Quadrati Magici
Tesina di
Cristina Colautti
4aB - Tur
A.S. 2005-/06
I quadrati magici
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Introduzione all’argomento
 Che cos’è un quadrato magico
 Caratteristiche basilari
Tipi di quadrati
 Magici e semimagici
 Panmagici
 Bimagici e trimagici
 Quadrato latino
 Personaggi citati in questa parte
Storia
 Origini
 Il caso “Melancolia” di Dhürer
 Sagrada Familia
 I personaggi citati nella parte
Conclusioni
 È solo matematica?
 Chiusura
Cos’è un quadrato magico
Un quadrato magico è un quadrato suddiviso in un certo
numero di caselle e nel quale un numero componente la
serie aritmetica corrispondente al numero delle caselle
viene scritto una sola volta e in modo tale che la somma di
ciascuna riga, di ciascuna colonna o di ciascuna diagonale
sia sempre la stessa.
Il risultato del quadrato magico è chiamato chiave del
quadrato.
I numeri utilizzati per formare un quadrato magico sono
quelli naturali 1,2,3,4,5…
Caratteristiche basilari
I quadrati magici costruiti con i numeri hanno le seguenti
caratteristiche:
1. Sono formati da un minimo di tre caselle per lato (non esistono
quadrati magici con due caselle per lato e quelli costituiti da una sola
casella non sono, ovviamente, interessanti);
2. I numeri che vengono utilizzati per riempire le caselle devono
essere in una sequenza (si utilizzano ad esempio i numeri da 1 a 9, da
1 a 16, oppure anche da 0 a 15, e così via) e non possono essere
ripetuti;
3. I numeri della sequenza devono essere disposti nelle caselle in
modo che la somma di ciascuna riga, la somma di ciascuna colonna e
la somma di ciascuna diagonale diano come totale un valore sempre
identico.
Il numero di righe e di colonne si chiama ordine del
quadrato (per esempio un quadrato formato da 3 righe e
3 colonne è un quadrato magico di ordine 3 oppure un
quadrato formato da 4 righe e 4 colonne è un quadrato
magico di ordine 4 e così via..)
La costante magica, o semplicemente costante, è invece
il totale della somma a fine colonna o a fine riga o a fine
diagonale.
La costante del quadrato magico vale:
k= ((n2+1)/2)*n
dove n sta per il numero delle caselle per lato.
Quadrato di ordine 3, 4 e dispari
In un quadrato di ordine 3, ad esempio, la
costante è pari a 1/2*(27+3)=15
In un quadrato di ordine 4, ad esempio, la
costante è pari a ((16+1)/2)*4=34.
Nei quadrati magici di ordine dispari (3, 5, 7 e
così via) la costante è sempre uguale alla metà
della somma tra il valore dell'ordine elevato al
cubo e il valore dello stesso ordine.
In pratica: k=1/2*(n3+n)
Tipi di quadrati
Esistono molti tipi di quadrati magici: i
più noti sono quelli realizzati con i numeri,
ma se ne possono inventare anche con le
lettere dell'alfabeto un esempio è il quadrato
pompeiano (o “latercolo latino”).

Magici e semimagici
Questo è un esempio di un quadrato
magico di ordine 3 e la sua costante
magica è 15.
2
7
6
9
5
1
4
3
8
Un quadrato è detto semi-magico se sono uguali soltanto
i totali delle righe e delle colonne.
I quadrati magici 3 per 3 e 4 per 4 non sono ovviamente
i soli possibili: anzi, modificandoli appropriatamente ed
aggiungendo loro dei bordi si possono ottenere quadrati 5
per 5 e 6 per 6, da cui si possono poi ottenere quadrati 7
per 7 e 8 per 8, e cosi via. In altre parole, quadrati magici
n per n esistono per ogni n maggiore di 2.

Panmagici
Oltre alle diagonali principali, che nel caso dell'esempio
sono le terne (2, 5, 8) e (6, 5, 4), si possono considerare
anche le diagonali spezzate, vale a dire (7, 1, 4); (6, 9, 3);
(2, 1, 3) e (7, 9, 8). Così, un quadrato magico si dice
panmagico o pandiagonale se anche la somma di ogni
diagonale spezzata è uguale alla costante del quadrato
magico.
Il quadrato magico di ordine 3
1
8
10 15
mostrato nella diapositiva prima
12 13 3
6
non è panmagico, mentre quello a fianco
7
2
16 9
di ordine 4, è panmagico di costante 34.
14 11 5
4

Bimagico e trimagico
Un quadrato magico si dice bimagico, o
doppiamente magico, se rimane magico anche
dopo aver sostituito i suoi elementi con i rispettivi
quadrati; analogamente si dice trimagico se
rimane magico dopo averne sostituito gli elementi
con i rispettivi cubi.

Tipo latino
Il quadrato latino, un "parente" lontano
del quadrato magico, è un quadrato che ha
per elementi gli interi 1, 2, ..., n (o qualunque
altro gruppo di n numeri distinti), ciascuno dei
quali ripetuto n volte, disposti in modo che gli
interi di ogni fila e di ogni colonna siano tutti
distinti. Così sono esempi di quadrati latini.
Se si sovrappone il secondo sul primo,
mantenendo lo stesso ordine di ciascuno, si
ottiene il quadrato di coppie in cui nessuna
coppia si ripete.
Un quadrato di coppie senza ripetizioni,
come quello in figura, si chiama quadrato di
Eulero, dal nome del matematico svizzero
Leonhard Euler, o quadrato greco-latino.

Personaggi citati in questa parte
Leonhard Euler
Nonostante i problemi alla vista che lo afflissero fin dalla giovane
età, Eulero fu un grande matematico, il cui contributo andò sia alla
disciplina pura che a quellla applicata. Oltre che di algebra,
trigonometria e calcolo infinitesimale, si occupò infatti anche di
acustica, meccanica, astronomia e ottica.
Storia
Origini
Sembra che i primi a scoprire le proprietà dei quadrati magici siano stati i
cinesi
ai
tempi
della
dinastia
Shang,
nel
duemila
a.
C.
Una curiosa leggenda narra che un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo, un
affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli
strani segni geometrici. Il pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i
matematici al suo servizio studiando quei segni, scoprirono una imprevedibile
struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o
diagonale. Lo Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò uno
dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della
Matematica e dell’Universo.

I cinesi attribuirono alle sue
proprietà matematiche un significato
mistico, tanto da farne il simbolo che
in sè riuniva i princìpi che formarono
le cose, gli uomini e l'universo.Così i
numeri pari vennero a simbolizzare il
principio femminile dello yin, mentre
i dispari quello maschile dello yang.
Al centro vi è il numero 5 che
appartiene alle due diagonali, alla
colonna e alla riga centrali: esso
rappresenta la Terra. Tutto attorno
sono distribuiti i quattro elementi
principali: i metalli simbolizzati dal 4
e dal 9, il fuoco indicato dal 2 e dal
7, l'acqua dall'1 e dal 6 e il legno dal
3 e l’8.
I quadrati magici probabilmente giunsero in Occidente
attraverso gli Arabi.
Dal Rinascimento in poi c’è sempre stato interesse per queste figure
che, intagliate nel legno o in altri materiali, servivano come amuleti e
sono tuttora in uso in alcune regioni dell’Oriente. Nel '500 e nel '600 si
pensava che questi quadrati magici incisi su una piccola lastra
d’argento potessero servire come amuleti contro la peste.Anche il
matematico Cornelio Agrippa (1486-1535) si interessò alla costruzione
dei quadrati magici ne costruì di ordine 3,4,5,6,7,8,9. L’alone di mistero
e di magia che circonda queste figure geometriche è in parte
comprensibile se si analizzano le loro sorprendenti possibilità
combinatorie.
Agrippa di Nettesheim, Heinrich Cornelius (Nettesheim, Colonia 1486 - Grenoble 1535),
filosofo tedesco. Si dedicò a studi medici, astrologici e alchimistici, coltivando la
conoscenza dell'ebraico al fine di approfondire la dottrina della cabala. I suoi interessi,
quali traspaiono specialmente dall'opera De occulta philosophia (1533), ne fanno un
tipico esponente dell'ermetismo e della cultura magica e occultistica dell'età
rinascimentale; ma il suo pensiero si avvicinò anche ai temi dello scetticismo, che egli
introdusse nella cultura rinascimentale con l'opera De incertitudine et vanitate omnium
scientiarum (Dell'incertezza e vanità di tutte le scienze, 1530).
Il caso “Melancolia” di Dhürer
Uno tra più noti quadrati magici è sicuramente quello che compare
nell’incisione di Dürer, Melancolia: la data dell'opera è il 1514, ed è
riportata nelle due caselle centrali dell'ultima riga. Questo quadrato
veniva spesso inciso su un piatto d'argento, e regolarmente usato come
talismano contro la peste.
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16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
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Personaggi citati in questa parte
Albrecht Dürer
Dürer: Autoritratto
Un celebre Autoritratto (1498, Museo del Prado, Madrid) di Albrecht
Dürer in eleganti abiti rinascimentali. Il dipinto fu realizzato dal pittore
ventiseienne e sarà seguito da altri famosi autoritratti, con i quali Dürer
pare indagare e mettere in questione – spesso con accenti drammatici –
la sua persona, il suo ruolo sociale, il suo valore artistico.
Il caso “Sagrada Familia” di Antoni Gaudi
Si può trovare un altro esempio di quadrato magico anche nella
cattedrale “La Sagrada Famiglia” dell’architetto Antoni Gaudì a
Barcellona precisamente sulla Facciata della Passione (opera dello scultore
Joseph Maria Subirachs) dietro la statua di Giuda che bacia Gesù, oltre ad
un serpente che rappresenta il diavolo, c'era infatti la seguente tabella di
16 numeri.
E' interessante notare che la somma dei numeri di ciascuna riga, di
ciascuna colonna e di ciascuna diagonale è sempre la stessa, cioè 33 che
si riferisce all’età che aveva Cristo quando morì: ci sono infatti 88 modi in
cui quattro numeri della tabella danno come somma 33.
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1
14 14 9
11 7
8
6
5
10 10 4
13 2
3
15
Sagrada Familia, Barcellona
L'incompiuta chiesa neogotica della Sagrada Familia è il fantasioso
capolavoro dell'architetto catalano Antoni Gaudí, che l'iniziò nel 1883
e nel 1891 ne concluse le tracce generali. Nel 1908 egli pubblicò la
prima immagine definitiva del tempio, che non riuscì a portare a
termine: Gaudí perse la vita in un incidente nel 1926. Nel 1979 i
lavori nella chiesa ripresero sulla base del progetto originale,
nonostante i pareri discordi intorno al destino dell'opera, che molti
ritenevano dovesse restare nella sua forma incompleta come
monumento all'estrosità e all'audacia creativa del suo autore.
Robert Frerck/Woodfin Camp and Associates, Inc.
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Personaggi citati in questa parte
Gaudí i Cornet, Antoni (Reus, Catalogna 1852 - Barcellona 1926)
Nel 1883 l'architetto intraprese il progetto della chiesa della
Sagrada Familia la quale, sebbene rimasta incompiuta e
tuttora in fase di lenta realizzazione, è ritenuta il suo
capolavoro. Per struttura e per effetti cromatici l'edificio non
ha eguali nell'architettura europea: le forme fantasiose e le
alte guglie ricoperte di mosaici sono divenute una sorta di
simbolo di Barcellona. Fra gli altri lavori di Gaudí famosi
sono la Casa Batlló (1905-1907) e la Casa Milá (1905-1910).
Queste grandi strutture, in pietra e ferro, riducono al minimo
le linee rette e le superfici piatte tramite l'uso di aperture
arrotondate a distanza irregolare; il tetto e i balconi hanno
un andamento che richiama le onde marine.
Conclusioni
È solo matematica ?
Da molto tempo l’uomo cerca di conoscere il mondo in torno a se:
conosciuto o sconosciuto , fisico od astratto. La matematica si sa è una
scienza esatta, pertanto con essa ed in essa si cercano risultati certi, provati,
sicuri. L’uomo riversa speranze e valuta le soluzioni di ogni tipo certo che Dio,
nel creare ogni cosa, “non gioca a dadi” come esclamò Albert Ainstein.
La storia dei quadrati magici di mostra però che l’ uomo ha voluto usare i
numeri per andare oltre iniziando così a cercare nei numeri e nelle loro
combinazioni ciò che non è scritto come dimostra la scienza divinatoria della
numerologia oppure per sfuggire a ciò che non conosce.
L’uomo si distrae dalle sue ansie che ogni tanto la vita gli riserva con i
numeri giocando con essi ai vari giochi come ai quadrati del sudoku e dai
giochi in cui può sfidare la fortuna o il caso che sono coloro che a volte
scandiscono la sua stessa vita.
I quadrati magici sono un divertimento del passato? Come si è visto nella
legenda cinese, i quadrati magici nascondono qualcosa? I quadrati magici
hanno valore pratico nella vita scientifica e di tutti i giorni? La risposta a
queste domande dipende da chi si accosta a questi giochi numerici, ma una
cosa è certa; davanti ad un quadrato magico ogni persona esprimerà ciò che è
interiormente come un bravo artista dipingerà ciò che più gli sta a cuore sul
suo quadrato di tela. Forse, la magia dei quadrati è questa. Forse non è solo
matematica.
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Lavoro svolto da
Cristina Colautti
Fonti del materiale
Provider Google
Microsoft® Student 2006
Enciclopedia Encarta Compatta