LA SAPIENZA
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA
Verifiche della
Local Lorentz Invariance
Andrea Maselli
Introduzione
Principio di Equivalenza di Einstein
WEP

La traiettoria di un “corpo di prova” in caduta libera in un
punto dello spazio tempo è indipendente dalla sua
struttura o composizione interna
Due corpi devono cadere con la stessa accelerazione
in un campo gravitazionale esterno
Introduzione
Principio di Equivalenza di Einstein
1. Il WEP è valido
2. LLI
 il risultato di un esperimento non gravitazionale è
indipendente dalla velocità del frame in caduta libera
3. LPI
 il risultato di un esperimento non gravitazionale è
indipendente dal punto nello spazio - tempo in cui
viene eseguito
Introduzione
Conseguenze
Gravitazione come fenomeno di curvatura dello spazio
Lo spazio-tempo è dotato di una
metrica
Teorie della gravità
Le traiettorie dei corpi in caduta libera
sono geodetiche della metrica
In un LIF le geodetiche sono linee rette,
e le leggi della fisica non gravitazionale
sono quelle della Relatività Speciale
Introduzione
Natura metrica dello spazio-tempo
(i)
(i)
y = f ( p)h
WEP + LPI

(i)
(i)
f ( p) = C = 1

I campi tensoriali si riducono a quello di Minkowski in ogni punto dello
spazio

Lo spazio - tempo è descritto da un tensore del secondo ordine g che
individua una famiglia di curve privilegiate: le geodetiche
Introduzione
Relatività Speciale
1. Ogni legge fisica che vale in un sistema di riferimento, assume
la stessa forma in un altro che si muove rispetto al primo di
moto uniforme
2. La velocità della radiazione elettromagnetica è indipendente
dalla velocità della sorgente
Nel 1908 Ritz formula l’ Emission theory, secondo la quale la
velocità della luce dipende dallo stato di moto della sorgente
Verifiche della RS
Emission Theory: conseguenze (Brecher)
La velocità della luce si propaga rispetto ad un osservatore statico
con una velocità caratteristica
c = c + kv
'
Effetti sui sistemi binari di stelle:
 Immagini multiple
 Inversione dell’ordine temporale degli eventi
 Apparente eccentricità dell’orbita
{
1
Ritz theory
0
Einstein theory
Verifiche della RS
Emission Theory: immagini multiple
r0
Sistema binario di stelle che orbita a distanza D
dalla Terra, con periodo orbitale T=2/
Sia una delle due stelle una sorgente di raggi
X con frequenza di emissione costante
D
Consideriamo un segnale emesso dalla sorgente a t’ nel suo sistema di
quiete e ricevuto a terra a t
'
t =t +
D r
kDv
'
'
- sint - 2 cost
c c
c
Verifiche della RS
Emission Theory: immagini multiple
dt
v
kDv
'
'
1
cos
t
sin
t


+

'
2
dt
c
c
<< 1
Effetto doppler
>1
Ghosts pulses
 Non si osservano segnali anomali nei sistemi binari sorgenti di
raggi X
 E’ possibile mettere un limite sulla costante k
2
Tc
k < kg =
2Dv
Verifiche della RS
Emission Theory: sfasamento
Consideriamo un sistema binario, in cui una delle due stelle, più grande,
genera un’eclissi di quella più piccola.

t =
2
'
1
'
3
t =
2
'
2
'
Secondo la curva Doppler
'
(t1 + t2 ) D 
tE =
= +
2
c 
'
(t1 + t 2 ) D 
j
tD =
= + 2
c   + r - kDv
2
c
c
 C’è uno sfasamento tra i tempi pari a 
j

Verifiche della RS
Emission Theory: sfasamento
Le fasi orbitali determinate con questi due metodi indipendenti differiranno tra loro
-1
Dj = j E - j D = tan (
kD
)
c
E possibile porre un limite superiore sulla differenza tra le due fasi orbitali,
ponendo una restrizione aggiuntiva sul valore della costante k, dipendente solo
da periodo orbitale e distanza dalla Terra
k < kp = DjcT
2D
Verifiche della RS
Emission Theory: eccentricità
Usando la velocità Doppler nell’ipotesi che
v(t) = v cos[ (t -
r
kDv
<<
<< 1
2
c
c
D kDv
D
) + 2 cos (t - )]
c
c
c
e
La teoria ci porta ad un’apparente eccentricità dell’orbita del sistema binario.
Possiamo dunque porre un ulteriore condizione limite sulla costante k
2
Tc e
k < kd =
vD
Verifiche della RS
Emission Theory: verifiche
Esistono circa dieci sorgenti di raggi X nella nostra galassia, che si muovono in
sistemi binari, ed emettono con una certa regolarità ad energie superiori a 70
KeV
Sono state scelte le sorgenti Her S-1, Cen X-3, SMC X-1, delle quali si
conoscono con maggior precisione le caratteristiche dinamiche
-9
k < 2  10
Verifiche della LLI
Verifiche della LLI
Esistenza di campi tensoriali o vettoriali a lungo raggio associati con la gravità
che possono influenzare la materia in due modi:

Si accoppiano direttamente con la materia, producendo piccole
deviazioni dal moto geodetico, o dipendenze delle masse dalla
posizione

Si accoppiano indirettamente con la materia entrando nelle equazioni
di campi
Esaminiamo gli esperimenti che riguardano il primo punto eseguiti da Huges e da
Turner
Verifiche della LLI
Esperimento di Huges
Il principio di Mach stabilisce una relazione tra massa di un corpo e massa
dell’universo
Se la distribuzione di massa non è isotropa, la massa del corpo può dipendere dalla
sua accelerazione, ed essere considerata una grandezza tensoriale, invece che
scalare
Parte isotropa
Parte anisotropa
M = m + Dm
Dm m
 n
m
r
Verifiche della LLI
Esperimento di Huges
Sono stati proposti numerosi esperimenti che si basano sulla relazione tra
anisotropia di massa e il contributo all’energia di legame di una particella
soggetta ad un’ interazione coulombiana
DE =
Dm
TP2 (cosJ )
m
 è l’angolo tra direzione dell’ accelerazione e del centro galattico
L’anisotropia di massa viene testata in due modi: sfruttando l’effetto Zeeman
negli atomi, e la risonanza magnetica nucleare nello stato fondamentale dei
nuclei
Verifiche della LLI
Huges: effetto Zeeman (1)
Si osserva la frequenza della transizione Zeeman Mj=3/2 - Mj=1/2 nello stato 2P3/2
del Cl35, come funzione dell’orientazione relativa tra direzione del centro galattico e
del campo magnetico

E’ necessario che la frequenza standard di riferimento rispetto alla
quale
viene confrontata la frequenza Zeeman, non presenti anisotropie di massa

Non si sono osservate variazioni con il tempo delle frequenze di transizione

E’ possibile stabilire un limite superiore per l’anisotropia
Dm
-10
 10
m
Verifiche della LLI
Huges: effetto Zeeman (2)
Si osservano le frequenze di due transizioni Zeeman, in cui gli intervalli sarebbero
affetti in maniera differente da anisotropia di massa

L’osservazione va fatta tale da avere la direzione del centro galattico che
massimizzi l’effetto della possibile anisotropia

Vengono sfruttate le transizioni DMj =  1,  2 nello stato 3P2 dell’ossigeno
molecolare

Anche in questo caso è possibile dedurre il limite
Dm
-10
 10
m
Verifiche della LLI
Huges: NMR su nucleo
Nucleo di Li7 nello stato fondamentale con spin nucleare I=3/2
In assenza di anisotropia i livelli sono
equispaziati e si osserva una sola linea di
risonanza
Se è presente anisotropia ci saranno tre intervalli differenti, che daranno luogo ad
un tripletto, o ad una singola linea, a seconda che la struttura sia risolta o no

Trattando la struttura del Li7 come un singolo protone P3/2 in un potenziale
centrale otteniamo un limite sull’anisotropia di massa
Dm
-20
 10
m
Verifiche della LLI
Esperimento di Turner
Si cerca di evidenziare la presenza di un’interazione tensoriale, in aggiunta a quella
data dal tensore metrico, tra materia del laboratorio e materia distante

Se esiste, l’interazione dipenderà in generale dalla velocità relativa tra
laboratorio e materia distante
Esperimento:

Sorgente di Co57 posta al bordo di una centrifuga, con un assorbitore di
ferro situato vicino l’asse di rotazione. Viene sfruttato l’effetto Mössbauer
per cercare dipendenza dalla velocità della frequenza dei raggi a 14,4
KeV
Verifiche della LLI
Esperimento di Turner

Se il tempo proprio dell’orologio è funzione della velocità relativa, ci si
aspetta che questo vari all’ordine più basso quadraticamente con la velocità

Per verificare l’effetto si sfrutta il confronto con un orologio fisso dello
stesso tipo che emette luce pulsante

L’orologio Mössbauer ha una velocità che varia con il tempo data da u + v
e la sua frequenza dovrebbe variare con la posizione angolare della ruota
come
Dv
n
= 2uv cosJ
Intensità del Doppler aggiuntivo
Verifiche della LLI
Turner: apparato
fascio di luce
di riferimento
raggio  pulsante
NaI
Co57
specchio
Verifiche della LLI
Turner: apparato

Il conteggio del raggio  a 122 KeV deve essere indipendente dalla
posizione

Il cristallo di NaI(Tl) è posto sulla parte rotante dell’apparato per evitare
che il conteggio possa essere dipendente dalla posizione

Il tubo sottile del cristallo ha l’effetto di mediare la luce uscente dal
cristallo su tutta la superficie del fotocatodo del fotomoltiplicaore
Verifiche della LLI
Turner: misure
Le quantità osservate sono il numero di raggi  a 14,4 e 122 KeV, presi nei
quattro quadranti durante 8 ~ 9 minuti in sessioni da 4 a 13 ore
Per ognuno dei quattro quadranti si ricava il rapporto tra il numero di raggi  a
14,4 e 122 KeV misurati
Rq = A + B( sina  cosa )
Si ottengono infine le velocità effettive u lungo x,y,z fissati nello spazio
Verifiche della LLI
Turner: misure
La rotazione terrestre ha come effetto quello di ridurre gli errori dovuti
ad asimmetrie del sistema sugli assi x e y (che giacciono nel piano
equatoriale)
2
2 1/ 2
 (ux + uy )
= (220  840) cm /s
Sia le galassie, che il moto del sole associato alla rotazione galattica
hanno velocità random di circa 200 Km/s
-5
 = (1  4)  10
Verifiche della LLI
LLI: presente e futuro
Esperimenti in laboratorio: si basano su una teoria analoga alla QED che
prevede una rottura spontanea dell’ invarianza di Lorentz
Esperimenti con pendoli di torsione (gruppo Eöt Wash)
 Limite sulla violazione per gli elettroni
b < 2  10- GeV
29
Implementazioni dell’esperimento di Michelson - Morley
 Limite sulle anisotropie della velocità della luce
Dc
-15
2
10
 
c
Verifiche della LLI
LLI: presente e futuro
Comagnetometer experiments: confrontano le frequenze di precessione di due
particelle (CfA Harvard)
Limite su b ortogonale all’asse
di rotazione terrestre
b < 5 10- GeV
32
Limite più stringente sul parametro di violazione per i neutroni
Verifiche della LLI
LLI: presente e futuro
Esperimenti astrofisici: le osservazioni astronomiche pongono limiti su alcuni tipi
di violazione come cambiamenti nella polarizzazione della luce

Rotazione nella polarizzazione lineare: si osserva la polarizzazione della
radiazione di sincrotrone emessa da radio galassie distanti
k < 10- GeV
42

Rotazione nella polarizzazione dipendente da : si osserva la luce
polarizzata emessa dalle galassie
Bibliografia
Conclusioni

La velocità della luce non dipende dalla velocità della sorgente

Non ci sono evidenze sperimentali dell’esistenza campi
tensoriali del secondo ordine che generano anisotropie nelle
proprietà dello spazio

Se esistono campi vettoriali cosmologici aggiuntivi, questi
hanno un’ accoppiamento diretto debole con la materia
Conclusioni
Conclusioni
Perché tanti esperimenti si interrogano sulla violazione dell’ invarianza di Lorentz?
1.
La rottura dell’ invarianza di Lorentz permette alla simmetria CPT di
essere violata
2.
Sia simmetria CPT che di Lorentz sono violate in alcune delle teorie
che cercano di collegare gravità e meccanica quantistica
3.
Le teorie sulla Dark Matter suggeriscono un nuovo campo, che
manifesta la sua interazione con la materia con un’apparente rottura
della simmetria di Lorentz
Bibliografia
Referenze
Kenneth Brecher - Is the Speed of Light Indipendent of the Velocity of the Source ?;
Physical Review, 197
Huges, Robinson and Beltran-Lopez - Upper limit for the anisotropy of inertial mass
from nuclear resonance experiments; Physical Review, 196
K.C. Turner and A. Hill - New Experimental Limit on Velocity-Dependent Interaction of
Clocks and Distant Matter; Physical Review, 1963
Misner, Thorne, Wheeler - Gravitation; edizione W.H. Freeman and Company 1973
Maxim Pospelov and Michael Romalis - Lorentz Invariance Trial; Physics Today 2004
Dispense del corso I Gravitazione Sperimentale A.A. 2007/2008 del Pof. Fulvio Ricci