MODELLO
DI
LOTKA-VOLTERRA Logistico
La risorsa (preda) in assenza di consumatori (predatore)
si accresce in modo logistico
dp
 A * p (t )
dt
diventa:
dp
p

 mp1  
dt
 K
dp
p

 mp1    pq
dt
 K
dq
  Dq   pq
dt
Stati di equilibrio e diagramma delle fasi
del modello Lotka-Volterra logistico
dp
0
dt
p

mp1    pq  0
 K
dq
0
dt
 Dq  pq  0
dp
0
dt
isocline
della
preda
 

p
m1  K   q  p  0

 

p 0
m
p
q  1  

K
isocline
del
predatore
q0
dq
0
dt
p
( D  p)q  0
D

q
q
m

P1  (0,0)
m
p
1  

K
 D m Dm 

P2   , 
   K 
P2
P3  ( K ,0)
P3
P1
D

K
p
P1  (0,0)
Corrisponde all’estinzione, cioè all’assenza
simultanea delle prede e dei predatori
P3  ( K ,0)
 D m Dm 

P2   , 
   K 
Corrisponde all’assenza dei predatori
la risorsa (preda) ha come equilibrio
la capacità portante
Corrisponde alla coesistenza contemporanea
di prede e di predatori.
D
P2 esiste solo se: 
K
(dal grafico)
Cioè se il predatore è sufficientemente efficace nell’interagire
con la preda (D mortalità da fame: piccola,  coefficiente di
predazione: grande)
I
dp
0
dt
m
p
q  1  

K
dq
0
dt
dp
0
dt
dq
0
dt
dp
0
dt
IV
dq
0
dt
II
III
D

dp  
p
 m1    q  p  0
dt   K 

( D  p)  0

zona
f1
f2
I
<0
<0
II
>0
<0
III
>0
>0
IV
<0
>0
I
dq
0
dt
IV
dp
0
dt
La isocline della preda viene
attraversata verticalmente

dx  dp dq   dq 
  ,   0, 
dt  dt dt   dt 
II
La isocline del predatore viene attraversata
orizzontalmente:

dx  dp dq   dp 
  ,    ,0 
dt  dt dt   dt 
il verso dipende dal segno di dp
dt
il verso dipende dal segno
di dq
dt
III
zona
dp/dt
dq/dt
I
<0
<0
II
>0
<0
III
>0
>0
IV
<0
>0
I
IV
P2
P1
II
III
K
P3
zona
dp/dt
dq/dt
I
<0
<0
II
>0
<0
III
>0
>0
IV
<0
>0
In assenza di prede (p=0), P1 è attrattivo
i predatori si estinguono
In assenza di predatori (q=0), P3 è attrattivo
le prede crescono raggiungendo la
capacità portante
Se prede e predatori coesistono
P1 e P3 sono instabili
P2 è stabile
Piano delle fasi Soluzioni corrispondenti a diversi valori
iniziali
Soluzioni del problema di Lotka-Volterra
16
14
preda
predatore
popolazioni
12
10
8
6
4
2
2
2.5
3
3.5
4
4.5
tempo
5
5.5
6
6.5
Prede-Predatori - Modello Logistico
Prede e Predatori
11
10
Predatori
9
P(0) = 6
Q(0) = 10
8
7
6
5
4
3
0
2
4
6
8
10
Prede
12
14
16
18
20
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Modello preda-predatore
%
Lotka-Volterra Logistico
%
%
P'(t) = m* P(t)* (1-P(t)/K) - alpha * P(t)*Q(t)
Prede
%
Q'(t) = - D Q(t) + Beta P(t)*Q(t)
Predatori
%
P(0) = p0
Q(0) = q0
%
% m
tasso di crescita della preda
% alpha
coefficiente di predazione della preda
% D
tasso di mortalità dei predatori
% Beta
coefficiente di predazione del predatore
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;
global m alpha D Beta K
m=1;
alpha=0.1;
D=1;
Beta=0.2;
K=10;
p0=6;
q0=15;
X0=[p0,q0]',
options = odeset('OutputFcn',@odephas2);
[t,X] = ode23s(@Volt,[0,10],X0,options);
figure(2)
subplot(2,1,1),plot(t,X)
title('Soluzioni del problema di Lotka-Volterra')
xlabel('tempo'); ylabel('popolazioni')
legend('preda','predatore')
subplot(2,1,2),
plot(X(:,1),X(:,2),'b',D/Beta,m/alpha,'o')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Sistema Lotka-Volterra Logistico
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function F=Volt(t,z)
global m alpha D Beta K
F=[m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1); -D*z(2) +
Beta*z(1)*z(2)];
return
Prede e predatori
nella
Comunità montana dell’Oltrepò Pavese
La processionaria è un lepidottero
che allo stato larvale si nutre delle
foglie del pino causando anche ingenti
defogliazioni; ma il problema forse
più grave legato alla processionaria è
rappresentato dai peli urticanti delle
larve che possono creare problemi
alle persone che frequentano i boschi
di pino particolarmente infestati.
Processionaria
Già a partire dagli anni 50 si è tentato di contenere la diffusione
della processionaria del pino con sistemi di lotta biologica
introducendo la formica rufa, un insetto predatore che si nutre
anche delle larve di processionaria .
Esempio di applicazione del
modello Lotka-Volterra
(paradosso di Volterra)
PREDA
PREDATORE
Processionaria P
Formica rufa F
Parametri delle due popolazioni:
K  1000
Capacità portante dell’insetto nocivo
m5
Tasso di crescita della processionaria
D  10
Mortalità dell’insetto predatore (formica)
  0.1
Tasso di predazione delle prede
  0.02
Tasso di predazione dei predatori
Equazioni
di Lotka-Volterra
(Logistico)
dP
 P
 mP1    PF
dt
 K
dF
  DF  PF
dt
dP
P 

 5 P 1 
  0.1PF
dt
 1000 
dF
 10 F  0.02 PF
dt
processionaria
formica
Equazioni
del
modello
Si vuole determinare l’equilibrio stabile
Calcolo dello isocline:
P 

5 P 1 
  0.1PF  0
 1000 
Isocline della preda
10F  0.02PF  0
Isocline dei predatori
5 
P 
F
1 

0.1  1000 
P0
Isocline della preda
10
P
0.02
F 0
Isocline dei predatori
F
La situazione di equilibrio stabile
corrisponde ad un elevato numero
di processionarie (500 prede) contro
25 formiche -predatori
P2
P3
P1
P
P1  0,0
instabile
 10

P2  
,25 
 0.02

stabile
P3  1000,0
instabile
Si supponga di intervenire con un insetticida letale tanto per le prede
quanto per i predatori.
d1
d2
Mortalità indotta dall’insetticida
dP
P

 mP1    PF  d1 P
dt
 K
dF
  DF  PF  d 2 F
dt
I nuovi punti di equilibrio saranno:
P

mP1    PF  d1 P  0
 K
Isocline della preda
 DF  PF  d2 F  0
Isocline dei predatori
m  P  d1
F  1   
 K 
P0
Isocline della preda
in presenza di insetticida
P
F 0
D  d2

Isocline del predatore
in presenza di insetticida
Il nuovo punto di equilibrio stabile è:
P
D  d2

m  P  d1
F  1   
 K 
P  500  50d 2
F  25 10d1  2.5d2
L’insetticida riduce i predatori
e aumenta le prede nocive !
Piano delle fasi in assenza di insetticida
45
40
35
formica
30
25
20
15
10
5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
processionaria
In assenza di insetticida le due popolazioni raggiungono l’equilibrio
(500, 25)
Problema della processionaria e della Formica rufa
in assenza di insetticida
1000
900
processionaria
formica
800
densità
700
600
500
400
300
200
100
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
tempo
Dopo un iniziale incremento della preda, l’intervento del predatore porta
ad una diminuizione della preda che si assesta all’equilibrio (500)
Piano delle fasi
25
formica
20
15
in presenza di insetticida
10
5
0
380
400
420
440
460
480
500
520
540
560
580
processionaria
Applicando l’insetticida il numero dei predatori diminuisce
Nel lungo periodo si assiste ad un aumento della preda nociva
Problema della processionaria e della Formica rufa
in presenza di insetticida
600
Nel breve periodo
l’insetticida sembra
efficace e capace di
eliminare rapidamente
la preda infestante.
500
densità
400
processionaria
formica
300
Il crollo parallelo del
predatore permette
alla popolazione
preda di riprendersi,
superando la densità
iniziale.
200
100
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
tempo
Efficacia iniziale
Valutazione errata
sull’utilità dell’insetticida
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Sistema
%
Lotka Volterrra Logistico
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function F=Proc(t,z)
global m alpha D Beta K d1 d2
F(1)=m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1)-d1*z(1);
F(2)=-D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)-d2*z(2);
F=F';
return