una serie di operazioni da
compiere per effettuare la misura
6
Misura

l'operazione di misura non è altro che il
confronto dell'oggetto da misurare con una
grandezza campione assunta come unitaria
dobbiamo sapere a quale unità di misura si
riferisce il valore che stiamo trattando

una grandezza è specificata da:
un numero (risultato dell'operazione di
misura)
 una unità di misura (indica il tipo di
grandezza fisica)
tempo t = 2.3 s
unità di misura
spazio l = 12.8 m
il campione deve essere:

invariabile
facilmente riproducibile
preciso
riconosciuto universalmente
7
Misura

si possono distinguere due tipi di misura:
1)misura diretta: confronto diretto con la
grandezza campione
2)misura indiretta: si ricava dalla misura di
altre grandezze
esempio:

la velocità media vm (si misura in “m/s”)
è definita come il rapporto tra lo spazio
percorso d e il tempo t necessario a
percorrerlo
V = d/t
la misura di d e t è diretta, quella di
vm è indiretta
la misura è sempre affetta da errori

8
Sistemi di Unità di Misura

c'è un numero limitato di grandezze fisiche
fondamentali
tutte le altre grandezze vengono derivate
da queste
le grandezze fondamentali sono tra loro
indipendenti
la scelta della loro unità di misura non
influisce sulle altre
la scelta della unità di misura può essere
arbitraria

le grandezze derivate sono quelle la cui
definizione operativa è fondata sull'uso
delle grandezze fondamentali
9
Sistemi di Unità di Misura


un sistema di misura è formato da tutte le
unità fondamentali e da tutte le unità
derivate
nel Sistema Internazionale di misura le
grandezze fondamentali sono:
Gran d ezza
Lunghezza
Massa
Intervallo di tem po
Tem peratura assoluta
Intensità lum inosa
Intensità di corrente elettrica
Sim b olo d ella
Gran d ezza
l
m
t
T
I
i
Un ità d i m isu ra
m etro
ch ilogram m o-m assa
secon d o
grad o Kelvin
can d ela
am p ère
Sim b olo
d ell' u n ità
m
kg
s
K
cd
A
nella prima parte del corso si utilizzeranno solo lunghezza,
massa e tempo e loro derivate
10
Grandezze fondamentali della meccanica

lunghezza:
l'unità di misura è il metro
è 1650763.73 volte la lunghezza d'onda
della radiazione elettromagnetica emessa
dall'isotopo 86 del kripton nella sua
transizione tra gli stati 2p10 e 5d5
quando la lampada è alla temperatura del
punto triplo dell'azoto
tempo:


l'unità di misura è il secondo

è la durata di 9192631770 oscillazioni
della radiazione emessa dall'isotopo 133
del cesio nello stato fondamentale 2S½
nella transizione dal livello iperfine
F=4, M=0 al livello iperfine F=3, M=0
11
Grandezze fondamentali della meccanica

massa gravitazionale:
la massa indica quanta materia c'è in un
corpo, la sua quantità si ha misurando il
peso del corpo (massa gravitazionale mg)
l'unità di misura è il kilogrammo
 la massa di un campione custodito a
Parigi presso l'Ufficio Internazionale di
Pesi e Misure che consiste in un cilindro
di platino-iridio di 39 mm di diametro e
39 mm di altezza
con l'ausilio di una bilancia si possono
confrontare masse gravitazionali tra loro e
con l'unità campione
dalla definizione deriva che è
proporzionale alla forza esercitata
dalla attrazione terrestre sul corpo
12
Grandezze fondamentali della meccanica

massa inerziale:
più avanti troveremo un'altra proprietà
della materia, l'inerzia
ogni corpo oppone una resistenza a
variare il proprio moto
per variare lo stato di quiete o di
moto di un corpo occorre applicargli
una forza
questa proprietà della materia introdotta
attraverso l'inerzia si indica con il nome
di massa inerziale e la indicheremo con mi

13
Sistemi di Misura

altri sistemi di misura che utilizzano unità
diverse
CGS
MKS
14
Sistema di Misura

c'è una notazione per

indicare i multipli

e sottomultipli di

una unità di misura
Potenza Prefisso
10-24
yocto
10-21
zepto
10-18
atto
10-15
femto
10-12
pico
10-9
nano
10-6
micro
10-3
milli
10-2
centi
10-1
deci
101
deca
103
chilo
106
mega
109
giga
1012
tera
1015
peta
1018
exa
1021
zetta
1024
yotta
Abbreviazione
y
z
a
f
p
n
m
c
d
da
k
M
G
T
P
E
Z
Y
15
Ordini di grandezza
ordin e di gran dezza di
lu n gh ezze (m )
dim en sion i
1027
dell'u n iverso
distan za della
galassia p iù
1023
vicin a
raggio della
1019
n ostra galassia
u n an n o lu ce
1016
sistem a solare
1014
distan za dal
1011
sole
raggio della
106
terra
sp essore di u n
10-4
foglio di carta
raggi atom ici
10-10
raggi n u cleari
10-14
ordin e di gran dezza di
m asse (kg)
sole
1030
terra
1024
n ave
108
u om o
102
p roton e
10-27
elettron e
10-30
ordin e di gran dezza di
in tervalli di tem p o (s)
età della terra
1017
u n an n o
107
p eriodo delle
10-3
on de son ore
p eriodo delle
10-10
on de radio
p eriodo delle
vibrazion i
10-15
atom ich e
p eriodo delle
vibrazion i
10-21
n u cleari
16
⋅⋅
Equazioni dimensionali

per stabilire il legame tra grandezze
derivate e quelle fondamentali si utilizzano
le equazioni dimensionali
sono importanti per:
definire le unità di misura derivate
verificare la correttezza dimensionale delle
equazioni
Superficie:
[S ]= [l] [ l]= [l2 ]= m 2
Volume:
Densità:
[V ]= [l] [ l] [ l]= [l3 ]= m 3
[ ]= [ m ]/[V ]= [ m ]/[l3 ]= kg m− 3
17
Equazioni dimensionali

per una grandezza meccanica G:

[G]= [mn lk th]
18
Operazioni con grandezze fisiche
i calcoli tra grandezze fisiche si
esprimono come uguaglianze tra i
simboli
dato un parallelepipedo di
altezza h = 4 m, larghezza l = 3
m e profondità b = 5 m il volume
sarà:
V = l · b · h = 3 m · 5 m · 4 m
V = 60 m3
in questo modo otteniamo anche
l'unità di misura del volume

19
Operazioni con grandezze fisiche

le regole dell'algebra valgono per i valori
numerici e per le unità di misura
la somma e differenza di grandezze fisiche
ha senso solo se esse sono tra loro
omogenee
il prodotto o il rapporto di grandezze si
ottiene moltiplicando o dividendo anche le
unità di misura
per passare da un'unità di misura ad
un'altra si può esprimere l'unità di misura
iniziale in termini dell'altra:
v = 30 km/h = 30 · 1000 m /(1 · 3600 s)
v = 8.3333 m/s
km
ora
20
Angoli

nel Sistema Internazionale gli angoli vengono
misurati in unità di arco
angolo in radianti: il rapporto tra l'arco
b e il raggio r di un settore circolare
l'unità 1 radiante b(rad) è l'angolo al
centro per cui il= raggio
e l'arco siano
r
uguali

questa unità si ottiene come rapporto di
due lunghezze
essa è un numero puro, o quantità
adimensionale
r
b
l'angolo è una grandezza derivata
21
Angoli
 angolo giro:
circ/r = 2 p rad = 360 gradi
 angolo piatto:(circ/2)/r = p rad = 180 gradi
 angolo retto: (circ/4)/r = p/2 rad = 90 gradi
2
 1 radiante sono 57,3 gradi = 180 / p
 1 grado sono 0,017 radianti
22
Cinematica

la cinematica studia il moto di un
corpo senza considerarne le cause
spostamento: quando un punto
materiale si muove la sua
posizione varia nel tempo
 traiettoria: la successione
delle posizioni assunte dal
corpo al variare del tempo
come definiamo la
traiettoria in modo più
concreto?
23
esempio



una slitta sta scivolando verso l'alto su un pendio
nevoso pos. Iniz x = 18m
Vel. Iniz =12 m/sec
la slitta si muove sempre più lentamente via via che
sale lungo la china; poi si arresta per un istante, e
prende a scivolare all'indietro giù per il pendio.
Un'analisi del moto della slitta fornisce la sua
coordinata x come funzione del tempo
2
X(t) = 18 m +(12 m/s) t – (1,22 m/s
) t2
2
x(t) = 18 m + (12 m/sec)t – (1,2 m/sec )t
ove x(t) viene misurata lungo il percorso della slitta e
il semiasse positivo delle x è rivolto lungo la salita:
a)costruire un grafico della coordinata della slitta
come funzione del tempo da t=0.0 s a t = 8.0 s
riportando i punti a intervalli di 1.0 s
b)determinare lo spostamento della slitta tra ti = 1.0
s e tf = 7.0 s
c)calcolare lo spazio percorso dalla slitta tra ti =
1.0 s e tf = 7.0 s
lo spazio percorso è la lunghezza della
traiettoria
24
esempio
Fisica 1 Meccanica Termodinamica 3/ed
W. Edward Gettys, Frederick J.
Keller, Malcolm J. Skove
Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl
25
esempio
lo spostamento tra gli istanti dati lo
otteniamo come differenza tra le posizioni
occupate nei due istanti dati:
lo spazio percorso dalla slitta è il percorso
effettivo della slitta, non la distanza tra il
punto di arrivo e quello di partenza

la slitta arriva ad un valore di x
massimo
che ricaviamo trovando il massimo
della funzione x(t)
per t=5 s
 nella posizione x(5) = 48 m
26
esempio
quindi la slitta, nell'intervallo di tempo
[1.0 s, 5.0 s] percorre uno spazio pari a
x 1 = 48 m − 28.8 m = 19.2 m
nell'intervallo di tempo [5.0 s, 7.0 s]
percorre uno spazio (attenzione al segno)
x 2 = 43.2 m − 48 m = − 4.8 m
lo spazio complessivo percorso dalla slitta
tra 1 e 7 sec
è
s=
x 1−
x 2 = 19.2 m − − 4.8 m = 24 m
Notare la distinzione tra spostamento e spazio percorso
Spostamento = 43 – 29 = 14 m.
27
Fisica 1 Meccanica Termodinamica 3/ed
W. Edward Gettys, Frederick J.
Keller, Malcolm J. Skove
Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl
28
Sistema di riferimento
⇨non è possibile parlare di quiete, di
moto o posizione in senso assoluto
 è sempre necessario stabilire un
sistema di riferimento rispetto al
quale facciamo l'osservazione
Z
Sistema levogiro
z
P(x,y,z)
o
xO
O’
X
y
Y
P e’ individuato da una terna ordinata di numeri (x,y,z), con segno.
Individuano il segmento OP .
Se cambiate il riferimento i tre numeri cambiano ma O’P individus sempre P
OP e O’P sono dei vettori (raggio vettore)
29
moto rettilineo

il caso più semplice : unidimensionale
la traiettoria è un segmento di retta
O
P(x)
x
sistema di riferimento:
retta orientata
origine O fissata arbitrariamente
istante t=0 fissato
arbitrariamente
30
la funzione x(t) descrive il moto
AB: quiete
BC: moto nel verso positivo
CD: quiete
DE: moto nel verso negativo
31
Moto

Una proprietà caratteristica di un moto è la
velocità

modulo della velocità:
il rapporto tra spazio percorso e
tempo di percorrenza:
v = Ds/Dt
la sua unità di misura è:
[v]= [l t-1]= metri/secondi
non dice molto sui particolari del moto
32
Moto rettilineo

moto rettilineo uniforme:
un punto si muove lungo una linea retta e
percorre spazi uguali in intervalli di
tempo uguali
la sua velocità è costante
se mettiamo in grafico lo spazio percorso
(sull'asse verticale) in funzione del tempo
(sull'asse orizzontale) otteniamo:
i punti che rappresentano
la posizione stanno su di una
retta la cui pendenza tan a
è la velocità v = Ds/Dt
l'equazione completa della
retta è
S(t) = S0 + Vt
33
Moto vario

il moto rettilineo uniforme è un caso limite
in genere la velocità
non si mantiene
costante
⇨
in questo caso il
rapporto s/Dt dà
solo la velocità
media con cui è
stato percorso il
tratto s
⇨
questo rapporto è la
pendenza della retta
che passa per i
punti (t1,s1) (t2,s2)
34
Velocità media e istantanea

la velocità in un punto
preciso si chiama velocità
istantanea:
per conoscerla dobbiamo
considerare in un
intorno del punto
prescelto intervalli s
sempre più piccoli e
misurare il tempo Dt
necessario a
percorrerli

via via che l'intervallo t
diminuisce il valore della

velocità media si avvicina


a quello della velocità istantanea
35
esempio

nel caso dell'esempio della slitta:
Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/ed
W. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J.
Skove
Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl
36
Velocità istantanea


Se s(t) e’ una funzione continua di t
il valore della velocità istantanea
risulta essere la derivata della
funzione s(t) che descrive lo spazio
percorso in funzione del tempo
v i lim
t
0
s
t
ds
dt
in meccanica parleremo sempre di velocità istantanea
dimentichiamo cos'è la velocità media
37
Velocità



lo spostamento avviene in una
direzione e con un verso
la velocità (SPOSTAMENTO/TEMPO)
è quindi definita da 3 attributi:
valore (modulo) (!spostamento!/tempo)
Direzione (quella dello spost.)
Verso (quello dello spost.)
La Velocita’ e’ anch’essa un
vettore.
38
Grandezze vettoriali

in fisica possiamo classificare le grandezze
in due categorie:
scalari:
un numero (indipendente dal sistema di riferimento)
una unità di misura
vettoriali:
un numero
una unità di misura
una direzione
un verso
un punto di applicazione

(talvolta)
un vettore viene indicato in uno dei seguenti
modi:
V
V
V
39
Moto

lo spostamento non è stato trattato in modo
completo
avviene in uno spazio tridimensionale

abbiamo trattato il caso nello spazio
unidimensionale senza esplicitarlo
nel caso più generale la traiettoria del corpo
può essere descritta da:
Z
s t
x t , y t ,z t
z
P(x,y,z)
xO
X
y
Y
anche la posizione è un vettore
40
Vettore velocità

anche nel caso generale si definisce
v i lim
t
0
s
t
ds
dt
Ds = S2 – S1
I vettori si mettono in fila!
C
A+B=B+A=C
A
S1
A-B=A+(-B) Ds
s2
B
B
A
C
41
Proprietà della velocità
 derivata rispetto al tempo della funzione che
rappresenta la posizione del corpo nello
spazio
 in generale funzione del tempo: v(t)
 il segno indica il verso del moto
v>0:

x cresce

moto nel verso positivo
v<0:

x decresce

moto nel verso negativo
42
Accelerazione

la velocità in genere non rimane
costante
accelerazione: il rapporto tra una
variazione di velocità in un certo
intervallo di tempo e l'intervallo di
tempo in cui avviene questa
variazione:
a
v
t
43
Accelerazione

come nel caso della velocità possiamo
definire:
accelerazione media
accelerazione istantanea
ai
lim
t
0
v
t
dv
dt
l'unità di misura della accelerazione è:
a
vt
1
lt
2
m
s
2
44
Accelerazione (caso unidimensionale)


la velocità può cambiare:

modulo

direzione
queste due variazioni danno luogo a due
accelerazioni diverse:
accelerazione tangenziale: è dovuta alla
variazione del modulo della velocità

ha modulo pari alla derivata del modulo della
velocità rispetto al tempo
at =

dv
dt
ha direzione parallela alla velocità nel punto
d v d v uv dv
at =
=
=
uv
dt
dt
dt
se uv non cambia direzione
45
Accelerazione (caso bidimensionale)
accelerazione radiale: il vettore velocità può
cambiare anche direzione

si dimostra che questa accelerazione ha:

v1
v'2
v

direzione parallela al raggio di curvatura
locale della traiettoria
modulo pari a
2
v
ar =
r
v2
ar=
d v uv
d uv
dv
=
=v
dt
dt
dt
se il modulo non cambia

nel caso più generale:
dv
v2
a ar at
u
u
dt t r r
46
Accelerazione
2

a=0:
dv d x
a=
=
dt dt2
☞la velocità è costante
moto rettilineo uniforme
a=cost:


☞la velocità cambia nel tempo uniformemente
moto rettilineo uniformemente accelerato
a≠cost:


☞moto vario
47
Accelerazione

analogamente al caso della velocità:
a>0:
la velocità cresce
a<0:

la velocità decresce
relativamente alla direzione della
retta sistema di riferimento
una volta arrivata a 0 la velocità
diventa negativa
in generale l'accelerazione dipende dal tempo
(a(t))

☞ l'accelerazione è legata alla forza che
agisce sul corpo
dinamica
48
vettori

modulo di un vettore:
V
v 2x v 2y v 2z
V

vx ,vy ,vz
versore u:
vettore di lunghezza unitaria:
u 2x u 2y
u

moltiplicazione di un vettore per un numero:
W
W

u 2z 1
V
aV
2
a v
V
v x ,v y , v z
a v x ,a v y ,a v z
2
x
2
a v
2
y
2
a v
2
z
aV a > 0
bV
a V
b < 0
somma di due vettori:
C
A a x , a y ,a z
B bx , b y , bz
A B a x b x ,a y b y ,a z b z
A
B
C
49
vettori

prodotto scalare di due vettori:
A B A B cos
B A
B
ma è anche

A a x ,a y ,a z
B b x , b y , bz
A B a x b x a y b y az b z B A
prodotto vettoriale:
C A B B A
C' B A
C
C'
C a y b z b y a z ,a z b x b z a x , a x b y b x a y
C ' b y az a y bz , bz ax az bx , b x a y ax b y
modulo del prodotto:
A
C
B
A
B
A
C'
bl A B sin
50
Cinematica del punto

nota la legge oraria s(t), da essa si possono
ricavare la velocità e l'accelerazione in
ogni istante:
ds t
v t
dt
2
dv t d s t
a t
2
dt
dt
51
Cinematica del punto

non sempre conosciamo la legge oraria, a
volte conosciamo solo l'accelerazione a(t),
possiamo invertire le equazioni precedenti e
avremo:
v t
s t
a t dt
v t dt
2
a t d t
 questo richiede la conoscenza della
velocità e della posizione ad un dato
tempo t0 (condizioni iniziali)
52
Moti

moto rettilineo uniforme:
quando un punto si muove lungo una linea retta
e percorre spazi uguali in intervalli di tempo
uguali
la sua velocità è costante
istante per istante il vettore velocità giace
sulla stessa retta e punta nella medesima
direzione
possiamo trascurare il carattere vettoriale
della velocità e considerarla come una
grandezza scalare (entro certi limiti)
a=dV/dt =0
V(t) =cost = V0
S(t) = V0dt= V0(t-t0)
= V0 t + cost
53
Moto rettilineo uniformemente accelerato

moto rettilineo uniformemente accelerato:
l'accelerazione a è costante (non nulla),
risulta (analogamente al caso precedente) che
v(t) è una retta:
a(t)=cost= a
v(t)= a dt = a(t-to)=at +cost1
Cost1 = V0
S(t) = at dt + V0dt =
s(t) quando s0=0 e v0=0
= ½ at2 + cost2 +V0 t + cost3
S(0) =cost2 + cost3= posiz. Iniziale
S(t) = S0 + V0 t + ½ a
t2
anche in questo caso abbiamo trascurato il
carattere vettoriale del moto
54
Moto rettilineo uniformemente accelerato
possiamo combinare le equazioni del moto
uniformemente accelerato nel caso s0=0, v0=0
per esprimere la velocità in termini della sola
accelerazione e dello spazio percorso (in
termini di scalari):

1
2
s= a t
2
v= at
dalla s(t):
2s
a
t

quindi sostituendo nella v(t):
v
a
2s
a
2sa
57
Moto rettilineo vario

moto rettilineo accelerato vario:

quando l'accelerazione non è costante
la direzione del moto (spostamento, velocità ed
accelerazione) rimane costante
possono variare modulo e verso


dai grafici notiamo la correlazione tra spostamento,
velocità e accelerazione:
a>0:
la velocità cresce
lo spostamento è concavo verso l'alto

a=0:
la velocità è costante
lo spostamento cambia curvatura
58
Esercizio
Due treni viaggiano con
velocità costanti uno
verso l'altro su due
binari paralleli: ad un
certo istante passano
davanti a due stazioni
distanti tra di loro d =
12 km e si incrociano dopo
un tempo t = 6 min. Si
calcolino le velocità dei
due treni esprimendole in
km/h e in m/s, se il primo
treno ha velocità doppia
rispetto al secondo

abbiamo 4 incognite (le
velocità e le distanze
percorse) e quattro
equazioni che le legano
(sistema di 4 equazioni in 4
incognite)
v1 = 2·v2
d1 + d2 = d
d1 = v1·t
d2 = v2·t

nella seconda equazione
sostituiamo le di con vit
59
Esercizio

eliminiamo v1 grazie alla
prima equazione e otteniamo:
2·v2·t + v2·t = d
3·v2·t = d
v2 = d/3t =12 km/(3·6 min) =
12000 m / 1080 s = 11.11 m/s
= 12 km/(18/60 h) = 40 km/h
v1 = 22.22 m/s = 80 km/h
60
Esercizio


il procedimento che abbiamo
utilizzato non è quello
canonico

sappiamo che:
dopo 6 minuti i treni
occupano la stessa
posizione
riscriviamo le equazioni che
danno la posizione dei due
treni nello stesso sistema
di riferimento
x1 t
x2 t
la velocità del primo è
doppia di quella del
secondo
v1 t
d
v2 t

quindi
abbiamo scelto un sistema
di riferimento in cui
l'origine coincide con la
posizione della stazione
di partenza del treno 1
2v2 t
v2
d
3t
d
v2 t
3v2 t d
12 km
12000 m
18 min
1080 s
11.11 m s
61
Esercizio
Il moto nel piano x, y di
una particella è definito
dalle equazioni:
x
t
2
t
y
t
2
t
con
= 0.1 m/s2 e
= 1 m/s.
Si calcolino i moduli
della velocità e
dell'accelerazione
all'istante =10 s
le componenti della
velocità si ottengono
derivando le equazioni che
danno le componenti della
posizione in funzione del
tempo:
vx t
2
t
vy t
2
t
al tempo dato e con i
parametri del problema si
ottiene:
v
v x 10
3m s
v y 10
1m s
2
2
vx
vy
10
3.16 m s
per determinare
l'accelerazione basta
derivare rispetto al tempo
le componenti della
velocità:
ax t
2
ay t
2
e quindi:
a x 10
a
a y 10
2
ax
2
ay
0.2 m s
0.28 m s
2
2
62
esercizi



data la legge oraria
x t = 3− 6 t
determinare:
1)velocità
2)posizione per t=0 s e per
t=2 s
3)quando passa per
l'origine
è un moto rettilineo
uniforme
1)velocità v = dx/dt
1)posizione v
t 0s x
t 2s x


data una velocità v=0.4 m/s
costante e x(0)=-2.5 m
1)scrivere la legge oraria
2)determinare la posizione
per t=5 s
3)determinare quanto spazio
è stato percorso tra t=0
e t=5 s
è un moto rettilineo
uniforme, nel verso positivo
1)legge oraria:
x t
moto lungo il
6m s
verso negativo
1)
3m
9m
0m
t
5s
x 5
2.5
0.5 m
2)calcoliamo la posizione
per t=0 e t=5 s e poi
facciamo la differenza
1)passaggio per l'origine
x
t
0.4 t
0.5 s
x
t
t
x 5
0s x 0
2.5 m
5s x 0
0.5 m
x 0
0.5 m 2.5 m
2m
63
Esercizio

Un automobile viaggia per
due ore nel modo
seguente: nella prima
mezzora la velocità è 50
km/h, nella seconda
mezzora è 90 km/h; nella
seconda ora su metà del
percorso coperto la
velocità è 60 km/h mentre
sulla rimanente metà è
120 km/h. Quanto valgono
le velocità scalari
medie:
v1 = 50 km/h
v2 = 90 km/h
v3 = 60 km/h
v4 = 120 km/h

La soluzione del problema
è:
s1 = v1 · t1 = 50 km/h .5 h
= 25 km
s2 = v2 · t2 = 90 km/h .5 h
= 45 km
nella prima ora
s3 = v3 · t3 = v4 · t4
nella seconda ora
t3 + t4 = 1 h
per l'intero viaggio
abbiamo le seguenti
velocità:
64
Esercizio
60 km/h · t3 h = 120 km/h ·
(1 – t3) h
180 km/h · t3 h = 120 km/h ·
1 h

vm = (s1 + s2 + s3 +
s4)/(t1 + t2 + t3 + t4) =
(25 + 45 + 40 + 40) km /
(0.5 + 0.5 + 0.6667 +
0.3333) h = 75 km/h
t3 = 120/180 h = 0.6667 h
t4 = 1 - t3 h = 0.3333 h
s3 = s4 = v3 · t3 = 40 km
vm1 = (s1 + s2)/(t1 + t2) =
(25 + 45) km / (0.5 +
0.5) h = 70 km/h
vm2 = (s3 + s4)/(t3 + t4) =
(40 + 40) km / 1 h = 80
km/h
65
Esercizio

Durante la fase di
decollo un aviogetto
percorre la pista, lunga
2.25 km, in 45 s.
Calcolare la velocità
posseduta dall'aereo
appena si stacca dal
suolo (velocità di
decollo) e
l'accelerazione, supposta
costante
siamo in condizioni di moto
rettilineo uniformemente
accelerato:
s t
s0
v0 t
1
2
a t

nel nostro caso:

s0 = 0 m

v0 = 0 m/s
possiamo ricavare subito
l'accelerazione:
1
2
a t
2
2 2.25 km
45 s 45 s
s t
a
2s t
2
t
3
4.5 10 m
2025s
2
2.22 m s
2
la velocità risulta
v t
a t 2.22 m s 2 45 s 100 m s
360 km h 1
1
potevamo ottenere
direttamente la velocità
2
v t
a t
2s t
2
t
3
2 2.25 10 m
45 s
t
2s t
t
100 m s
1
66
Esercizio
Un aviogetto decolla da un aeroporto per
raggiungere un altro aeroporto distante 1100
km. L'aereo, nella fase di involo, accelera
uniformemente per 30 km sino a raggiungere la
velocità di crociera di 800 km/h e, nella
fase di planata e di atterraggio, decelera
uniformemente con accelerazione eguale in
modulo a quella corrispondente alla fase di
involo.

Qual'è il tempo occorrente al jet per
compiere l'intero percorso supponendo che
esso segua la rotta più breve?
(t = 1h 27 min)
67
moto circolare uniforme

moto circolare uniforme:
il moto di un punto che percorre una
circonferenza con velocità costante
(in modulo)
la velocità non può essere costante
in direzione viste le caratteristiche
del moto
poiché la direzione della velocità
varia c'è una accelerazione
(accelerazione centripeta)
69
accelerazione centripeta : perche’?
V1
a= (V2 – V1)/ Dt=
= (V2 + (-V1))/Dt
a
r1
quando Dt tende a 0
r2 tende a r1
r2
V2
-V1
La derivata di un vettore di
lunghezza costante e’
perpendicolare al vettore
e a e’ diretta verso il centro
Perpendicolare alla traiettoria.
70
Periodo

si definiscono:
periodico
qualunque fenomeno che a intervalli
regolari di tempo si riproduca secondo
una stessa legge che lo caratterizza
periodo (T)
l'intervallo di tempo necessario
affinché il fenomeno periodico
considerato riprenda gli stessi caratteri
frequenza ( )
il numero di volte che questo avviene
nell'unità di tempo
la sua unità di misura è l'Hertz (Hz)
Frequenza = 1 / T
71
Moto circolare uniforme
lo spazio percorso durante un periodo
T è pari ad una circonferenza (=2 r)
il modulo della velocità è:
s
T
v

2
r
T
che può anche essere scritto come:
v
2
r
72
Moto circolare uniforme

raggio vettore

il segmento che in un generico istante
congiunge il centro della circonferenza con P
velocità angolare
il rapporto tra un angolo
(in radianti)
descritto dal raggio vettore e il tempo
impiegato a descriverlo
t
la velocità angolare si misura in
radianti/secondo (rad/s)
nel caso di velocità angolare costante, in
un periodo
T
quindi avremo
2
2
T
2
73
Moto circolare uniforme

confrontando:
2
con:
v
2
r
otteniamo:
v
r
dove (ovviamente) anche le dimensioni tornano

nel moto circolare uniforme il modulo
della velocità (periferica) è
proporzionale al raggio della
traiettoria descritta
74
v
r
Tra V , W ed r c’e’ una chiara relazione
Vettoriale.
x
y
z z
Y=ZxX
y
Y=ZxX
x
V = W x r [ l t-1]
W
che da’ v=wr perche’ sono perp.
V
Osservate che vettorialmente posso
anche scrivere
Z = X x Y che darebbe
W=rxV
r
[l2 t-1]
che e’ ovviamente parallelo a W ma ha dimensioni diverse
le sue dimensioni sono quelle di un MOMENTO
75
Moto circolare
anche il moto circolare può essere non uniforme

analogamente al moto vario, varrà la relazione:
t

d
dt
analogamente al caso di velocità
una accelerazione angolare
t
d
dt
varia si avrà
2
d
2
dt
che si misura in rad/s2
☞ l'accelerazione angolare è legata alla
accelerazione tangente:
aT
r
aT = dV/dt = d(omega)/dt +Om. dr/dt
e dr/dt e’ nullo
76
Moto circolare uniformemente accelerato

moto circolare uniformemente accelerato:
è un moto in cui è costante l'accelerazione
angolare
per esso valgono tutte le considerazioni
fatte nel caso di moto rettilineo
uniformemente accelerato (con le ovvie
sostituzioni):
⇨s 
⇨v 
t
t
0
⇨a 
2
t
0
0
t
t
2
77
Moto relativo

non ci siamo ancora preoccupati di definire come si
passa da un sistema di riferimento ad un altro
 questo è un problema serio
supponiamo di essere su di un treno, un corpo
appoggiato su di un sedile sarà fermo rispetto
a noi, ma sarà in moto rispetto ad un
osservatore esterno (per esempio fermo sulla
piattaforma di una stazione)
bisogna essere in grado di rendere le due
osservazioni compatibili
le osservazioni dello stesso fenomeno fatte da
osservatori diversi con riferimenti diversi
devono essere confrontabili
78
Moto relativo
la posizione di un punto P in un sistema (A)
di riferimento può essere data dal vettore r
che va dall'origine del sistema al punto stesso
in un altro sistema di riferimento (B)
sarà data da un altro vettore r´
la posizione dell'origine del secondo
sistema di riferimento rispetto al primo è
data dal vettore rO
per l'algebra vettoriale abbiamo quindi:
z'
z
r= r0 + r’
r'
P
r
A
x
r0
y
B
y'
x'
79
Moto relativo

la velocità del punto P rispetto al sistema di
riferimento A è:
v
Vel. di B
rispetto a A
dr
dt
per la proprietà delle derivate
v
dr
dt
d rO
dt
dr'
dt
vO v '
vO: è la velocità del sistema di riferimento B
rispetto al sistema di riferimento A
v´ : è la velocità del punto P rispetto al sistema
di riferimento B
80
Per l’accelerazione si avra’
a
dv
dt
d vO
dt
dv'
dt
aO
a'
Se i due sist. di rif. Si muovono di moto relativo
rettilineo e uniforme a0= 0 e a = a’
L’accelerazione (cioe’ la fisica) e’ la stessa in sistemi
di rif. in mot rett. Uniforme
Principio di relativita’ Galileiano
Cosa succede se B ruota ?
Sia B fermo ma ruoti intorno a B con vel. angolare W.
Sia P fermo rispetto a B V’ = 0
A osserva la velocita’ V = W r’.
Se B in piu’ si muove rigidamente con velocita’ Vo
sara’ V = Vo + W r’
A
Se P si muove rispetto a B con velocita’ V’
Sara’
V = Vo + V’ + Wr’
Wr’
PP
r’’
B
81
Moto relativo

se il sistema di riferimento B ruota con
velocità
rispetto al sistema A l'equazione
diventa:
v
d rO
dt
dr'
dt
vO v '
r'
si ha perché la derivata di r´ rispetto al
tempo ha due contributi:
dalla variazione del modulo r´
dalla variazione relativa di direzione
dr'
dt
d r ' ur '
dt
e si può dimostrare che:
d ur '
dr '
ur ' r '
dt
dt
d uv
dt
uv
82
nel caso più generale, in cui il sistema B ruota,
si può dimostrare che l'equazione che lega le
accelerazioni è la seguente:
a
aO
a'
r'
2
v'
83
Dinamica


la dinamica studia il movimento dei corpi in
relazione alle cause che lo producono
dobbiamo conoscere i seguenti elementi:
1)le cause del moto (forze) con le leggi che
le determinano in funzione di:
⇥ posizione
⇥ velocità
⇥ altri
parametri
2)i parametri del corpo che intervengono in
modo essenziale nel moto
3)le equazioni del moto
→le
relazioni che permettono di determinare
il moto del corpo
84
Dinamica del punto
per punto materiale si intende un corpo di
dimensioni piccole rispetto alle altre
lunghezze in gioco e del quale non interessa
studiare la struttura

un corpo può essere approssimato o meno a un
punto materiale a seconda del problema
prima di Galileo e di Newton si pensava che:
lo stato naturale di un corpo (cioè un corpo non soggetto ad
interazioni con altri corpi) fosse quello di quiete
un corpo in moto con velocità costante richiedesse opportune
interazioni con altri corpi . Questa idea sembra suggerita
dall'esperienza quotidiana
una cassa che si muove con velocità costante su di un piano
richiede una forza
fornendo una spinta alla cassa sul piano la cassa si mette in
moto ma tende a fermarsi
85
Iº principio della dinamica

questo punto di vista fu universalmente
accettato finché, prima Galileo, poi Newton,
eseguendo esperimenti con piani levigati
confutarono questa teoria
rendendo le superfici più lisce occorre meno
forza per spingere la cassa, la cassa si ferma
dopo aver percorso un tratto maggiore
da questo lavoro, estrapolando, deriva il
seguente postulato (Io principio della
dinamica):
un corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto
rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche
causa esterna
86
Iº principio della dinamica
un corpo non soggetto ad interazioni con altri
sistemi materiali o sta fermo o si muove di
moto rettilineo uniforme

la proprietà che ha un corpo di opporsi a
variazioni della propria velocità fu chiamata
da Newton inerzia

il postulato precedente è noto anche come
principio d'inerzia o anche primo principio di
Newton
 il primo principio della dinamica si riferisce ad una
situazione limite, una idealizzazione che non può venire
realizzata in un esperimento
87
Iº principio della dinamica

il principio d'inerzia non può avere
significato se non si specifica il sistema
di riferimento usato
consideriamo due sistemi di riferimento in moto
traslatorio rettilineo uniforme uno rispetto
all'altro:
un corpo che si muove con velocità costante
rispetto al primo sistema si muove con velocità
costante anche rispetto al secondo
i sistemi di riferimento inerziali sono sistemi
di riferimento in moto traslatorio rettilineo
uniforme rispetto ad un sistema di riferimento
inerziale
un sistema solidale con la terra è solo
approssimativamente inerziale
88
Sistemi Inerziali
quando passiamo da un sistema di riferimento
inerziale ad un altro:
v
vO v '
mentre per le accelerazioni:
a
aO a '
a'
dove, per definizione, a0 = 0
 la variazione nello stato del corpo che
osservo nei due sistemi è la stessa
 la causa di questa variazione deve essere la
stessa
89
Iº principio della dinamica

il principio d'inerzia può venire formulato
nel modo seguente:
in un sistema di riferimento inerziale un corpo
persevera nel suo stato di quiete o di moto
rettilineo uniforme finché non agisce su di esso
una qualche causa esterna
un altro enunciato è quello di Galileo:
tutte le leggi della meccanica quali quelle
relative alla caduta dei gravi, delle
oscillazioni etc., sono le medesime per
osservatori in moto traslatorio rettilineo
uniforme l'uno rispetto all'altro
90
Iº principio della dinamica
passando da un sistema di riferimento inerziale
ad un altro:
variano le coordinate dei corpi
variano le loro velocità
non cambiano le leggi che intercorrono tra queste
quantità
 se, rispetto ad un sistema di riferimento
inerziale, un corpo si muove di un moto non
rettilineo uniforme, l'accelerazione del corpo
deve essere legata a interazioni esterne
91
Forza

la causa della variazione di stato di un
corpo è una forza

dobbiamo darne una definizione operativa che
permetta di misurarla
consideriamo un corpo lasciato libero di
cadere:

tutti i corpi che cadono sono soggetti ad una
forza che indichiamo come forza peso (o forza di
gravità)
Questa e’ la nostra definizione di FORZA:
Una forza e’ cio’ che provoca una variazione
dello stato di moto di un corpo
92
Forza peso

caduta di un corpo libero: supponiamo di far
cadere un mattone dall'alto di una torre
 il mattone cade seguendo una certa legge oraria
 facendolo cadere ripetutamente la caduta segue
sempre la stessa legge oraria
 se lasciamo cadere due mattoni assieme,
contemporaneamente, seguono la medesima legge oraria
del mattone singolo
 i due mattoni ad ogni dato istante si troveranno
alla medesima quota seguendo la medesima legge
oraria
 se i due mattoni sono a contatto seguono nuovamente
la medesima legge oraria
i corpi cadono tutti con la stessa accelerazione
(g)
93
Forza peso
un'altra osservazione che conferma questa
osservazione è quella di due corpi diversi
che vengono lasciati cadere nello stesso
Momento
come mostrato nella fotografia stroboscopica
i due corpi di massa diversa negli stessi
istanti si trovano alla stessa altezza
 fino al Medio Evo si credeva che i corpi
 pesanti cadessero verso il suolo più
 velocemente dei corpi leggeri
 Galileo arrivò alla conclusione che nel vuoto
 (in assenza di resistenza dovuta all'aria)
 tutti i corpi lasciati liberi di cadere
 si muovono con la stessa accelerazione costante
94
Forza

se appendiamo un corpo ad una molla fissata

ad un estremo esso scende per un tratto d

e quindi si ferma (dopo alcune oscillazioni)
nel caso della molla la forza peso
non scompare, continua ad agire

il suo effetto è l'allungamento
della molla
abbiamo osservato due effetti legati

alla stessa forza:
variazione di velocità (caduta di un corpo):
Dinamico
in un sistema inerziale la presenza di una
accelerazione è sempre la manifestazione di una
forza
deformazione di un corpo (allungamento della molla):
statico
95
Forza peso

continuando a studiare il moto di un corpo
soggetto alla forza peso osserviamo:
la velocità di un corpo lanciato verticalmente
verso l'alto diminuisce in modulo fino ad
annullarsi, il corpo è quindi soggetto a un
qualche tipo di forza verticale diretta verso
il basso

l'accelerazione ha verso opposto rispetto alla
velocità
96
Molla

una molla è un oggetto che mostra sempre uno
stesso allungamento (se questo non supera un
certo limite) quando gli appendiamo lo stesso
oggetto
due corpi che provocano lo stesso allungamento
sono soggetti alla stessa forza peso

se appendiamo i due corpi contemporaneamente
otteniamo un allungamento doppio
continuando ad aggiungere corpi “uguali”
incrementiamo l'allungamento della molla sempre
della stessa quantità
 l'allungamento della molla ci può dare una
misura della forza peso
97
Misura di una forza


definiamo un allungamento corrispondente ad
una forza unitaria
prepariamo una scala opportuna
possiamo misurare staticamente le forze
questo strumento (dinamometro) è in grado di
misurare una forza solo quando il corpo è fermo
 il dinamometro può misurare qualsiasi forza,
non solo la forza peso
98
Forza
sotto l'azione di una forza il dinamometro, se
lasciato libero di orientarsi, assume una
determinata orientazione nello spazio
 la forza quindi non ha solo un valore ma è
caratterizzata anche da una direzione (e da un
verso)
la direzione è quella dell'asse della molla
il verso è quello definito dall'allungamento
la forza è un vettore
99
Forza

il procedimento per misurare una forza,
descritto in precedenza, è vicino al concetto
intuitivo che abbiamo della forza
non si utilizza la forza come grandezza
fondamentale per la difficoltà di ottenere un
campione di misura

al suo posto è stata scelta la massa, per la
facilità nell'ottenere la grandezza campione
l'unità di misura della forza non è arbitraria,
ma bisogna esprimerla in termini delle altre
grandezze fondamentali
un altro strumento per la misura di una forza è
la bilancia di precisione:
 si cerca di equilibrare l'effetto della forza da
misurare con dei pesi calibri
100
Forza e accelerazione

una accelerazione è una manifestazione di una
forza:
 dobbiamo stabilire una relazione quantitativa
tra le due
possiamo applicare ad un corpo delle forze note
F1, F2, F3, ... e misurare l'accelerazione
prodotta su di un corpo
direzione e verso di forza e accelerazione sono
uguali
le accelerazioni sono in genere tra loro diverse
in modulo
il rapporto tra forza applicata e accelerazione
misurata è costante
F1 F 2 F3
= = =
a1 a2 a3
= costante
101
Seconda legge della dinamica
 questa costante cambia se cambiamo il corpo su
cui effettuiamo le misure

l'azione dinamica di una forza su di un corpo
è di fornire una accelerazione tale che
F = ka
 la costante k è uno scalare


definisce una caratteristica del corpo
venne chiamata da Newton massa inerziale
F = mi a

questa legge viene indicata come seconda legge
della dinamica (o seconda legge di Newton)
m g
e mi vengono fatte coincidere
102
Seconda legge della dinamica

la validità della seconda legge della
dinamica è data da:
prove sperimentali
prove indirette (tutte le deduzioni che
derivano da questa legge sono verificate)
la validità di questa legge è limitata alla
meccanica classica


la seconda legge è valida anche nel caso in
cui la forza non sia costante nel tempo
l'equazione F = ma lega la risultante delle
forze agenti alla accelerazione del corpo
massa e forza sono legati tra loro attraverso
l'accelerazione
103
⋅⋅
Unità di misura della forza


l'unità di misura della forza viene espressa
in funzione della massa:
kg m
−2
[F ] = [ m a ] = [ m l t ] =
s2
l'unità di misura della forza nel sistema
internazionale è stata chiamata newton (N),
quindi:
kg m
[F ] = N =
s2
104
Forze

Principio dell'indipendenza delle azioni
simultanee:
si ricava dall'osservazione
se più forze agiscono su di un corpo, ciascuna
produce l'accelerazione cui darebbe luogo
agendo da sola
se abbiamo 2 corpi che esercitano una forza su
di un terzo corpo, l'accelerazione di questo
corpo (a1) risulta essere la somma delle
singole accelerazioni prodotte dagli altri due
corpi sul corpo in esame (a12 e a13
rispettivamente):
se moltiplichiamo per
a1 =laa1massa
a1 3 m1:
2
m 1 a1 = m 1 a1 2 m 1 a1 3
105
Forze
quindi avremo:
F 1 = F12 F 13
 la forza risultante agente su un corpo è la somma
vettoriale delle singole forze esercitate sul
corpo dai diversi sistemi materiali che
interagiscono con esso
questo viene anche indicato come principio di
sovrapposizione
106
Sistemi non inerziali

se passiamo da un sistema di riferimento
(inerziale) ad uno in moto accelerato vario
(non inerziale) sappiamo che l'accelerazione
osservata sul secondo sistema è
a ' = a− aO −
×
×r' −2 × v'
quindi misuriamo una forza
F ' = m a ' = m a− m aO − m × × r ' − m 2 × v ' =
= F − m aO − m × × r ' − m 2 × v ' = F − F a pp
dove i termini
m aO m × × r ' m 2 × v '
hanno le dimensioni di una forza
107
Sistemi non inerziali

questi termini si indicano con il nome di
forze apparenti in quanto all'osservatore non
inerziale appaiono come forze ma non sono
riconducibili a nessuna origine fisica
 compaiono solo grazie al moto del sistema di
riferimento
108
Forza peso

l'accelerazione posseduta da un corpo in
caduta libera si chiama accelerazione di
gravità e viene indicata con il simbolo g
l'accelerazione di gravità vale circa 9.81 m/s2

per il secondo principio di Newton su un
corpo di massa m agisce una forza pari a
F = mg
detta forza peso o
peso del corpo
109
Forza peso

la variazione di g
rispetto alla latitudine
è dovuto alla rotazione
della terra e al fatto
che la misura si
riferisce ad un sistema
solidale con la terra e
quindi non inerziale

la variazione con
l'altezza è dovuta alla
variazione della distanza
del corpo dal centro
della terra
110
Misura della massa

si può utilizzare la seconda legge della
dinamica per stabilire la scala di misura
della massa
supponiamo di avere una forza F che applichiamo
alla nostra massa campione m0 e al corpo di
massa m
F = m 0 a0 = m a
questa relazione vale anche per gli scalari
e quindi
F = m 0 a0 = m a
a0
m = m0
questa è una misura dinamica
a
l'esperienza dimostra che il valore di m non
dipende dal tipo di forza utilizzata
111
Misura della massa
 la misura dinamica della massa è fattibile, ma
è imprecisa

consideriamo la forza peso P: sappiamo che
vale la relazione scalare
P
m =
g
poiché l'accelerazione dei corpi è la stessa
(g) possiamo allora derivare
m1
P1
=
m2
P2
 un apparecchio in grado di confrontare le forze
peso confronta anche le masse dei corpi

lo strumento che si utilizza per questo
scopo è la bilancia
112
Inerzia

dalla seconda equazione della dinamica
risulta un pò più chiaro il concetto di
inerzia:
la massa è una proprietà dei corpi
F = ma implica che:
maggiore è la massa m minore è la perturbazione a
che la forza F apporta al corpo
la massa è una misura della resistenza che un
corpo oppone a un tentativo di modifica del suo
stato (inerzia)
113
Massa

sperimentalmente si verifica che:
se due corpi A e B di masse mA e mB vengono
uniti insieme a formare un corpo C, la massa mC
di questo corpo è pari alla somma delle masse
di A e B:
 la massa è una grandezza fisica additiva:
mC = m A m B
 nella fisica classica la materia è una quantità
che si mantiene costante e si conserva
☞questo non è più vero nella meccanica
relativistica e nella meccanica quantistica
relativistica
114