TEORIA
RAPPRESENTAZIONALE
DELLA MISURA
E’ la teoria che tratta in modo
formale il passaggio dal mondo
empirico delle osservazioni a
quello delle rappresentazioni
numeriche delle quantità
misurabili
Il punto di partenza è avere già
definito nel mondo empirico le
quantità della stessa specie e le
relazioni empiriche che
permettono di ordinare le
quantità misurabili secondo la
grandezza della qualità
Indichiamo, per il seguito, con Q
l’insieme delle quantità della
stessa specie e con R l’insieme
delle relazioni empiriche tra di
esse.
Q = {q 1, q 2, q 3, q 4,……, q x,
………}
R = {R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 ,
………..}
Tramite l’insieme Q e la classe
delle relazioni R definite su Q
posso formare il sistema
relazionale empirico:
Q = < Q, R >
Le relazioni R intuitive sono,
tutte o in parte, le seguenti:
relazione di indistinguibilità o
equivalenza simbolo ~
relazione di transizione empirica
simbolo 
relazione di combinazione
empirica simbolo 
relazione di indistinguibilità o
equivalenza ~
permette di ritenere equivalenti
tra loro due manifestazioni della
qualità per cui sarà attribuito loro
lo stesso numero in una
operazione di misura
Nel caso di un insieme
relazionale numerico la relazione
di equivalenza è espressa con il
simbolo =
relazione di transizione empirica

Permette di mettere in ordine le
quantità della stessa specie
In un sistema relazionale
numerico corrisponde al simbolo
< o al simbolo >
Ad un insieme di quantità
misurabili della stessa specie
corrisponde sempre un insieme di
relazioni formato dalla relazione
di indistinguibilità e da quella di
transizione empirica
Un insieme di quantità misurabili
in cui è definita solo la relazione
di indistinguibilità non
costituisce un insieme di quantità
della stessa specie
relazione di combinazione
empirica 
E’ la relazione che permette di
combinare tra loro le quantità e
quindi di formare una scala di
misura estensiva
In un insieme relazionale
numerico corrisponde
all’operatore di addizione +
Il sistema relazionale empirico
< Q , ~ ,  ,  > ha la stessa
struttura e le stesse proprietà di
un sistema relazionale numerico
<Re , = , < , + > in cui Re è un
insieme di numeri reali
Per costruire una teoria
rappresentazionale della misura
occorre:
1. definire un sistema relazionale
di numeri
2. Avere una condizione di
rappresentazione che mappi il
sistema relazionale empirico in
quello numerico
3. Una condizione di unicità
Punto 1
Definiamo con N una classe di
numeri (per esempio quelli
naturali) e indichiamo con P un
insieme di relazioni definite su N.
P = {P1 , P2 , P3 , …………}
L’insieme N = < N, P >
rappresenta un insieme
relazionale numerico
Punto 2
La misura stabilisce una
corrispondenza tra le
manifestazioni q i ed i numeri N i
in modo tale che le relazioni tra
le manifestazioni R i implichino e
siano implicate dalle relazioni Pi
tra le loro immagini nell’insieme
dei numeri
Formalmente occorrono:
una operazione empirica obiettiva
M:QN
che proietta l’insieme Q
sull’insieme N
Una proiezione F di R in P
F : R  P (proiezione uno a uno)
Questo significa che Pi = F (R i ) ;
Pi  P , R i  R
In questo modo Q è mappato in N
.
Abbiamo a che fare con una
trasformazione omomorfica nel
senso che per tutti gli R i  R e
tutti i Pi  P , con Pi = F (R i ), si
ha che
R i (q 1, q 2, q 3, q 4,……) 
Pi [M(q 1), M(q 2), M(q 3), M(q 4),
….]
La corrispondenza tra R e P è
biunivoca
La proiezione M tra Q ed N non è
biunivoca
a manifestazioni distinte della
qualità, ma tra loro indistinguibili
deve corrispondere lo stesso
numero (condizione di
rappresentazione)
Il sistema
S = <Q , N , M , F >
costituisce una scala di misura.
L’immagine di q i in N
(ossia n i ), ottenuta tramite
l’operazione di misura M, è
chiamata la misura di q i in scala
S.
Punto 3 Condizione di unicità
La condizione di unicità è
rispettata quando lo è quella di
rappresentazione.
La mappatura M può essere fatta
in diversi modi e da qui deriva
che si possono realizzare diverse
scale.
Nasce quindi il problema delle
trasformazioni di scala, ossia
quali sono le trasformazioni
ammissibili.
La condizione di unicità limita la
classe delle trasformazioni di
scala a quelle per cui è valida la
condizione di rappresentazione.
Costruzione della scala di misura
estensiva
Prendiamo un oggetto dello
spazio  con manifestazione
s1Q
Scegliamo questo oggetto come
standard e assegnano alla sua
qualità il valore numerico 1
(operazione di misura M)
Questa è l’unità di misura della
scala, la scelta è del tutto
arbitraria.
Prendo un altro oggetto che abbia
la qualità s ' 1 appartenente
all’insieme Q, tale da essere
indistinguibile da s 1
a s ' 1 attribuisco sempre come
misura il valore 1.
Costruisco lo standard
s 2 = s 1  s ' 1 e gli attribuisco
come misura il valore 2
Standard frazionali possono
essere generati costruendo
s½,s'½Q
tali che s ½  s ' ½ ~ s 1
ed assegnando a s ½
il valore ½
Non è sempre possibile avere un
sistema relazionale empirico
ordinato con la proprietà
dell’operatore di combinazione.
Esistono delle situazioni meno
complete per le quali si può
comunque definire una scala, ma
non di tipo estensivo
Scala di confronto
E’ definita la sola relazione di
equivalenza
Esempio: scala dei colori
Si sceglie un certo numero di
oggetti colorati come standard,
ciascuno con una manifestazione
distinta di colore e ad ognuno di
essi si attribuisce un numero o
una etichetta.
Una qualsiasi manifestazione di
colore incognita è confrontata
con gli standard.
Se uno di essi si accorda, alla
manifestazione incognita si
assegna lo stesso numero o
etichetta dello standard.
L’espressione “si accorda”
esprime la relazione di
equivalenza
Le scale di confronto non sono
considerate in genere scale di
misura in quanto non permettono
valutazioni quantitative.
Non è inoltre possibile stabilire
un sufficiente numero di elementi
dello standard in modo da
assicurare che ogni q i  Q possa
trovare un elemento standard di
confronto e possa avere assegnata
una misura.
Scale di ordinamento o di rango
Si è in presenza di un sistema
empirico ordinato (quantità della
stessa specie)
<Q,~,>
Su di esso si sceglie l’insieme
standard di oggetti che hanno
s i  Q e sono posti in una serie
ordinata S= {s 1 ,...., s n }
I numeri sono assegnati a ciascun
s i in modo che si ha un sistema
numerico ordinato corrispondente
all’ordine degli standard a cui i
numeri sono attribuiti.
Ogni q  Q può essere
confrontato con gli elementi di S
Se q ~ s i , gli viene assegnato lo
stesso numero dello standard.
Se non c’è equivalenza si può
determinare tra quali standard
trova collocazione
Esempio: Scala Mohs delle
durezze.
Dieci minerali sono assunti come
standard in ordine crescente di
durezza:
talco, gesso, calcite, fluorite,
apatite, ortoclasio, quarzo,
topazio, corindone, diamante
Ad essi è assegnata la sequenza
di numeri da 1 a 10
Se un minerale sconosciuto non
graffia il quarzo e non può essere
graffiato da lui gli si attribuisce la
durezza 7.
Se non graffia il quarzo, graffia
l’ortoclasio, non è graffiato
dall’ortoclasio allora è di durezza
intermedia tra 6 e 7.
Trasformazioni di scala
Le classi di trasformazioni
ammissibili sono quelle che
mantengono la relazione di
omomorfismo
M numeri che rappresentano
misure nella scala di partenza
M’ numeri corrispondenti nella
scala trasformata
Trasformaz Nome
ione
M' =  M
 >0
Tipo scala
similare rapporto
M' =  M+ affine
 e >0
intervallata
Trasform Nome
azione
Tipo scala
M' = M  di potenza derivata
e>0
M' = F(M) monotona
F funzione crescente
monotona
crescente
ordinale
Trasform Nome
azione
Tipo scala
M' = F(M) uno a uno
F
sostituzion
e punto a
punto
nominale
Esistono casi in cui la qualità in
esame non consente di costruire
una scala estensiva perché non è
definita l’operazione di
combinazione empirica
Esempio: densità = massa /
volume
possediamo la scala estensiva
della massa e quella del volume
E’ possibile costruire una scala
estensiva della densità
utilizzando le scale delle
grandezze associate (massa e
volume)
Le misure delle grandezze
associate costituiscono un vettore
ordinato a cui si fa corrispondere
un valore della grandezza sotto
misura.
Esempio d1 corrisponde al vettore
(m1 , V1 ) , d2 corrisponde al
vettore (m2 , V2 ) e così di
seguito
Se si verifica che manifestazioni
della qualità sotto misura hanno
lo stesso vettore delle misure
delle qualità associate
componenti se e solo se sono
indistinguibili, possiamo
affermare che l’insieme delle
misure componenti caratterizza la
qualità sotto misura.
Formalizzazione del problema
Qo = < Qo, Ro > è il sistema
relazionale empirico su cui
vogliamo definire una scala
estensiva So utilizzando le qualità
associate, logicamente
indipendenti, che formano i
sistemi relazionali empirici
{Q1 , Q2 , Q3 ........}
per ognuno dei sistemi Qi esiste
già definita una scala di misura
estensiva S1
Si = <Qi , Ni , Mi , Fi >
Ipotesi
ad ogni manifestazione qo  Qo
corrisponde uno ed uno soltanto
elemento vettoriale
q = < q 1, ......., q n > appartenente
all’insieme prodotto dei Qi
Di ogni q i ho la misura, tramite
l’operatore M i , posso perciò
definire il vettore operatore
M (q o ) = < M 1 (q 1 ) , M 2 (q 2 )
, ......, M n (q n ) >
Proprietà di indistinguibilità
deve essere verificato che per
ogni q’ o  Qo tale che q’ o ~ q o
deriva che M’ (q o ) = M (q o ) e
viceversa
In tal caso si può affermare che
M (q o ) caratterizza q o
Ogni operatore M i (q i ) definisce
un corrispondente numero
nell’insieme numerico N i ,
l’operatore M (q o ) è stato solo
definito tramite il vettore
ordinato, ma non è stata ancora
stabilito il procedimento con cui
assegnare il numero n o
appartenente all’insieme
numerico N o
Supponiamo che esista un
operatore  che faccia
corrispondere ai punti
dell’insieme prodotto, formato
dagli N i , punti dell’insieme
numerico N o
n n =  (M 1 (q 1 ) , M 2 (q 2 ) ,
......, M n (q n ) )
Tramite questo operatore posso
definire la mappatura M o da Qo a
No
Nel sistema relazionale empirico
Qo = < Qo, Ro > sono definite
anche le relazioni empiriche tra le
qualità.
Sull’insieme numerico N o devo
definire un insieme di relazioni
Po tali che corrispondano a quelle
empiriche. Occorre pertanto
stabilire la mappatura biunivoca
Fo : Ro  Po
In conclusione, se Mo , Fo
costituiscono una mappatura
omomorfica dell’insieme
relazionale empirico Qo = < Qo,
Ro > sull’insieme relazionale
numerico No = < No, Po >
possiamo definire la scala di
misura estensiva indiretta
Si = <Qo , No , Mo , Fo >
Le scale indirette possono essere
applicate anche al caso in cui
sarebbe possibile creare
direttamente la scala estensiva
della grandezza in esame, ma è
opportuno non farlo in modo da
avere un ridotto numero di
grandezze fondamentali (sistema
di unità di misura)
Esempio: la velocità è legata alle
grandezze fisiche spazio e tempo.
Supponiamo note le scale con cui
sono misurate le grandezze
spazio e tempo e costruiamo la
scala della velocità.
Abbiamo il sistema relazionale
empirico Vo = < Vo, Ro > ,
abbiamo gli insieme numerici N1
e N2 relativi alle scale dello
spazio e del tempo, occorre
stabilire la mappatura 
La funzione più naturale da
assumere è quella del rapporto,
ma nulla vieterebbe di prenderne
un’altra, ad esempio il suo
quadrato.
Otterrei ugualmente un sistema
ordinato e una scala di misura
valida, complicherei però la
funzione Fo che ha lo scopo di
stabilire la corrispondenza tra le
relazioni del sistema empirico e
quello numerico.