L’equazione delle onde
Alberto Martini
Y
X
Questa è la forma dell’onda
all’istante t = 0
Y
X
Questa è la forma dell’onda
all’istante t = 0
t=0
Y
X
X1
t=0
Y
X
X1
Il punto X1
ha ampiezza Y1 (negativa)
t=0
Y
X
X1
Il punto X1
ha ampiezza Y1 (negativa)
t=0
Y
X
X1
Y1
Il punto X1
ha ampiezza Y1 (negativa)
t=0
Y
X
X1
Y1
Il punto X1
ha ampiezza Y1 (negativa)
t=0
Y
X
X1
Y1
t=0
Y
X
X1
Y1
t1
t = t1
Y
X
X1
Y1
t1
Dopo un tempo t = t1,
l’onda è avanzata
di uno spostamento S
t = t1
Y
X
X1
Y1
t1
Dopo un tempo t = t1,
l’onda è avanzata
di uno spostamento S
t = t1
Y
S
X
X1
Y1
t1
Dopo un tempo t = t1,
l’onda è avanzata
di uno spostamento S
t = t1
Y
S
X
X1
Y1
t1
Dopo un tempo t = t1,
l’onda è avanzata
di uno spostamento S
t = t1
Y
S
X
X1
Y1
t1
ed il punto X1
ha una nuova ampiezza Y2
t = t1
Y
S
X
X1
Y1
t1
ed il punto X1
ha una nuova ampiezza Y2
t = t1
Y
Y2
S
X
X1
Y1
t1
ed il punto X1
ha una nuova ampiezza Y2
t = t1
Y
Y2
S
X
X1
Y1
t1
ed il punto X1
ha una nuova ampiezza Y2
t = t1
Y
Y2
S
X
X1
Y1
t1
Questa ampiezza Y2 è uguale
a quella che aveva un punto X,
all’istante di tempo t = 0
t = t1
Y
Y2
S
X
X
X1
Y1
t1
Questa ampiezza Y2 è uguale
a quella che aveva un punto X,
all’istante di tempo t = 0
t = t1
Y
Y2
S
X
X
X1
Y1
t1
Poiché l’onda, nel tempo t1,
ha fatto uno spostamento S
t = t1
Y
Y2
S
X
X
X1
Y1
t1
Poiché l’onda, nel tempo t1,
ha fatto uno spostamento S
t = t1
Y
Y2
S
X
X
X1
Y1
t1
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t = t1
Y
Y2
S
S
X
X
X1
Y1
t1
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t = t1
Y
Y2
S
S
X
X
X1
Y1
t1
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t = t1
Y
Y2
S
S
X
X
X1
Y1
t1
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t = t1
Y
Y2
S
S
X
X
X1
Y1
X1
t1
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t = t1
Y
Y2
S
S
X
X
X1
Y1
X1
S
t1
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t = t1
Y
Y2
S
S
X
X
X1
Y1
X1
S
t1
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t = t1
Y
S
Y2
Scrivere l’equazione delle onde vuol dire “tradurre”
nel linguaggio
della matematica questa affermazione:
S
X
X
X1
Y1
X1
S
t1
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t = t1
Y
S
Y2
Scrivere l’equazione delle onde vuol dire “tradurre”
nel linguaggio
della matematica questa affermazione:
S
X
X
X1
Y1
X1
L’ampiezza
S Y di un qualsiasi punto X,
in un istante di tempo t
è uguale a quella che , al tempo t=0,
aveva un punto di coordinata X - Vt
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
t1
t = t1
S
Y
X
X
(X-Vt)
L’ampiezza
S Y di un qualsiasi punto X,
in un istante di tempo t
è uguale a quella che , al tempo t=0,
aveva un punto di coordinata X - Vt
il punto X ha coordinata:X = (X1 - S )
L’ampiezza Y di un qualsiasi punto X,
in un istante di tempo t
è uguale a quella che , al tempo t=0,
aveva un punto di coordinata X - Vt
Poiché l’equazione del moto armonico è:
L’ampiezza Y di un qualsiasi punto X,
in un istante di tempo t
è uguale a quella che , al tempo t=0,
aveva un punto di coordinata X - Vt
Poiché l’equazione del moto armonico è:
Y(x) = A sen  X

L’ampiezza Y di un qualsiasi punto X,
in un istante di tempo t
è uguale a quella che , al tempo t=0,
aveva un punto di coordinata X - Vt
Poiché l’equazione del moto armonico è:
Y(x) = A sen  X

è sufficiente sostituire alla X la coordinata (X-Vt):
L’ampiezza Y di un qualsiasi punto X,
in un istante di tempo t
è uguale a quella che , al tempo t=0,
aveva un punto di coordinata X - Vt
Poiché l’equazione del moto armonico è:
Y(x) = A sen  X

è sufficiente sostituire alla X la coordinata (X-Vt):
Y(x,t) = A sen  (X-Vt)

L’ampiezza Y di un qualsiasi punto X,
in un istante di tempo t
è uguale a quella che , al tempo t=0,
aveva un punto di coordinata X - Vt
Y(x,t) = A sen  (X-Vt)

Se questa è la forma dell’onda
Y(x,t) = A sen  (X-Vt)

Se questa è la forma dell’onda
la sua fase iniziale è 
Y(x,t) = A sen  (X-Vt)

Se questa è la forma dell’onda
la sua fase iniziale è 
Y(x,t) = A sen  (X-Vt)

Se questa è la forma dell’onda
la sua fase iniziale è 
Y(x,t) = A sen  (X-Vt)

ma se la forma dell’onda è diversa
Se questa è la forma dell’onda
la sua fase iniziale è 
Y(x,t) = A sen  (X-Vt)

ma se la forma dell’onda è diversa
Se questa è la forma dell’onda
la sua fase iniziale è 
Y(x,t) = A sen  (X-Vt)

ma se la forma dell’onda è diversa
occorre tenerne conto,
aggiungendo la fase iniziale all’argomento del seno
Se questa è la forma dell’onda
la sua fase iniziale è 
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
ma se la forma dell’onda è diversa
occorre tenerne conto,
aggiungendo la fase iniziale all’argomento del seno
Se questa è la forma dell’onda
la sua fase iniziale è 
(in questo caso:)
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
ma se la forma dell’onda è diversa
occorre tenerne conto,
aggiungendo la fase iniziale all’argomento del seno
Se questa è la forma dell’onda
la sua fase iniziale è 
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
ma se la forma dell’onda è diversa
occorre tenerne conto,
aggiungendo la fase iniziale all’argomento del seno
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
Questa è una possibile scrittura dell’equazione delle onde.
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
Questa è una possibile scrittura dell’equazione delle onde.
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
Possiamo moltiplicare nella parentesi quadrata, ottenendo:
Questa è una possibile scrittura dell’equazione delle onde.
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
Possiamo moltiplicare nella parentesi quadrata, ottenendo:
[ (
X
Vt
Y(x,t) = A sen 


)+  ]
Questa è una possibile scrittura dell’equazione delle onde.
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
Possiamo moltiplicare nella parentesi quadrata, ottenendo:
e poiché è:
V
1
=


[ (
X
Vt
Y(x,t) = A sen 


)+  ]
Questa è una possibile scrittura dell’equazione delle onde.
[
Y(x,t) = A sen  (X-Vt) +

]
Possiamo moltiplicare nella parentesi quadrata, ottenendo:
e poiché è:
V
1
=


X
Vt
Y(x,t) = A sen 


)+  ]
X
t
Y(x,t) = A sen 


)+  ]
[ (
[ (
Questa è l’equazione
che utilizzeremo
[ (
X
t
Y(x,t) = A sen 


)+  ]
fine