Classificazione
di una funzione
Rappresentazio
ne di una
funzione
Proprietà
specifiche di
alcune funzioni
Iniettiva
Suriettiva
biiettiva
Tabulare
Analitica
……
Pari
Dispari
periodica
Grafici notevoli
di funzioni
elementari
Trasformazioni
elementari di
funzioni
Traslazioni
Contrazioni
Rotazioni
Simmetrie
…….
Classificazione
delle funzioni
analitiche
algebriche
trascendenti
Razionali
Irrazionali
Intere
fratte
logaritmiche
esponenziali
goniometriche
……
STUDIO
LE FUNZIONI
LA FUNZIONE
ESPONENZIALE
E
LOGARITMICA
ESCI
DEL GRAFICO
DI UNA
FUNZIONE
Prerequisiti
Numeri reali
Concetto di funzione
Grafici di funzioni
Concetti e proprietà fondamentali
delle potenze ad esponente reale
 Saper tracciare il grafico di una funzione
esponenziale del tipo y=a f(x) e dedurre le
relative proprietà esponendo le opportune
considerazioni sulla base a
 Saper definire la funzione logaritmica e
giustificare le relative proprietà
 Saper tracciare il grafico di una funzione
logaritmica e dedurre le opportune
considerazioni al variare di a
Applicazioni
Saper risolvere equazioni e
disequazioni esponenziali e
logaritmiche per via algebrica e
per via grafica, anche con l’uso di
trasformazioni geometriche
Dato un numero reale positivo a per
qualunque valore di x è definita la
funzione
f:x
a
x
Tale funzione è detta funzione
esponenziale
di base a
Il suo dominio è l’insieme R dei numeri
reali
Il suo codominio è l’insieme R+
La sua equazione è : y = a x
Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0<a<1
Per es. supponiamo che sia a=2
f:x
2x
x
y
-2
-1
0
1
2
¼
½
1
2
4
-2
-1
0
1
2
Deduzioni
• possiamo assegnare qualsiasi valore ad x
ottenendo un valore reale di y
D=R
• la potenza cresce al crescere
dell’esponente:
x1 > x 2
2x1 > 2x2
funzione crescente
• I valori di y sono tutti positivi
C=R+
• I valori di y per x > 0 tendono a diventare
grandi quanto si vuole, per x < 0 si
avvicinano asintoticamente all’asse x a
mano a mano che ci si allontana
dall’origine
lim
2x = 0
lim
2x
= 
0<a<1
per es. a = ½
si ha
f: x
x
y
-2
-1
0
1
2
4
2
1
½
¼
-2
(1/2)x
-1
0
1
2
Deduzioni
• possiamo assegnare qualsiasi valore ad x
ottenendo un valore reale di y
D=R
• la potenza decresce al crescere
dell’esponente:
x1 > x 2
(1/2)x1 < (1/2)x2
funzione decrescente
• I valori di y sono tutti positivi
C=R+
• I valori di y per x > 0 decrescono
indefinitamente , per
x < 0 tendono a diventare grandi quanto si
vuole
lim (1/2)x = 0
lim (1/2)x =
x
+
x
-
Generalizzazione
•
funzione esponenziale y = a x con a > 1
•
funzione esponenziale y = a x con 0 <a <1



dominio D= R
codominio C=R+
la funzione è crescente



dominio D= R
codominio C=R+
la funzione è decrescente
 lim
x
ax = 0
-
lim
x
ax = + 
+
 lim
x
ax = 0
+
y
ax = + 
-
y
1
0
lim
x
1
x
0
x
Osservando i due grafici si può notare che
ciascuna curva curva è la simmetrica dell’altra
rispetto all’asse y, cioè è ottenuta tramite la
trasformazione:
x
-x
y
y
che rappresenta la simmetria rispetto all’asse y
Dati due numeri positivi a e b, con a1
si chiama logaritmo in base a del numero b
l’esponente a cui si deve elevare la base
per ottenere il numero b
x=logab
ax=b
Ciò equivale a dire che l’equazione ax=b
ammette una ed una sola soluzione.
Tale soluzione si chiama logaritmo di b in
base a.
Sia x un numero positivo qualunque e a 1
esiste il logaritmo di x rispetto alla base a
e
ad ogni valore di x corrisponde uno ed un
solo valore di log a x , quindi:
y = log a x con a > 0 e a 1
si chiama funzione logaritmica di base a
Distinguiamo due casi: a>1 opp. 0<a<1
Per es. supponiamo che sia a=2
y = log 2 x
2
x
y
1
¼
½
1
2
4
-2
-1
0
1
2
0
1
-1
-2
Deduzioni
• Possiamo assegnare alla variabile x solo valori
positivi
D=R+
• Il valore del logaritmo cresce al crescere
dell’argomento x : x 1 > x2
log2 x1 > log2 x2
funzione crescente
• y può assumere qualsiasi valore reale
C=R
• I valori di y per x > 1 tendono a diventare grandi
quanto si vuole, mentre per valori di x <1 i valori di
y risultano negativi e la curva si accosta
asintoticamente all’asse y quando x tende a 0
lim log2x = -
lim log2x =+
x
0+
x +
0<a<1
per es. a = ½
si ha y = log1/2x
2
x
y
1
¼
½
1
2
4
2
1
0
-1
-2
0
1
-1
-2
Deduzioni
• Possiamo assegnare alla variabile x solo valori
positivi
D=R+
• il valore del logaritmo decresce al crescere
dell’argomento: x1 > x2
log1/2 x1 < log1/2 x2
funzione decrescente
• y può assumere qualsiasi valore reale
C=R
• I valori di y per x > 1 decrescono indefinitamente,
mentre per valori di x <1 i valori di y risultano
positivi e la curva si accosta asintoticamente
all’asse y quando x tende a 0
lim log1/2x = -
lim
log1/2x = +
x
+
x
0+
Generalizzazione
•
funzione logaritmica y = log a x
con a > 1
 dominio D= R+
 codominio C=R
 la funzione è crescente
•
 lim
+
x
 lim
x
log a x = -
lim
0
x
funzione logaritmica y = log a x
con 0 <a<1
dominio D= R+
 codominio C=R
 la funzione è decrescente
log a x =
lim log a x =- 
x +
log a x= +
0
+
y
y
0
1
x
0
1
x
Prerequisiti
 Teoria degli insiemi
 Relazioni
 Insiemi numerici N, Z, Q, R
 Rappresentazioni grafiche nel piano
cartesiano
Obiettivi
• Definire la funzione.
• Conoscere le rappresentazioni di una
funzione.
• Classificare le funzioni.
Contenuti
 Definizione di funzione.
 Rappresentazione di una funzione.
 Funzioni iniettive, suriettive, biiettive.
 Funzione inversa.
 Funzione matematica.
Definizione
Dati due insiemi A e B non vuoti e non
necessariamente distinti, si definisce funzione
qualsiasi relazione di A in B che ad ogni
elemento di A fa corrispondere uno ed uno solo
elemento di B.
f:AB
 x  y  (x, y)  f
Dominio, codominio e immagine
Dominio: insieme A
Codominio: insieme B
Immagine: insieme formato dagli elementi di
B che sono i corrispondenti di elementi di
A
LA RELAZIONE NON È UNA
FUNZIONE….
quando ci sono elementi A a cui
non corrispondono elementi di B
oppure
quando ci sono elementi A a cui
corrispondono più di un elemento di B
Rappresentazione grafica
di una funzione
Deduzione
Poichè
la funzione è una relazione;
 la relazione è un sottoinsieme del prodotto
cartesiano
si deduce che:
 la funzione si rappresenta come i prodotti
cartesiani.
…..
 Rappresentazione tabulare (o per
elencazione)
Rappresentazione sagittale (o diagramma
a frecce)
Rappresentazione mediante diagramma
cartesiano
La classificazione
delle funzioni
Funzioni iniettive
Una funzione si dice iniettiva quando ad
elementi distinti fa corrispondere immagini
diverse.
f:AB

x1  x2
f (x1)  f(x2)
Come riconoscere
le funzioni iniettive dal grafico:
Ogni elemento del codominio è al più
immagine di un elemento di A.
Grafico di funzioni iniettive
B
• •
A
•
•
•
•
•
•
Ad ogni elemento del codominio arriva al
massimo una freccia
Funzioni suriettive
Una funzione f : A  B si dice suriettiva
quando ogni elemento di B è immagine di
almeno un elemento di A
f:AB

è suriettiva
 y B
 x A 
(x, y)  f
Grafico di funzioni suriettive
B
A
•
•
•
•
•
• •
Ad ogni elemento del codominio arriva
almeno una freccia
Funzioni biiettive
Si dice biiettiva una funzione
f: A  B che è sia iniettiva che suriettiva.
f:AB
x1  x2  f (x1)  f(x2)

È biiettiva
 yB  xA  (x, y)  f
Grafico di funzioni biiettive
•
A
•
•
•
•
B
•
Da ogni elemento di A parte una freccia
In ogni elemento di B arriva una freccia
Funzione inversa
Data una funzione iniettiva f: AB si dice
funzione inversa la funzione f-1: B  A tale
che
se f(x) = y allora f -1(y) = x
e viseversa
se f -1(y) = x allora f(x) = y
La funzione matematica
… è una funzione f : A  B in cui
 A e B sono insiemi numerici
 esiste una formula generale, del tipo y = f(x),
che permette di calcolare l’immagine di ogni
elemento del dominio
LE FUNZIONI
STUDIO DEL GRAFICO
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Lo studio di una funzione è un procedimento che coinvolge concetti
elevati, conoscenze fortemente correlate. Non si tratta di imparare un
meccanismo, ma di seguire una procedura di estrema razionalità, che
consiste nel migliorare progressivamente le informazioni, finché
abbiamo acquisito tutto quello che occorre per dominarne il
comportamento e tracciarne il grafico. Per risolvere tale problema è
molto importante avere un continuo controllo sulle informazioni che
man mano si acquisiscono.
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Nello studio di una funzione y = f(x) conviene procedere secondo
il
seguente schema:
 determinare l’insieme di esistenza della funzione. Esempi
 calcolare le coordinate degli eventuali punti d’intersezione con
gli assi cartesiani.
Esempio
 scrivere l’equazione degli eventuali asintoti orizzontali, verticali
ed obliqui.
Esempio
 Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e di
flesso.
Esempio
 Tracciare l’andamento del grafico della funzione. Esempio
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Una funzione razionale intera è definita per qualsiasi valore della x.
Esempio. La funzione:
y  x  3x
3
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è definita per qualsiasi valore attribuito all’incognita.
Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano
cartesiano.
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Una funzione razionale fratta non è definita per i valori della x che annullano il
denominatore.
Esempio. La funzione:
x2  1
y
x 1
è definita per tutti i valori della x diversi da 1.
Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano
cartesiano escluso x=1.
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Una funzione irrazionale quadratica è definita per i valori della x che rendono il
radicando non negativo.
Esempio. La funzione:
y  x  2x
2
x 2  2x  0
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è definita per valori della x esterni
all’intervallo (0;2) e pertanto non ci sarà
grafico in tale intervallo. Infatti
x  x  2  0
x 0 x 2
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L’’insieme di definizione di una funzione trascendente va stabilito caso per caso.
Esempio. La funzione:
y  log x
è definita per i valori positivi della x e quindi il suo
grafico si troverà nel primo e quarto quadrante
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Per trovare le coordinate dei punti d’intersezione con gli assi cartesiani di una
funzione occorre porre y = 0 (punti d’intersezione con l’asse x) e quindi x = 0
(punti d’intersezione con l’asse y). Per esempio, data la funzione:
x2  1
y 2
x 1
ponendo y = 0 nell’equazione si ottiene x2-1 = 0 e quindi
x = ± 1. Pertanto il grafico passa per A(-1; 0) e B(1;0).
Ponendo invece x = 0 si ottiene y = -1 e quindi il grafico
passa per C(0; -1)
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Per trovare l’eventuale asintoto orizzontale di una funzione bisogna calcolare il
limite per x che tende ad infinito della funzione. Se tale limite vale il numero
finito k l’asintoto orizzontale sarà y = k. Nel caso in cui tale limite risulta infinito,
non esiste asintoto orizzontale e le funzione diverge. Per esempio non
ammette asintoto orizzontale la seguente funzione perché il limite suddetto è
infinito.
2
x
y
x 1
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Per trovare gli eventuali asintoti verticali bisogna calcolare il limite per x che
tende ad ognuno di quei valori (supponiamo che sia h) per i quali la funzione
non è definita. Se tale limite risulta infinito, la retta x = h è un asintoto verticale.
Nell’esempio precedente la funzione ammette la retta x = 1 come asintoto
verticale essendo il limite di tale funzione infinito.
Per trovare gli eventuali asintoti obliqui del tipo y = mx + q bisogna calcolare il
limite per x che tende ad infinito di f(x)/x (tale numero nel caso in cui risulta
finito rappresenta m) e il limite per x che tende ad infinito di f(x) – mx (tale
numero nel caso in cui risulta finito rappresenta q). Nel nostro caso la funzione
ammette come asintoto obliquo la retta y = x – 1. Infatti i suddetti limiti
risultano m = 1 e q = -1.
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Per calcolare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione bisogna
studiare il segno della derivata prima, ricordandosi che quando essa risulta
positiva (negativa) la funzione è crescente (decrescente).
Per calcolare i punti di flesso bisogna studiare il segno della derivata seconda,
ricordandosi che quando essa risulta positiva (negativa) la funzione è concava
(convessa).
N.B. Per brevità non ci occupiamo delle funzioni non derivabili.
Data la funzione:
y  x  3x
3
calcoliamo la derivata prima:
2

y  3x  3
e ne studiamo il segno:
3x  3  0  x  1  0  x  1  x  1
2
2
X = -1
F(x)
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X = +1
pertanto per x = -1 c’è un punto di massimo
relativo e per x = 1 un punto di minimo
relativo
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Di conseguenza y(-1) = 2 e y(1) = -2. Quindi la funzione ha un massimo
relativo nel punto A(-1;-2) e un minimo relativo nel punto B(1;-2).
Calcoliamo quindi la derivata seconda della funzione e ne studiamo il segno:
y   6 x  0  x  0
Pertanto la funzione è concava per x>0 e convessa per x<0. Di conseguenza
y(0) = 0 e quindi la funzione ha un flesso nel punto C(0;0), cioè nell’origine
Il grafico evidenzia i punti di massimo e minimo relativo e il punto di flesso.
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Come esempio finale trattiamo lo studio completo di una funzione algebrica
razionale fratta. Sia data la funzione:
x3
y
x  12
1. La funzione è definita per x ≠ 1
2. Se x = 0 allora y = 0 e viceversa. Quindi l’unico punto d’intersezione della
funzione con gli assi cartesiani è l’origine O(0;0).
3. La funzione non ha asintoti orizzontali perché il limite per x che tende ad
infinito è infinito.
La funzione ammette come asintoto verticale la retta di equazione x = 1
perché il limite per x che tende ad 1 della funzione è più infinito sia da
destra che da sinistra.
La funzione ammette come asintoto obliquo la retta di equazione y = x + 2
perché il limite per x che tende ad infinito di f(x)/x è 1 e il limite per x che
tende ad infinito di f(x) – mx è 2.
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4. Studiamo il segno della derivata prima, che può essere calcolata con facili
passaggi algebrici:
x 2 ( x  3)
y 
 0  x  0  0  x  1 x  3
3
( x  1)
Pertanto (sempre attraverso facili passaggi algebrici), la curva presenta un
flesso nell’origine e un minimo nel punto (3;27/4).
La derivata seconda:
6x
y  
x  14
Non annullandosi al di fuori dell’origine, ci indica che la
funzione non presenta altri flessi
IL grafico della funzione è rappresentato nella successiva diapositiva.
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COMPONENTI DEL PROGETTO:
Prof.ssa Anna Maria Luppino
Prof.ssa Rosella Macchioni
ANNO 2002
Prof. Nino Manerchia
Prof.ssa Antonella Paolillo