Informazioni generali Stefano Leonardi Tel.: 06 49918341 Email: [email protected] URL: www.dis.uniroma1.it/~leon/didattica/asd / Ricevimento: Venerdì, ore 14-16, Dip. Informatica e Sistemistica, via Salaria 113 II piano, 00198 Roma Testo adottato: R. Sedgewick, Algoritmi in Java, Addison Wesley Testi consigliati: C. Demetrescu, I. Finocchi, G. Italiano. Algoritmi e Strutture Dati in Java. Mc Graw Hill, 2004. Cormen, Leiserson, Rivest, Stein. Introduzione agli algoritmi. Ed. Jackson libri Altro materiale: trasparenze del corso Libreria di Algoritmi e Strutture Dati in Java documentazione su Java disponibile in rete 1 Challenge Algoritmica http://www.dis.uniroma1.it/~damore/asd/challenge/c hallenge.htm I primi 3 classicati ricevono un bonus di 2 punti per l’esame. 2 Algoritmi e Strutture Dati I. Progetto ed Analisi di Algoritmi 3 Obiettivi Applicazioni della progettazione di algoritmi e strutture dati Come si misura l’efficienza delle strutture dati e degli algoritmi Come scegliere gli algoritmi e le strutture dati adatti a risolvere in modo efficiente un problema Implementazione di algoritmi e strutture dati in Java 4 Argomenti del corso Introduzione: efficienza e sua misura. Riepilogo sulle principali strutture dati di base: liste, code, pile, alberi Code di priorità Dizionari (Alberi bilanciati, Tabelle Hash, etc..) Aspetti avanzati degli algoritmi di ordinamento Grafi o Rappresentazione e algoritmi di visita o Applicazioni della DFS o Algoritmo di Dijkstra per il calcolo del percorso minimo o Minimo albero ricoprente 5 Algoritmi e strutture dati Definizioni Struttura dati: organizzazione sistematica dei dati e del loro accesso Algoritmo: procedura suddivisa in passi che, eseguiti in sequenza, consentono di eseguire un compito in tempo finito Esempio: Max. di un vettore di n elementi Algorithm arrayMax(A, n) currentMax = A[0]; for (i=0; i < n; i++) if (A[i] > currentMax) currentMax = A[i]; return currentMax; 6 Nel mondo reale....... Gli algoritmi sono al cuore di innumerevoli applicazioni informatiche Esempi Routing nternet DBMS Analisi e classificazione di documenti/Motori di ricerca Ottimizzazione di progetti Etc. Etc. Etc. 7 Esempio: Routing in Internet Protocollo di Routing 5 Obiettivo: determinare “buon” cammino sorg.-dest. Astrazione usando grafi: I nodi rappresentano router Gli archi descrivono i link fisici Costi sugli archi (link) : ritardo, livello di congestione 2 A B 2 1 D 3 C 3 1 5 F 1 E 2 Cammino “buono”: Di solito significa cammino a costo minimo Possibili def. alternative 8 Esempio: Accesso a basi di dati Interrogazione Obiettivo: rispondere rapidamente. Interrogazione ... Data base Data Record 9 Qualità di algoritmi e strutture dati Efficienza Tempo di esecuzione Spazio (quantità di memoria) I due aspetti sono interdipendenti 10 Come misurare l’efficienza? 10 ms Programma A Dati Problema Programma B 1 ms Perché B gira più velocemente ? Possiamo affermare che B sia “migliore” di A? 12 Misura dell’efficienza obiettivi Indipendenza dall’implementazione Generale (valida per ogni input, di qualsiasi dimensione) Misura indipendente dalla piattaforma Hw/Sw 13 Modello di costo RAM Random Access Machine Macchina che esegue le istruzioni in sequenza. Insieme di operazioni primitive a costo unitario: Assegnazione A = 10; (costo 1) Op. aritmetiche A = B*C + D – 7; (costo 4) Test A == B (costo 1) Lettura/Scrittura System.out.println(A); (Costo 1) 14 Modello di costo/2 Costo di operazioni complesse: Ciclo: somma costo test di fino ciclo e costo corpo del ciclo if…then…else: costo test più costo blocco istruzioni che segue then o else (a seconda del caso) Attivazione di un metodo: somma dei costi di tutte le istruzioni presenti nel metodo Costo: somma di tutti i costi 15 Esempio Nel primo caso (vett. di 3 elementi) si ha costo 1 (ass.)+1 (ass. nel for) + 6 (test e incr. nel for) + 1 (test finale for) + 3 (test if) + 1 (istruz. return) = 13 Nel secondo caso si ha 1 (ass.) + 1 (ass. nel for) + 10 (test e incr. nel for) + 1 (test finale for) + 5 (test if) + 1 (istr. ass. nell’if) + 1 (istruz. return) = 20 AlgorithmarrayMax(A, n) currentMax=A[0]; for (i=0; i<n; i++) if (A[i]>currentMax) currentMax=A[i]; return currentMax; 1 8 7 6 1 3 4 4 n=3 n=5 16 Perché il modello è accettabile? MUL B,C ADD A,B A=A+B*C; B A C Ogni istruzione corrisponde a una sequenza finita di istruzioni macchina Ogni variabile occupa una quantità finita di memoria e quindi i tempi di accesso a due variabili sono legati da una costante N finito (es. 32 o 64 ) 17 Vantaggi e svantaggi Vantaggi: prescinde dalla piattaforma Hw/Sw e dal linguaggio di programmazione Svantaggi: l’indicazione che si ottiene è qualitativa 18 Quale input considerare? La misura deve dipendere dalla dimensione dell’input (n nel nostro esempio) ma non dal particolare input considerato Possibile alternative: Analisi del caso peggiore: si considera il costo di esecuzione nel caso peggiore Analisi del caso medio: si considera il costo medio dell’algoritmo rispetto ad una distribuzione dell’input (richiede la conoscenza della distribuzione) In ogni caso occorre definire la dimensione dell’input 19 Dimensione dell’input In generale: No. bit necessari a rappresentare l’input Esempio (calcolo del Max. in un array di n interi) n interi finiti (< MAXINT) log(MAXINT) bit per rappresentare ogni valore. Poiché MAXINT è una costante in pratica, il numero di bit necessari a rappresentare un intero è costante (es. 32) Quindi: dimensione input è proporzionale a n A volte le cose possono non essere così ovvie (si pensi al problema di indovinare un numero proposto nell’ultima slide) 20 Analisi nel caso peggiore (esempio) Nel caso peggiore l’elemento massimo è l’ultimo In questa ipotesi l’istruzione currentMax=A[i]; è eseguita n-1 volte. Il costo complessivo dell’algoritmo è allora 1(ass)+1(ass for)+2n(test ed increm for)+2(n-1)(test e ass. if)+1(test finale for) +1(resturn)=4n+3 AlgorithmarrayMax(A, n) currentMax=A[0]; for (i=0; i<n; i++) if (A[i]>currentMax) currentMax=A[i]; return currentMax; 1 4 6 3 8 21 Analisi asintotica Se si considerano tutte le costanti l’analisi può divenire eccessivamente complessa Interessa conoscere il costo al variare della dimensione dell’input, a meno di costanti Motivo: il costo è comunque calcolato a meno di costanti, per le ipotesi fatte circa il modello Un’analisi di questo tipo è detta asintotica L’analisi asintotica è influenzata dall’operazione dominante di un algoritmo 22 Analisi asintotica/2 f(n), g(n) funzioni dagli interi ai reali f(n)=O(g(n)) se esiste c>0 reale, e una costante intera n0 1 tali che, f (n) cg (n) per ogni n n 0 f (n) ( g (n)) se esiste c>0 reale, e una costante intera n0 1 tali che, f ( n) cg ( n) per ogni n n0 f (n) ( g (n)) se f(n)=O(g(n)) e f (n) ( g (n)) f(n)=o(g(n)) se, per ogni c>0, esiste n0>0 tale che lim f/g0 per ogni n n0 (attenzione alle differenze!!) f (n) ( g (n)) se g(n)=o(f(n)) In base a tali definizioni, l’algoritmo AlgorithmarrayMax ha costo O(n) 23 Istruzione dominante Un’ operazione o istruzione si dice dominante se il numero d(n) di volte che essa è eseguita nel caso peggiore di input di dimensione n soddisfa: f(n)<=a d(n) + b, dove f(n) è la complessità dell’algoritmo nel caso peggiore ed a e b sono costanti opportune Es.: istruzione if (A[i]>currentMax) in AlgorithmarrayMax(A, n) 24 Esempi In base a tali definizioni, l’algoritmo AlgorithmarrayMax ha costo (n) f(n)= 3n2+10 n = O(n2) Per c=4 e n0>=10, 3n2+10 n <= 4 n2 1 2 f (n) n 3n (n 2 ) 2 Per c1= 1/14, c2= 1/2, n0>=7, 1 2 c1n n 3n c2 n 2 2 2 25 Analisi asintotica/3 Limiti dell’approccio: Le costanti nascoste possono essere molto grandi: un algoritmo con costo 1050n è lineare ma potrebbe essere poco pratico Comportamento nel caso di istanze “piccole” (es. 3n contro n2) Il caso peggiore potrebbe verificarsi raramente 26 Analisi di Insertion Sort Algorithm insertionSort(A, n) for (i=0; i<n; i++) { tmp=A[i]; for (j=i; j>0 && tmp<A[j-1]; j--) A[j]=A[j-1]; A[j-1] = tmp; } return A; Inserisce l’elemento A[i] nella posizione corretta nel vettore ordinato A[0,…,i-1] Ex: 54321 i=0 i=1 i=2 i=3 i=4 54321 45321 34521 23451 12345 0 confronti 1 confronto 2 confronti 3 confronti 4 confronti n1 f (n) i n(n 1) /2 O(n 2 ) i 0 Ex: 12345 f(n)= n 27 Esempi class esercizio { public void Ex1(int n) { int a, i; for (i=0; i<n;i++) a=i; } public void Ex2(int n) { int a, i; for (i=0; i<n*n;i++) a=i; } public void Ex3(int n) { int a, i, j; for (i=0; i<n;i++) for (j=0; j<=i;j++) a=i; } } Valutare la complessità dei tre metodi Complessità di Ex3: 1+2+....+n=O(n2) 28 Metodo Divide et Impera Il problema è risolto ricorsivamente attraverso la sua scomposizione in problemi di taglia inferiore Divide: Problema suddiviso in un numero di sottoproblemi di taglia inferiore Impera: Sottoproblemi risolti ricorsivamente o direttamente se di dimensione piccola a sufficienza Combina: Le soluzioni dei sottoproblemi sono combinate per ottenere la soluzione al problema originale 30 Merge Sort A[0...n] A[0...n/2-1] A[n/2...n-1] Suddividi A in due sottovettori di dim. n/2 A[0...n/2-1] A[n/2...n-1] MergeSort A[0...n/2-1] Si suppone n pari per semplicità MergeSort A[n/2...n-1] Merge A ordinato 31 Merge Sort/2 void mergesort(int[] A, int first, int last) { if (first < last) { int mid = (first + last) / 2; mergesort(A, first, mid); mergesort(A, mid+1, last); merge(A, first, last); } } 32 Merge Sort A[0...n] /3 Divide: divide gli n elementi da ordinare in due sottosequenze da n/2 elementi. Costo: O(n) Impera: ordina ricorsivamente usando il merge sort le due sottosequenze. Costo: 2f(n/2) Combina: fonde le due sottosequenze ordinate. Costo: O(n) La ricorsione termina quando si hanno solo due elementi da ordinare. Costo:O(1) Costo dell’algoritmo Merge Sort: (1), n 2 f ( n) 2 f (n / 2) ( n), n 2 33 L’array [1 8 6 4 10 5 3 2 22] ordinato con mergesort 34 Merge void merge(int[] data, int first, int last) { int mid = (first + last) / 2; int i1 = 0, i2 = first, i3 = mid + 1; while (i2 <= mid && i3 <= last) if (data[i2] <data[i3]) temp[i1++] = data[i2++]; else temp[i1++] = data[i3++]; while (i2 <= mid) temp[i1++] = data[i2++]; while (i3 <= last) temp[i1++] = data[i3++]; for (i1 = 0, i2 = first; i2 <= last; data[i2++] = temp[i1++]); } 35 Equazioni di ricorrenza Tempo di esecuzione di algoritmi ricorsivi descritti con equazioni di ricorrenza. Ex: MergeSort: c1, n 1 f (n) 2 f (n / 2) c2n, n 2 Semplificazioni: Argomenti non interi. (1), n 2 f ( n) f ( n / 2) f ( n / 2) (n), n 2 Condizioni al contorno: (1) per n piccolo 36 Soluzione di equazioni di ricorrenza Metodo per sostituzione. Si tenta una soluzione g(n) e si verifica se soddisfa l’equazione di ricorsione. Dimostrazione per induzione. Base dell’induzione: f(1)≤g(1) Ipotesi induttiva: f(n/2) ≤g(n/2) Passo induttivo: f(n) ≤g(n) Per Merge Sort: g (n) cn log n a 37 Soluzione equazioni di ricorreza per Merge Sort Base: f (1) c1 g (1) a f ( n / 2) g ( n / 2) Ipotesi induttiva: Passo induttivo: f (n) 2 g (n / 2) c2 n 2c(n / 2) log( n / 2) c2 n 2a cn log( n / 2) c2 n 2a cn log n cn c2 n 2a cn log n a c1 c2 c 38 Esercizi/1 1. Mostrare che la soluzione di f(n)=f(n/2)+f(n/2)+1 è O(n) 2. Mostrare che la soluzione di f(n)=2f(n/2+10)+n è O(nlog n) 39 f(n)=f(n/2)+f(n/2)+1 Ipotesi: f(n)<=g(n)=cn f(n/2)+f(n/2)+1<=cn/2 + cn/2 +1 = cn +1 NO! Ipotesi: f(n)<=g(n)=cn-b f(n/2)+f(n/2)+1<=cn/2-b + cn/2-b +1 = cn -2b+1 b>=1 40 f(n)=2f(n/2+10)+n Rinominiamo n+20= m. Quindi: f(m)=2f(m/2)+m-20 Ipotesi: f(m)<=g(m)=cmlogm f(m)<=2c (m/2) (log m-1)+m-20<=cm log m se c>=1 Quindi: f(n)<=g(n)=(n+20)log(n+20) 41 Esercizi/2 Mostrare che la soluzione di f(n)=f(n/2)+1 è O(log n) 42 Esercizi/3 Si consideri il problema della ricerca in un vettore di interi: dato il vettore A[1..n] ed un intero k, si vuole stabilire se k sia tra gli elementi di A o meno Considerato il classico algoritmo basato sulla ricerca binaria, si mostri che esso ha complessità O(log n) 43 Esercizi/4 Si consideri il problema di “indovinare” un numero intero nel numero minimo di tentativi: ad ogni tentativo, l’algoritmo propone un valore ad un oracolo, che conosce il numero da indovinare. L’oracolo risponde dicendo se il numero proposto sia maggiore, minore o uguale a quello da indovinare (nell’ ultimo caso il gioco termina). Si proponga un algoritmo efficiente e se ne esprima la complessità temporale in funzione del generico numero N da indovinare 44