L’ANALISI QUANTITATIVA NELLA RICERCA IN DIDATTICA
DELLE MATEMATICHE
1- Problematica «quantitativa» della didattica
2- Risposte della statistica classica
3- Rottura epistemologica della statistica :
L’ananlisi dei dati, sue possibilità e modi di risposta
4- Presentazione breve di tre metodi :
· l’analilsi fattoriale
· l’analisi gerarchica delle similarità
· l’analisi statistica implicativa
Prof. Régis GRAS, Ecole Polytechnique de l’Université de Nantes,
Institut de Recherche en Informatique de Nantes
Istituto di Istruzione Superiore “Gen. A.Cascino” - Piazza Armerina – Febbraio 2003
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
1-Problematica quantitativa in didattica
La didattica cerca dei fondamenti teorici attraverso
analisi d’inchieste, osservazioni per :



formulare delle ipotesi sull’apprendimento
esplicitare delle variabili didattiche
Cercare delle invarianti, dei «teoremi» didattici
Al fine di guadagnre in :
· pertinenenza e rigore
· validità, riproducibilità
· predittibilità
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
Problematica «quantitativa» in didattica.
Alcune questioni d’ordine didattico, dall’esame della contingenza:
procedure e gerarchia a priori comparate a delle procedure et una gerarchia a
posteriori ;
•come osservare lo scarto? come qualificarlo? quantificarlo ?
•
• · analisi della complessita, delle associazioni, dei fattori associati ad un insieme
d’items
• · quale é l’influenza delle variabili didattiche ?
• · come si piazzano certi allievi, certe categorie di allievi rispetto alle variabili che
intervengono?
• · dietro le strategie stabili di risposte, possiamo distinguere delle concezioni? Degli
ostacoli? delle relazioni necessarie?
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
2- Risposte (e pratiche) della statistica classica
(« falso sino a prova contraria »)
necessità di accordo statistico-ricercatore-praticien sugli
scopi di un progetto d’analisi
construzione di un modello
parametri d’osservazione, degli elementi d’informazione
realizzazione dell’esperienza
analisi, validazione di un modello
esposizione e dibattiti sui risultati
eventuale costruzione di un nuovo modello
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
Ma vi sono delle condizioni da soddisfare (in generale) :
* identificare, probabilizzare le variabili
* presupporre (spesso) delle ipotesi di normalità
* saper formulare delle « ipotesi nulle »
* Accettare dei metodi lunghi di incrocio 2 a 2 delle variabili
* Schiacciare l’individualità del soggetto nel campione…
altrettante condizioni diffcilili nelle scienze umane (psicologia,
sociologia,…), o in altre un pò più formalizzate: medecina, economia,
…
ricerca di altri metodi per: sintetizzare, strutturare i dati,
identificare le variabili e i fattori nascosti, le loro associazioni, la loro
gerarchia …

L’ANALISI QUANTITATIVA ….
3 – Rottura epistemologica: dalla statistica classica all’analisi dei dati
Elementi di congiunzione :
* Formalizzazione concettuale in algebra, geometria, probabilità, …
* Numerose ricerche nell’esplorazione e gestione delle conoscenze
* Crescita esponenziale delle informazioni di ogni ordine
* Il computer con le sue capacità di sviluppo continuo in materia di:
- stockage
- trattamento rapido di calcoli complessi
- rappresentazione variata multidimensionale
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
La rottura concerne dunque :

* Gli obiettivi : descrivere, condensare, strutturare,
spiegare
*i mezzi (tecnici)
* I dati trattai (numero, natura,…)
* I soggetti dell’analisi (variabili e/o individui)
* I modi di restituzione dei dati trattati : tavole
numeriche, visualizzazione grafica
* I procedimenti (dai dati ai modelli) e
« vero sino a prova contraria »
* I metodi matematici impiegati
* I concetti in gioco (algebra, geometria, combinatoria,
probabilità, …
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
Ma prudenza…(finzione della transparenza) necessità di :

· Preparare delle congetture
· scegliere un metodo di analisi adatto :
Cercare dei fattori discriminanti analisi fattoriale
……..
…… ..
..
……
….
.
Cercare una partizione nuvole dinamiche
- cercare una tipologia classificazione
gerarchica
-cercare
delle inferenze, una genesi
analisi implicativa
e
a
h
f
d
b
h
c
g
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
Necessita di …
·
codificare le variabili e costituire una tabella
esaustiva, pertinente, omogenea, compatibile con il
metodo in gioco
·
comprendere (succintamente) quali sono i concetti
matematici alla base delle strutture (spazi vettoriali,
algoritmi, criteri probabilistici,…)
·
interpretare da una sintesi e formulare ipotesi dai
risultati con attitudine critica
·
associare loro, eventualmente, un metodo
inferenziale classico
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
4- Presentazione breve dell’analisi fattoriale
In generale sono trattai due tipi di tabelle
Tabella di contingenza
J variabili j
I soggetti
i
.
.
………….. x……..
ij
.
.
.
.
Var. suppl.k
.
é l’individuo i
xij
.
per la variabile
……….
j
x
ik
.
Caso
.
bianrio (prexij senza-assenza) :
.
.
=1o0
Tabella di Burt
Variable 1
Variable 1………..
Variable j
Modalité k
……………………..
Variable m
Modalité q
…………………
………………
…
Variable j,
………………
……………………..
…………………
modalité k………..
…
………..Ik…………..
…………………
……………………
………………
………………………
…………………
……………………
…
………………………
…………………
Variable m,
………………
………………………
…………………
……………………
…
……………………...
…………………
modalité q………..
………………
……… Iqk …………
…………………
……………………
…
………………………
…………………
………………
…
La tabella é simmetrica.
Le sotto-tabelle situate sulla………………
diagonale sont diagonali
… possiedono la modalità k della variabile j
Ik é il numero dei soggetti che
Iqk é il numero dei soggetti che possiedono la modalité q della variabile m et la modalità k della variabile
j.
Il principio matematico consiste nel déterminare gli assi principali d’inertzia dei dati immersi in uno
spazio di dimensione uguale al numero di variabili, e per questo, il principio ritorna a diagonalizzare
una matrice, poi fare delle proiezioni sulla base dei vettori.
L’ANALISI QUANTITATIVA ….
4- Analisi gerachica delle similarità e analisi implicativa
Sia A (risp. B) l’insieme dei soggetti che possiediono l’attributo a (risp.b).
n (a e b) é il numero dei soggetti che possiedono simultaneamente a e b
n ( a e non b) é il numero dei soggetti che possiedono a senza possedere b. Questi sono i
contro-eeempi all’implicazione a  b.
Se a e b fossero indipendenti,
N(a e b) sarebbe il cardinale atteso di A B
e N(a e non b) sarebbe il cardinale atteso di A B.
A(a)
n(a et non b)
A et B
(n(a et b)
B(b)
Un indicatore di similarità é Prob[N(a et b)< n(a et b)]
Un indicatore di implicazione é Prob[N(a et non b)>n(a et non b)]
ESTENSIONE DEL METODO DI ANALISI IMPLICATIVA
Dati :
E (n soggeti) ;
V(v variabili)
(esempi: attributi, descrittori, intervallli, ranghi, …)
Obbiettivi :
1° Quantificare con y(a,b) l’intensità della quasi-implicazione o regola :
«se variabile a allora generalmente variabile b», non a => b, poi rrappresentare
con un grafo ponderato le relazioni quasi-implicative su V
e
a
h
f
d
b
h
c
g
2° Quantificare l’intensità dei meta-teoremi o meta-regole del tipo
(a => b) => ((c => d) => e)
quindi rappresentare con una gerarchia ascendente orientata la struttura di V in
classi implicative
3° Individuare i livelli significativi della gerarchia
4° Quantificare le caratteristiche e i contributi dei soggetti e delle variabili
supplementari, negli archi del garfo e nelle classi della gerachia
a
b
c
d
e