Analisi e Gestione del Rischio
Lezione 7
Prodotti non-lineari e simulazioni
Monte Carlo
Non linearità nel portafoglio
• Prendete un titolo obbligazionario a tasso variabile
con un cap o un floor?
• Qual è la differenza in termini di flussi?
– Un titolo con cap include una posizione corta in una
serie di opzioni call
– Un titolo con floor include una posizione lunga in una
serie di opzioni put.
• Di che segno è la sentitività a un aumento dei tassi
forward?…e a cambi della volatilità?
Esempio
4,50%
• Struttura a termine “bootstrappata” dai tassi
swap del 17 marzo 2006.
4,00%
3,50%
Tassi Swap
Tassi Forward
3,00%
2,50%
2,00%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cedole attese con cap e floor
(4%)
6,00%
5,00%
4,00%
3,00%
Flloor
2,00%
Cap
Cedole Attese
1,00%
0,00%
1
-1,00%
-2,00%
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Rischio Gamma
60000
40000
20000
-1,00%
-0,80%
-0,60%
-0,40%
-0,20%
0
0,00%
-20000
-40000
-60000
Cap
0,20%
0,40%
0,60%
0,80%
1,00%
Floor
Rischio Vega
€ 3.000,00
€ 2.000,00
€ 1.000,00
Cap
€-1,50%
-1,00%
-0,50%
0,00%
-€ 1.000,00
-€ 2.000,00
-€ 3.000,00
0,50%
1,00%
1,50%
Floor
Modelli Delta-Gamma
• Un approccio per la valutazione del rischio di posizioni
non lineari è dato dalla rappresentazione della loro
sensitività con un’espansione di Taylor, in termini di delta
e gamma (il gamma è necessario perché rappresenta la non
linearità della posizione.
• Il problema di questo tipo di rappresentazione è che mentre
la parte “delta” conserva l’ipotesi sulla distribuzione del
sottostante (ad es. la normalità), il termine gamma
corrisponde a un fattore di rischio al quadrato, che ha una
distribuzione più complessa (ad es. chi-quadro).
• La distribuzione corrispondente all’espansione di Taylor
deve quindi essere approssimata con metodi statistici,
come ad es. il metodo dei momenti
Approssimazione Delta-Gamma
• Assumiamo di avere un derivato sensibile a un solo fattore di rischio
che identificheremo col prezzo del sottostante S.
• Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al secondo ordine
possiamo esprimere la variazione di prezzo dell’opzione in funzione
della variazione di prezzo del sottostante come
V
1  2V
1
2
2




V 
S 

S



S



S
S
2 S 2
2
V
S S 1 S  S 

 


V
V S
2 V  S 
2
2
Approssimazione Delta-Gamma
• Alcuni metodi che permettono di affrontare il problema del
calcolo del percentile in maniera sufficientemente generale
sono offerti dalla statistica
• Questi metodi si basano sul calcolo dei momenti della
distribuzione da stimare al fine di approssimarla con una
distribuzione di forma nota di cui sia possibile calcolare in
maniera semplice il percentile per ogni livello di confidenza
desiderato.
• Metodi
Famiglia di Johnson
Espansione di Cornish-Fisher
5
Black & Scholes
Delta
Delta-Gamma
Payoff a scadenza
4
3
2
1
0
-1
-2
15.2
16.2
17.2
18.2
19.2
20.2
21.2
22.2
6
Black & Scholes
Delta
Delta-Gamma
Payoff a scadenza
5
4
3
2
1
0
-1
-2
15.2
16.2
17.2
18.2
19.2
20.2
21.2
22.2
Il metodo Monte Carlo
• Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una tecnica basata
sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari
rappresentativi dell’evoluzione futura delle variabili di rischio
da cui dipende il valore di una generica attività finanziaria;
• Infatti tale tecnica si basa sull’idea di approssimare il valore
atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la
media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni
effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui
essa dipende.
Il metodo Monte Carlo in finanza
• In finanza il metodo Monte Carlo è utilizzato per la
determinazione del valore delle opzioni, o la perdita ad un
certo livello di probabilità
• Il punto di partenza consiste nella definizione del processo
dinamico seguito dal sottostante.
• Nel caso dei derivati su indici azionari o su azioni è comune
assumere che il sottostante segua un processo di tipo
geometrico browniano.
Generazione di dati casuali
• Diversi metodi possono essere utilizzati per
l’estrazione di dati da una distribuzione H(.).
• Dato il valore x, la trasformata integrale H(x),
definita come la probabilità di estrarre un valore
minore o uguale a x ha distribuzione uniforme
nell’intervallo tra zero e uno.
• Allora è naturale utilizzare l’algoritmo
– Estrarre una variabile u da una distribuzione uniforme
in [0,1]
– Calcolare dall’inversa di H(.): x = H –1(u)
• La variabile x è estratta dalla distribuzione H(.)
•
Monte
Carlo:
utilizzo
Calcolo del prezzo di strumenti derivati.
– Indicando con fT il valore dell’opzione stessa alla scadenza T, il valore
ad oggi, f, sarà dato da
f e
 rT
Eˆ  fT 
L’idea guida del metodo MC consiste nello stimare tale valore attraverso
la simulazione dei possibili valori assunti nel corso del tempo dalle
variabili sottostanti, di cui il prezzo del derivato è funzione;
– Tramite il calcolo di un insieme sufficientemente ampio di possibili
valori finali possiamo poi stimare il nostro integrale come media
aritmetica di tali valori.
Monte Carlo: utilizzo
• Valutazione del VaR di un portafoglio di derivati
non lineari.
  E1P& LVaR 
• Vengono determinati scenari di valori del
sottostante alla data di smobilizzo. Per ognuno di
questi scenari viene rivalutato il portafoglio di
prodotti derivati, e l’eventuale perdita rispetto al
valore attuale
• Viene calcolato il percentile empirico della
distribuzione di profitti e perdite del portafoglio.
Un processo per i prezzi azionari
Processi per il Sottostante
Generazione Scenari
Distribuzione probabilistica dei premi
Calcolo della media e dell’errore
Il metodo Monte Carlo
•
l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato
come l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce
all’aumentare di n come
1/ n
•
•
Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del
problema.
E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte
Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni.
In questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere
verso il valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in
cui il numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata
cresce con l’aumentare del numero di dimensioni.
Un processo per i prezzi azionari
S 
2 
t  z t
ln
   
S0 
2 


2 
t  z t 
S  S0 exp   
2 


Nota: In queste formule z
rappresenta una variabile
aleatoria estratta da una
distribuzione
normale
standard N(0,1).
Obbligazioni con Opzioni Call
ABN Amro
Obbligazioni con opzioni call
•
•
•
•
•
Composizione del prodotto.
Rimborso a scadenza garantito
Cedole fisse determinate su uno scadenzario
Cedole variabili determinate alla fine
Facoltà di estinzione anticipata del titolo da
parte dell’emittente
• Evento di estinzione del titolo
Cedola variabile
• La cedola variabile è determinata come
VN*Max(Y,P*Performance)
dove VN è il valore nominale, P è il tasso di partecipazione, la
performance è la variazione di prezzo di un sottostante in un
periodo di tempo assegnato, e Y è il valore minimo della cedola
(floor)
• Un’altra possibilità è
VN*Min[X,Max(Y,P*Performance)]
dove X è il valore massimo della cedola (cap) e Y è il valore
minimo (floor).
• La rilevazione della performance può essere fatta sia con
modalità europea (ad una data prestabilita) o con modalità
asiatica (media di rilevazioni)
Cedola variabile (senza cap)
• Analizziamo il caso in cui non sia presente il cap.
• Il pay-off della cedola variabile può essere
scomposta come
• Cedola Variabile =
=Y + Max(P*Performance – Y, 0) =
= Y + P*Max(Performance – Y/P, 0)
• NB. Y rappresenta il rendimento garantito a
scadenza. Se la performance è minore di Y/P la
cedola paga Y.
L’introduzione di un cap
• Assumiamo di introdurre un limite massimo al
pagamento di interessi. Definiamo X tale limite.
• Introduciamo nella cedola prima descritta una
posizione corta in P opzioni con strike pari a X/P.
Il valore della cedola sarà allora.
• Cedola Variabile =
= Y + P*Max(Performance – Y/P, 0) –
P*Max(Performance – X/P, 0)
• E’ agevole verificare che se la performance è
maggiore di X/P il valore della cedola è X.
Il portafoglio di replica
• Piano di rimborso = lungo uno zero coupon pari al
valore nominale e scadenza pari alla maturità del
titolo.
• Cedole fisse = lungo una sequenza di zero coupon
bond che pagano le cedole fisse determinate nel
contratto più l’eventuale cedola garantita alla
maturità.
• Cedola variabile = lungo un numero P di opzioni
call con strike pari a Y/P .
• Cap = corto un numero P di opzioni call con strike
pari a X/P
Analisi di sensitività
• Il prodotto è lungo nel sottostante. Questo è
evidente nel caso in cui non sia presente il cap. La
sensitività aumenti del sottostante è misurata dal
delta e dal gamma delle opzioni. In presenza di un
cap, la sensitività ad aumenti del sottostante si
riduce, ma resta positiva (perché il delta di una
call diminuisce all’aumentare dello strike)
• In assenza di cap, il prodotto è senz’altro lungo di
volatilità. La sensitività a cambi di volatilità è
attenuata, e il segno può essere invertito (es. un
livello del sottostante molto vicino al cap).
Gerarchia dei fattori di rischio
• L’opzione sul sottostante rappresenta senza dubbio
il fattore di rischio più rilevante. Da un lato infatti
è l’elemento caratterizzante del prodotto, dall’altro
la volatilità del sottostante è probabilmente
maggiore della volatilità della curva dei tassi
(almeno per normali livelli di duration).
• Il valore del titolo risentirà comunque anche di
aumenti della struttura a termine dei tassi di
interesse e di aumenti dello spread di credito
pagato da ABN Ambro.
Considerazioni sulla
comunicazione dei rischi
• Questo titolo consente di osservare come l’arte
della comunicazione dei rischi sia diversa
dall’analisi del rischio.
• In primo luogo, la sensitività alla volatilità
rappresenterebbe un aspetto assolutamente
rilevante per un trader. Tale aspetto non viene
tipicamente comunicato all’investitore al dettaglio.
• In secondo luogo, la scelta dell’opzione asiatica
creerebbe problemi di copertura a un trader,
mentre riduce il rischio del prodotto per
l’investitore al dettaglio.