PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE
O
INTEGRALE INDEFINITO
1. DEFINIZIONE DI PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE
2. L'INSIEME INFINITO DELLE PRIMITIVE
3. INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI E FONDAMENTALI
4. PROPRIETA' DI LINEARITA' DELL'INTEGRALE INDEFINITO
5. ALCUNI IMPORTANTI METODI DI INTEGRAZIONE
a. Integrazione per sostituzione
b. metodo “per parti”
c. Integrazione delle funzioni razionali fratte
1
1. DEFINIZIONE DI PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE
Definizione: data una funzione f(x), definita in un intervallo I  R, diciamo che una funzione F(x)
definita pure in I, è primitiva della funzione f(x) sull'intervallo I, se F(x) è derivabile in I, con
F'(x) = f(x) , x I
e si scrive:


F
x
fxdx
Si legge: integrale indefinito della f(x) in dx ; f(x) è la funzione integranda e dx è il differenziale
della variabile indipendente x.
Per
esempio
:

14
3
x
dx
x
4
1
dx
x
2x

1 4 3
perchè
D
 xx
4 
1
perchè
D x
2x
 
1 4  3
N.B
:anche
D
cx 
c
R
 x
4

1
N.B
:anche
D x
c

c
R
2x


Osserva
che
se
una
funzione
ammette
una
primitiva,
allora
ne
ammette
infinite
esiscrive
:
xc
F
fxdx
Questo
importante
concetto
viene
spiegato
dal
seguente
teorema
:
2
2. L'INSIEME INFINITO DELLE PRIMITIVE
Teorema : se F(x) e G(x) sono due primitive di f(x) sull'intervallo I, allora esiste una costante c  R tale che
F(x) = G(x) + c x ( F(x) - G(x) = c ).
Dimostrazi
one
:consideria
mo
e
x

x
I,
con

x
e
la
funzione
x
H(x)

F(x)
G(x)
;
1
2
1
2

 che
per
il
teorema
di
Lagrange

almeno
un
punto

x
x
;
x
tale
0
1
2


H(x
)

H(x
) '
'
'
2
1





H
x

F
x

G
x

f
x

f
x

0

x
e
x

I

H(x)
è
costante


x
I
,
e
F(x)
G(x

c.
0
0
0
0
0
1
2
x

x
2
1
Dal
teorema
segue
che
se
una
funzione
ammette
in
un
intervallo
I
come
primitiva
la
funzione
F(x),
allora
ne
ammette
infinite,
che
si
ottengono
tutte
aggiungend
o
alla
F(x)
una
qualunque
costante
c.
Teorema: una funzione f(x) continua nell'intervallo I, ammette primitiva in tale intervallo.
3
3. INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI E FONDAMENTALI
 dx   1dx x  c
1
2. xdx  x  c
 2
1.
2
3.

x dx 
4.

1
dx  ln x  c
x
5.
 a dx  a
1  1
x c
 1
x
x
6.
7.
8.
9.
10.
Dx  c  1
perchè
1

D x2  c   x
2

 1  1  
D
x  c  x
  1

1 1
x  0 : Dln x  c 

x x
Dln x  c 
1
x  0 : Dln x  c 
x
con   R   1
perchè
con a  R 0 - 1
loga e  c
in particolare
perchè
 e dx  e
x
x
perchè
perchè


D a x loga e  c  a x
c
perchè D cos x  c  senx
 senxdx   cos x  c
perchè Dsenx  c  cos x
 cosxdx  senx  c
1
1
dx  1  tg xdx  tgx  c
perchè Dtgx  c 
 1  tg x
 cos x 
cos x
1
1
dx  arcsenx c
perchè Darcsenx c 
 1 x
1 x
2
2
2
2
2

1
dx  arctgx c
1  x2
2
perchè
Darctgx c 
1
1  x2
4
4. PROPRIETA' DI LINEARITA' DELL'INTEGRALE DEFINITO
Teorema
: sianof(x)e g(x)duefunzioni
cheammettono
primitive
nell'
intervallo
I , alloraα,βR si ha:
αfxβgxdxαfxdxβgxdx
 perla dimostrazi
onebastaosservare
cheDfxdxfx 
Dimostrazi
one:


Dαfxβgxdx αfxβgx, maanche






Dαfxdxβgxdx αDfxdx βDgxdx αfxβgx
c.v.d.
Ovviamente
il teorema
si estende
ad n funzioni.
Esempi
:
5

infattiD x2 c  5x
2

3
3xdx20cosxdx
3xdx20senx
 x2 c
20cosx
2
1
5xdx5xdx52x
2
c
2x 5x3dx2x dx5xdx3dx 3x
2
2
2
273
x

11 x dx273
7
3
3
3


infattiD20senx
 x2 c 20cosx
3x
2


3
dx11 x7dx273xlog3e11
x

5
2

infattiD x3  x2 3xc 2x2 5x3
2
3

5
 x2 3xc
2
3
1 71
77
x c 273xlog3e 7 x10 c
3
10
1
7
5
infatti
...
5.a INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
1° CASO
Ricordare la definizion e di differenzi ale di una funzione f(x) : df x   f ' x dx .
t   x 

Se la funzione integranda è del tipo f φx  φ' x  si procede con la seguente sostituzio ne : 

'
dt   x dx 
t   x 

f φx  φ' x dx  
  f t dt  Ft   c  F x   c
'


dt


x
dx




metodo sintetico :
Esempi notevoli :
1.
f
 f φx φ xdx  f φx dφx  F x  c
'
 si effettua sempre
la sostituzio ne indicata o si applica il metodo sintetico 
x  f ' x dx   t αdt 
1 α 1
1
f x α 1  c (α  -1)
t c
α 1
α 1
t  senx 
1 4
1
3
4
es. : sen3 x  cosxdx  
  t dt  4 t  c  4 sen x  c
dt

cosxdx


α


1
 sen x  cosxdx   sen x  dsenx  4 sen x  c
3
2.
3
4
 f xf xdx   t dt  ln t  c  ln f x  c
1
es. :
'
1
t  cosx

 tgxdx   cosx dx  dt  senxdx   t dt  ln t  c  ln cosx  c
senx
1
 tgxdx   cosx dx   cosx dcosx   ln cosx  c
senx
1
6
3.
a
es. :
4.

f  x dx  a t dt  a t log a e  c  a f x log ae  c
f x  '

e

e
t  x


  2 e t dt  2e t  c  2e
dx  
1
dt 
dx 
x

2 x 
x
x
x

 

dx  2 e x d x  2e
x
x
c
c
 senf x f xdx   sentdt  -cost  c  -cosf x  c
t  x
 1
1
1
es. : x  cosx dx  

costdt  sent  c  senx



2
2
dt  2xdx  2
'
2
2

5.

x  cosx2dx 
es. :
c
 

1
1
cosx2d x 2  senx2  c
2
2
1
f ' x dx 
cos f x 
2
2

1
dt  tgt  c  tg f x   c
cos 2 t
t  3x  7
7
1
7
7
dx  

dt  tgt  c  tg3x  c

2
2
cos 3x
3
3
dt  3dx  3 cos t


7
7
1
7
dx 
d3x   tg3x  c
 cos 3x 3  cos 3x
3
2
2
7
6.

1
f ' x dx 




sen f x
2
es. :

1
dt  cotgt  c  cotg f x   c
sen2 t
t  2x - 1  4
4
1
dx  

dt  2cotgt  c  -2cotg 2x - 1  c

2
sen 2x - 1
dt  2dx  2 sen t


4
4
1
dx 
 sen 2x - 1 2  sen 2x - 1 d2x - 1  2cotg2x - 1  c
2
2
7.

1
1 - f x 
2
es. :


8.

2
f ' x dx 

1
1 - t2
dt  arcsent  c  arcsenf x   c
t  lnx 
1
  5
dx  
dt  5arccost  c  5arccos ln x   c
1
2
dt  dx 
x 1 - ln x
1 - t2
x 

-5
1
dx  5
d ln 2 x  5arccos ln 2 x  c
2
2
x 1 - ln x
1 - ln x

-5






1
1
f ' x dx 
dt  arctgt  c  arctg f x   c
2
1  f x 
1  t2
es. :
t  senx

cosx
1
dx  
dt  arctgt  c  arctg senx  c

2
2
1  sen x
dt  cosxdx 1  t


cosx
1
dx 
 1  sen x  1  sen x dsen x  arctg sen x c
2
2
2
2
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
2° CASO
Individuo nella funzione integranda una funzione interna φx  invertibil e, derivabile e con φ ' x   0 x  I,
 t  φx   x  φ 1 t 
quindi si procede con la sostituzio ne : 

1
'
dx  φ t  dt



Esempi :
1.
 t  x  x  φ 1 t   t 2 
x
t
t2
t 2 1 1
1


dx


2
tdt

2
dt

2
dt  2  dt  
dt  


2
2
2
2
 1 x



'
1 t
1 t
1 t
1 t


dx  φ 1 t  dt  2tdt 




 2t  arctgt   c  2 x  arctg x  c
2.
3.


ex
1  e 2x
 t  e x  x  φ 1 t   lnt 
t 1

dx  
dt  arcsent  c  arcsene x  c
'
1


1
2 t
dx  φ t  dt  dt 
1 t


t


 t  1  x  x  φ 1 t   t 2  1
x
t 2 1
2
2
dx  

2
tdt  2  t 2  1 dt  t 3  2t 


'
t
3
3
1 x
dx  φ 1 t  dt  2tdt





1  x 3  2
9
1 x  c
x
x 

2tg
1  tg 2 

2 ; cosx 
2
senx 

x
x
1
1
2
2
1  tg 2
1  tg 2   
4. 
dx  

dt  
dt 
2
2
2
2
2 
3senx  4cosx

2t
1 t 1 t
 4t  6t  4
3
4


x
2
2
2
dt 
 t  tg ; x  2arctgt; dx 
1 t
1 t
2
1 t2 

 
1
1 1
1
1

dt  *    
dt  2 
dt    ln t  2  ln 2t  1   c 
2t  3t  2
5 t2
2t  1 
5
2
x
2tg  1
1 2t  1
2t  1
2
 ln
 c  ln 5
 c  ln 5
c
x
5
t-2
t-2
tg - 2
2




2
A

A  Bt   2B A  B; A 



1
1
A
B
1

5
2


* f x   2 1

 

 
A
2
2t  3t  2
 1  2  t  2   1   2
 1


t  2 t  
2t  2  t  
t  

 2  2B  1; B   5 
 2
 2 
 2


1 1
1 

f x   

5 t2 t 1 


2

10
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
3° CASO
Sostituisc o alla variabil e indipenden dente della funzione integranda un' opportuna funzione φt  invertibil e, derivabile
 x  φt  
e con φ ' t   0 t  I, quindi si procede con la sostituzio ne : 

'
dx  φt  dt 
Esempi :
1.
 x  φt   sent  t  arcsenx 
2
2

dx
x

1
   1  sen t  costdt   cost  costdt 

'


dx  φt  dt  costdt
NB   cos 2 t dt   1  cos2t dt  1  dt   cos2t dt  1  t  1 sen2t   c  1 t  sent  cost  
2
2 2
2
2

1
1
 t  sent 1 - sen 2t  arsenx  x 1  x 2  c
2
2



NB : Df   1;1 ,
2.
 

che è anche il dominio di t  arcsenx, con t  - π2 ; π2  , quindi con cost  0.



x  t 2  t  x 
1
t 11
t
dx


dt   2t  ln 1  t   c  2 x  ln 1  x  c
dt  2   dt  
dt  2

  2
 1  x dx  2tdt
1 t 
1 t
1 t


11
5.b INTEGRAZIONE PER PARTI
Ilmetodo
dell'
integrazio
ne"per
parti"
siapplica
quando
lafunzione
integranda
è deltipo
"f'xgx", con
f(x)
e g(x)
due
funzioni
continue
ederivabili
in
I.
f'x

fattore
derivato
; gx
fattore
finito


'




f
x

primitiva
del
fattore
derivato
;
g
x

derivata
del
fattore
finito




f xgxdxfxgxfxgxdx
'
'
fxgxf'xgxfxg'x f'xgxD
fxgxfxg'x
Dimostrazi
one
: D



fxgxdx
quindi
integrando
siha f'xgxdx
 D
 fxg'xdx
f xgxdxfxgxfxgxdx
'
'
Esempi
:
n


N.B.
Per
le
funzioni
integrande
del
"
tipo
f
x
x
"
di
solito
conviene
considerar
e
fattore
finito
le
funzi
inv
x
come
log
x,
arcsenx
...
,
mentre
conviene
considerar
e
come
fattore
derivato
le
funzion
dirette
a
,
senx
...
.
a
 



1
'
'





1
.lnx
dx

x
lnx
dx

xlnx

x
lnx
dx

xlnx

x
dx

xlnx

dx

x
ln
x

1

c
x
12





x
1
2. arctgx
dx
 x' arctgx
dx
xarctgx

dx
xarctgx
 ln1x2 c
2
2
1x
fd ff
(A)
A


t x2  1 1
x
1
1


dx


dt

ln
1

t

c

ln1x2 c


2
2
2
1x
dt2xdx
 2 1t



  



2x
x
x
x
3. x2exdx
x2ex  2x
exdx
x
e 2xe
 exdxx2ex 2xe
2e
cex x22x
2c
ff fd


1

4. x21lnx
dx
 x3xlnx

ff
3


fd

1 3 1
1

 x3xlnx

 x x dx
3
x
3






1
1 2 
1

 x3xlnx
 x3xc
 x 1dx
9
3

3






5. excosx
dx
senx
ex  senx
exdx
senx
ex cosx
ex  cos
xexdxsenx
ex cosx
ex cos
xexdx
ff fd

fd
ff

quindiexcosx
dx
senx
ex cosx
ex cos
xexdx, dacui


1
c
2 excosx
dx
senx
ex cosx
ex c  excosx
dx
 exsenx
cosx
2
13
5.c INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
1.
2.


1
1
dx lnaxbc
axb
a

1
dx*
2
axbxc
es.
:
1
1
dx ln2x3c
2x3
2
sipresentano
3casi
:
2
a. Δ0ax
bxcax-x1xx2 fx1
a

 A
1
B 
1

x-x1xx2 ax-x1 xx2

* 1 A dx B dx1Aln
xx1 Bln
xx2c
x-x2  a
a x-x1
 -1
1
1 
x2


dx

#


dx


ln
x

1

ln
x

2

c

ln
c
x1 x2
2
x1
x 3x2


# x23x2x1x2; fx 1  A  B ABx2AB
x1x2 x1 x2 x1x2

es.
:

AB0 A1
-1
1

 fx


-B1 B1
x1 x2
-2A
14
b. Δ0ax2 bxccxd2  fx
1
cxd2
t cxd
 1 1
1
1
*  1 2 dx

dt



k


k

2

ct
ccxd
cxd
dtcdx c t
t 2x3 1 1
1
1
1
1
dx

dx


dt



c


c
dt2dx 2 2
2
2
2t
22x3
4x -12x
9
t
2x3



es.
:


c. Δ0sideve
ragionare
nell'
insieme
deinumeri
complessi
CRC;CRI,
introducen
dol'unità
immaginari
a iI, tale
chei2 1,o anche-1i;
in tale
contesto
lesoluzioni
dell'
equazione
ax2 bxc0 sono
i duenumeri
complessi
coniugati
z1,2min, con"m"detta
parte
reale
e "in"parte
immaginari
a
deinumeri
complessi
z1,2, quindi
il trinomio
"ax2 bxc"siscompone
così
:
ax2 bxc  axz1xz2  axminxmin
-1 18 -1 7 -1 17 -1 1 7 1
7
es.
:2x2 x10; z1,2



 i
4
4
4
4
4 4
1
7
1
7
z1,2min i
 m parte
reale
; n
coeff.
della
parte
immaginari
a.
4 4
4
4
15
:
modo
nelseguente
iamo
fx e la trasform
integranda
funzione
alla
Torniamo


2
bxcaxminxminaxminxminaxm2n2 
ax

1
an
 1 fx
2 
n



m

x




2


an

 1
n
 




2

2 xm
 xm
t  n  n 1
xm
1
1
1
1
*  2
c
arctg

c

arctgt

dx


dx


2 2
2
n
an
an
an xm
dt1dx an t 1
1





 n 
 n 


1

1


m



x
4x1
1
4 4
4 2 arctg

c
arctg


dx
:
es.
2


7
7
7
2xx1
7 27
n 
4

4

16
3.

cxd
α2ax bβ
2ax b
β


dx

*

dx

α
dx

dx
ax2  bxc
ax2  bxc
ax2  bxc
ax2  bxc
β
 αlnax2  bxc 
dxc
2
ax  bxc




 
c

α 
* Dax bxc  2axb  cxd α2axbβ  cxd  2aαaαbβ   2a

β  d αb

es.:


2
1
8x44
2x3
1
8x4
4
4
dx* 
dx
dx
dx
2
2
2
2
4 4x 4x1
4x 4x1
4x 4x1
4x 4x1



(A)
(B)
1
2
 ln4x2 4x1 
c
4
2x1


t  4x2 4x1 1 1
1
1
(A) 
dt lntc  ln 4x2 4x1 c

4
4
dt8x4dx 4 t
t  2x1 4 1
4
2
2
2
(B) 
dx


dt

2
t
dt


c

c
dt 2dx 2 2
2
t
2x

1
t
2x-1






 1
8α  2
α 
* D4x 4x1 8x4  2x3α8x4β 8α x4αβ 
 4
4α β 3 β 3 4α  4

1
8x 44
1
4
2x3 8x 4 4  f x  2
4
4x 4x 1

2

17
4.

cxn  dxn-1 ... k
dx con n  2
ax2  bx c
* 

 Qxdx
cxn  dxn-1 ... k
Rx
* f x 



Q
x

ax2  bx c
ax2  bx c
es.:




Rx
dx
ax2  bx c

 
x4  4x2 1
16x1 
16x1

2
2


dx

f
x

x

2x

8


x

2x

8
dx

dx

x2  2x
x2  2x
x2  2x
A
1
33
1
 x3  x2 8x  ln x  2  ln x  c
3
2
2
A Dx2  2x 2x 2  16x1 α2x 2β

2α 16; α  8
 16x1 2α x 2α β 
 2α β 1; β 17
16x1
82x  2 17
2x  2
1
dx

dx

8
dx

17
dx
x2  2x
x2  2x
x2  2x
x2  2x

 8lnx2  2x 
B


B
17
lnx  2 lnx  33lnx  2  1lnx  c
2
2
2
 1
1
1 
1 1
1 1
1
1


dx

#



dx


dx



ln
x

ln x  2  c
 2x 2x  2
2
x
2
x

2
2
2
x2  2x


1

A 

A B  0 
2
# 2 1  1  A  B  Ax 2A Bx A Bx  2A  

xx  2
xx  2
x  2x xx  2 x x  2
 2A 1 B  1


2




18