Sistemi di
Numerazione
Numero e Numerale
5
V
Numerale:
E' la rappresentazione di un
numero per mezzo di simboli.
Numero:
Entità astratta; idea che si ha della quantità.
Che cos'è un Sistema di Numerazione
?
Un Sistema di Numerazione, è un insieme di regole e
principi, che si usano per rappresentare correttamente i
numeri.
Fra i principi elenchiamo:
1. Principio dell' Ordine
2. Principio della Base
3. Principio posizionale
1. Principio dell' Ordine
Tutte
le cifre in un numerale, hanno un ordine, per
convenzione, l'ordine si conta da destra a sinistra.
Esempio:
568
1° Ordine
2° Ordine
3° Ordine
Osservazione:
Non confondere il posto di un numero, con l'ordine di una cifra,
il posto è contato da sinistra a destra
2. Principio della Base
Tutti i sistemi di numerazione, hanno una base, che è un
numero intero maggiore dell'unità. Essa ci indica il modo
di come si devono raggruppare le unità.
Esempio:
Nel Sistema Senario (Base 6), dobbiamo raggruppare le
unità di 6 in 6:
23(6) = 15
Gruppi
Unità che avanzano
Come si rappresenta Venti nel Sistema Quinario (
Base 5 ) ?
Nel sistema “Quinario”, dobbiamo raggruppare di 5 in
5.
40(5) = 20
Gruppi
Unità che avanzano
Come rappresentare un numero in un'altra base ?
Per rappresentare un numero in un sistema differente
dal decimale, si usa il metodo delle:
“Divisioni Successive”
Esempio:
Rappresentare 243 nel sistema heptale ( Base 7 )
243
5
Allora:
7
34
6
7
4
243 = 465(7)
La Base di un sistema di numerazione inoltre ci indica quante
cifre si possono usare nel sistema:
Base
Sistema
Cifras que emplea
2
Binario
0; 1
3
Ternario
0; 1; 2
4
Quaternario
0; 1; 2; 3
5
Quinario
0; 1; 2; 3; 4
6
Senario
0; 1; 2; 3; 4; 5
7
Eptale
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8
Ottale
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9
Nonario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10
Decimale
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11
Endecimale
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A
12
Duodecimale
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B
A = 10
B = 11
3. Principio posizionale:
In un numerale tutte le cifre hanno un ”valore
posizionale”, vediamo un esempio:
457
Unità
= 7.1 = 7
Decine
= 5.10 = 50
Centinaia = 4.100 = 400
Osservazione:
La somma dei valori posizionali, ci dà il numero.
400 + 50 + 7 = 457
Scrittura polinomiale nel sistema decimale
Consiste nell'esprimere un numerale come la somma dei valori
posizionali delle sue cifre.
Esempi:
Scrittura polinomiale di numerali rappresentati con un
altro sistema di numerazione
Esempio:
4357 (9) = 4.9 3 + 3.9 2 + 5.9 + 7.1
(cioè
7. 90)
9
1
3
9
2
9
Altri esempi:
3
2
2143 (5) = 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3
2
124 (6) = 1.6 + 2.6 + 4
2
346 (8) = 3.8 + 4.8 + 6
3
2
23A5(11) = 2.11 + 3.11 + 10.11 + 5
54 (8) = 5.8 + 4
Si può utilizzare la Scrittura Polinomiale per passare da un
numerale qualsiasi a quello equivalente nel Sistema Decimale
Ejemplos:
3
2
4521 (7) = 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1
= 4.343 + 5.49 + 14 + 1 = 1632
2
124 (5) = 1.5 + 2.5 + 4
= 1.25 + 10 + 4 = 39
64 (8) = 6.8 + 4 = 52
In alcuni casi si tratta di scrivere in forma polinomiale dei
numerali con base incognita
Esempi:
Se 2x3y
(5)
3
2
= 2.5 + x.5 + 3.5 + y
= 2.125 + x.25 + 15 + y
= 265 + 25x + y
Allora 352
xyz
(n)
= 3.n 2 + 5.n + 2
(a)
= x.a 2 + y.a + z
2abc (x) = 2.x 3 + a.x 2 + b.x + c
Alcuni Concetti conclusivi
Numerale Palindromo (Bifronte)
Si chiama così quel numerale che letto da destra a sinistra,
se legge come da sinistra a destra.
Esempi:
44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321
In generale, con simboli letterali, si rappresentano così:
aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; …….
Cifra Significativa
Si chiama così ogni cifra che è diversa da zero; nel sistema
decimale le cifre significative sono:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9
Esercitazioni
Esercizio 1:
Se:
ab + ba = 132 , calcolare (a+b).
Scomponiamo polinomialmente:
(10a + b) + (10b + a) = 132
Sommiamo i termini simili:
11a + 11b = 132
Semplifichiamo dividendo ogni termine per 11:
a + b = 12
Risposta.
Esercizio 2:
Quanti numerali di due cifre sono uguali a 4 volte la somma
delle sue cifre?.
Se il numerale è di due cifre, allora sarà:
ab
Dalle informazioni: ab = 4 ( a+b )
Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo:
10a + b = 4a + 4b
6a = 3b
2a = b
1
2
2
4
ab = 12
3
4
6
8
ab = 36
ab = 24
ab = 48
Risposta: Ci sono 4 numerali di due
cifre che soddisfano le condizioni date
Esercizio 3:
Trovare un numerale di tre cifre che inizia con 6, e
che sia uguale a 55 volte la somma delle sue cifre.
Se il numerale inizia con 6, allora sarà:
6ab
Per i dati:
6ab = 55 ( 6+a+b )
Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo:
600 + 10a + b = 330 + 55a + 55b
Sommiamo i termini simili e semplifichiamo:
270 = 45a + 54b
30 = 5a + 6b
0
6
5
0
6ab = 605
6ab = 660
2 Risposte.
Esercizio 4:
Se a un numerale di due cifre aggiungete due zeri a
destra, il numerale aumenta di 2871. Trovate il
numerale.
Se è un numerale di due cifre:
ab
Aggiungendo due zeri a destra, otteniamo:
Però:
ab00 = ab. 100 = 100.ab
Perciò l'aumento è:
Allora:
100 ab – ab = 99.ab
99. ab = 2871
ab = 29
Risposta.
ab00
Esercizio 5:
Se: abcd = 37.ab + 62.cd , calcolare (a+b+c+d)
abcd = ab00 + cd = 100.ab + cd
Sostituendo, abbiamo:
100.ab + cd = 37.ab + 62.cd
63.ab = 61.cd
ab
cd
=
61
63
Allora:
ab = 61
y
cd = 63
Di conseguenza: a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16
Risposta.
Esercizio 6:
13a0 (4) = 120
Calcolare il valore di “a”, in:
Convertiamo 120 nel sistema quaternario
120
0
4
30
2
4
7
4
3
1
120 = 1320(4)
Sostituendo ad a il 2 abbiamo:
13a0 (4) = 1320 (4)
a = 2 Risposta.
Esercizio 7:
Calcolare il valore di “a”, in:
2a2a (7) = 1000
Scomponiamo polinomialmente
3
2
2.7 + a.7 + 2.7 + a = 1000
2.343 + a.49 + 14 + a = 1000
686 + 49a + 14 + a = 1000
700 + 50a = 1000
50a = 300
a = 6 Risposta
Esercizio 8:
Se i numerali:
n23(m) ; p21(n) ; n3m(6) y 1211(p)
Sono scritti correttamente, calcolare m, n y p.
Sicuramente: BASE > CIFRA
n23(m)
m > n
y
m > 3
p21(n)
n > p
y
n > 2
n3m(6)
6 > n
y
6 > m
1211(p)
p > 2
Ordinando, si ha:
6 > m > n > p> 2
5
4
3
Risposte.
Esercizio 9:
Scrivere nel sistema ottale la cifra di minor ordine che si
ottiene trasformando il maggior numero di tre cifre di
base 6.
Il maggior numero di tre cifre di base 6 è:
555(6)
Trasformandolo in base 10:
2
555(6) = 5.6 + 5.6 + 5 = 180 + 30 + 5 = 215
Adesso nel sistema ottale (base 8):
215
7
8
26
2
8
3
555(6) = 215 = 327(8)
La cifra di ordine minore è 7