La funzione deriva prima
f : D  R R se f è derivabile in D1 incluso D si può definire
f : D1 R
x  f x
f  è la funzione derivata prima di f
f x 0  h  f x 0 
Se esiste finito Lim
h0
h
diremo che f è derivabile due volte in x0
sia x 0  D1

f x 0  h  f x 0 
Lim
 f x 0 

h0
h
In modo analogo è possibile definire la derivata n-esima di
f in x0

Esempio
f x  ex  2x f è derivabile infinite volte in R
f x  ex  2
f x  e x
f x  e x
..........
f n x  e x

C  R
Esempio
f x  x  2x 1 f è derivabile infinite volte in R
3
f x  3x 2  2
f x  6x
f x  6
f v x  0
f n x  0

C  R
Teorema di de l’Hopital
 
f , g : a; b R con    a  b   tali che:
i) per x a  x b   entrambe tendono a 0, oppure a  
 
 
ii) sono entrambe derivabili in a; b con gx   0 x  a; b
f x  
f x 
oppure Lim
 allora
Se esiste il Lim
x  a gx  
x  b gx  
f x 
f x  
f x 
f x 
Lim
 Lim
 Lim
oppure Lim

x  a gx 
x  a g
x  b gx 
x  b g
x  
x  

Esercizio Calcolare
ln x 

x  0 1/ x

2
ln x
1/ x
x
Lim
 Lim
 Lim 
0
2

x  0 1/ x
x  0 1/ x 
x0
x


ln x 
ln x
1/ x
Lim

Lim
 Lim
0
x   x
x


x



x
1

e x 
ex
e x 
Lim 2 
Lim 2  Lim

x   x
x   2x
 x   x

 x 
e
ex
Lim
 Lim  
x   2x
x   2
  2
 2x  2
2
2
2
ln x  2x  
2x
2x

2x
Lim x  2x  Lim 2
Lim

 Lim 2  2
1
x


x  
x   x
x   x  2x

ln x
x
Lim x ln x  0  Lim

x0
Esercizio Calcolare
ln 1 x   x
0
Lim
2 
x  0 x  sin x  x
0
1

2
1
1 x 
Lim

 
x  0 sin x  2
2
0
e x 1  x
Lim
2 
x  0 sin x  x  x
0

ex
1
Lim

x  0  sin x  2
2
 
1
1
0
1
x
Lim

x  0 1  cos x  2x
0

0
e x 1
Lim

x  0 cos x 1  2x
0
