Proff. G.Conte, M.Di Bella, A.Sciuto
I NUMERI
IRRAZIONALI
NATURALI
Numeri
reali
relativi
“Numeri relativi” indica i numeri che hanno il segno (+ o -) e il loro insieme
viene indicato con z
Per il confronto di due numeri relativi bisogna considerare la retta: è il più grande il numero che è formato
dal segno e dal modulo o valore assoluto
Segno = + e –
Modulo o valore assoluto = numero senza segno
ES:
+5=numero relativo
+=segno
5=modulo
Due numeri sono:
•Concordi, quando hanno lo stesso segno
•Discordi,quando il segno è diverso
•Uguali, quando hanno lo stesso modulo e segno diverso
Se due numeri relativi sono opposti è più grande quello con il segno più grande
Se i numeri relativi sono negativi è più grande quello con il modulo più piccolo
0 è un numero neutro ed è maggiore di un numero negativo e minore di uno positivo.
Sistema di numerazione
binario
Sistema di numerazione binario
DEFINIZIONE DI
POTENZA
La potenza non e' altro che una moltiplicazione ripetuta:
se devo scrivere 6x6x6 e' più facile e comodo scrivere 6 3;
quindi 63=6x6x6
il 6 si chiama base,
il 3 si chiama esponente e
63 tutto quanto si chiama potenza
DEFINIZIONE: la potenza e' il prodotto della base tante volte quanto è
l'esponente
PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA
BASE
Se devo moltiplicare 23 x24
cioè per fare il prodotto quando hanno la stessa base
basta sommare gli esponenti
REGOLA: il prodotto di due potenze con la stessa base e'
una potenza che ha per base la stessa base e per esponente
la somma degli esponenti.
Potenza di una potenza
Se devo fare
(23)4= =23x4
REGOLA: la potenza di una potenza e' ancora una
potenza che ha per base la stessa base e per esponente il
prodotto degli esponenti.
TIPI DI FRAZIONI
Ci sono tre tipi di frazioni:
•••-
Frazioni proprie: il numeratore è maggiore del denominatore
Frazioni improprie: il numeratore è minore del denominatore
Frazioni apparenti: il numeratore è multiplo del denominatore
A={a,e,I,o,u}
Rappresentazione
per Elencazione
C={X Є N : 2x}={2,4,6…}
Tali che
Numeri interi
Appartenenti
Tutti i numeri
Rappresentazione
Tabulare
Quadrato di un binomio
Possiamo quindi dire che:
Il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del
primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il
secondo, più il quadrato del secondo.
Cubo di un binomio
Possiamo quindi dire che:
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo
prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo
prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del
secondo.
Teorema di Ruffini.
Regola di Ruffini.
Esempio: Calcolare il quoziente e il resto della seguente divisione
(2x4-18x2-x+3):(x-3).
Si effettuano le seguenti operazioni:
(1) sopra una stessa riga si scrivono tutti i coefficienti del polinomio P(x), avendo
cura di indicare con uno zero il coefficiente degli eventuali termini mancanti,
disponendoli in una tabella. Nell'angolo a sinistra si riporta l'opposto del termine
noto del polinomio divisore D(x)
(2) Si abbassa al di sotto del segno orizzontale il primo coefficiente del polinomi
P8x) in questo caso 2.
(3) si moltiplica questo coefficiente, 2, per il numero scritto in basso a sinistra, 3. Si
dispone il risultato sotto il secondo coefficiente e si esegue la somma algebra.
il risultato ottenuto, 6, si moltiplica per l solito numero in basso a sinistra, 3, e si
ottiene 18, quindi si esegue la somma algebrica tra i due numeri in colonna -18 e 18.
Un’equazione può essere interpretata con l’uguaglianza fra
2 espressioni algebriche che risulta verificata per particolari
valori attribuiti alle variabili in essa presenti.
Qual è la soluzione dell'equazione 5x=6 ?
x=5/6
x=6-5
x=5-6
x=6/5
Qual è la soluzione dell'equazione x+2=3 ?
x=5
x=3/2
x=1
x=-1
Un'equazione si dice di secondo grado
quando la x vi compare a potenza 2, cioe'
c'e' un termine con x2
Equazione completa
Se B e C sono diversi da zero l'equazione si dice completa,
per risolverla occorre applicare la seguente formula risolutiva
che si può riassumere nella forma
Equazioni come FUNZIONI
f(x)=2x-3
x
-5
0
1
3
4
5
…

y = 2x-3
-13
-3
-1
3
5
7
…
x
-5

2x-3
-13
-3
0
1
3
3
-1
4
…
EQUAZIONI IN GEOMETRIA
ANALITICA
punto
coppia di reali
retta
equazione
la coppia (a,b) verifica
l’equazione 2x-3=y
il punto P(a,b)  alla retta
di equazione 2x-3=y
MEDI
16:36=X:10
ESRTEMI
IL PRODOTTO DEI MEDI è=AL
PRODOTTO DEGLI ESTREMI
36·X=16·10
36X=160
X=160/36
Le percentuali
1° Esempio
50%=50/100=0,5
40%=40/100=0,4
30%=30/100=0,3
20%=20/100=0,2
10%=20/100=0,1
2° Esempio
=50%=1/2
=25%=1/4
=20%=1/5
=33%=1/3
=10%=1/10
=75%=3/4
=90%=9/10
3° Esempio
50% di 20€=5/100·20=10€
20% di 20€=20/100·20=4€
75% di 35€=75/100·35=26€
M= lunghezza
KM
HM
DM
M
DM
CM
MM
1000
100
10
1
0.1
0.01
0.001
P = peso
Kg
Hg
Dg
g
Dg
Cg
Mg
1000
100
10
1
0.1
0.01
0.001
l= Litro
Kl
1000
Hl
100
Dal
10
l
Dl
1
Cl
0.1
Ml
0.01
0.001
SISTEMI
METODI DI RISOLUZIONE
Elenco dei metodi di risoluzione:
•Metodo del confronto
•Metodo di sostituzione
•Metodo di riduzione
•Metodo di Cramer
I SISTEMI
2x + 3y = 12
3x - y = 7
Nel metodo di confronto ricavo da entrambe le equazioni la x poi
metto a confronto i risultati
2x = 12 - 3y
3x = 7 + y
12 - 3y
x = -------2
7+y
x = -------3
Come prima equazione uguaglio i risultati
7+y
12 - 3y
-------- = -------3
2
7+y
x = -------3
Sopra m.c.m. = 6
14 + 2y 36 - 9y
----------- = -------6
6
Tolgo il
denominatore
14 + 2y = 36 - 9y
Porto i termini con y prima dell'uguale e quelli noti
dopo l'uguale
9y + 2y = 36 - 14
Sommo
11y = 22
Ricavo la y dividendo entrambe i membri per 11
Riscrivo la seconda equazione
y=2
7+y
x = -------3
Sostituisco il valore 2 alla y nella seconda equazione
Potresti anche riprendere le equazioni di partenza, eguagliare le y e rifare tutto da capo, ma chi
te lo fa fare?
y=2
7+2
x = -------3
Risolvo
y=2
x=3
Metto x al primo posto ed y al secondo
x=3
y=2
Ora dovremmo verificare il sistema ma l'abbiamo gia'
fatto dopo la soluzione col metodo di sostituzione
Riassumendo:
Per risolvere un sistema col metodo di confronto
ricavo da entrambe le equazioni la x (oppure la y)
Come prima equazione eguaglio le espressioni
trovate.
Risolvo la prima equazione
Sostituisco il risultato nella seconda equazione e
trovo il valore dell'altra variabile
Metodo
di
sostituzione
Spiegheremo il metodo del confronto con un esempio.
Analizziamo il sistema:
3x  2 y  1  0

x  4 y  3  0
Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto a una delle due
variabili, x ad esempio:
3x  2 y  1  0

x  4 y  3
Scrivendo nell’altra equazione al posto di x l’espressione prima
calcolata, svolgeremo l’equazione in y.
34 y  3  2 y 1  0
Una volta calcolato il valore di y sostituiremo di nuovo il suddetto
valore nell’equazione esplicitata in x.
Metodo
di
riduzione
Spiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il
seguente sistema:
2 x  5 y  6  0

 2 x  4 y  7  0
In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due
equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad
un’equazione in y.  2 x  5 y  6  0


 2 x  4 y  7  0
 y 1  0
Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y,
opposto a quello dell’altra equazione) applicheremo lo stesso
metodo e avremo un’equazione in x.
 2 x  5 y  6  0


5
y

5

0

2 x  11  0
Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle
incognite in questo sistema.
I SISTEMI
Dobbiamo risolvere
2x + 3y = 12
3x - y = 7
Nel metodo di Cramer scrivo i coefficienti del sistema in una tabella (matrice)
2 3 12
3 -1 7
Calcolo il determinante= il prodotto fra il primo e l'ultimo termine meno il prodotto fra il
secondo ed il terzo
2 3
3 -1
= 2·(-1) - 3·3 = -2 - 9 = -11
Per trovare il delta x devo prendere il determinante considerato, cancellare la colonna delle x e al suo
posto mettere i termini noti
12 3
7 -1
= 12·(-1) - 3·7 = -12 - 21 = -33
Per calcolare il valore della x devo scrivere al denominatore il determinante ottenuto
Per calcolare la y metto al denominatore le prime due colonne mentre al numeratore cancello la colonna delle y e c
metto i termini noti
2 12
3 7
Quindi ottengo
x=3
y=2
2·(7) - 12·3
14 - 36
-22
Riassumendo :
Per risolvere un sistema col metodo di Cramer
Scrivo la matrice del sistema
Calcolo il determinante delle prime due colonne
per la x scrivo al denominatore il determinante trovato ed al numeratore
riscrivo il determinante mettendo al posto della colonna delle x i termini
noti
per la y scrivo al denominatore il determinante trovato ed al numeratore
riscrivo il determinante mettendo al posto della colonna delle y i termini
noti
Scrivo la parentesi graffa con la x al primo posto e la y al secondo posto
INSIEME DELLE SOLUZIONI
Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle stesse incognite, che
devono essere verificate contemporaneamente.
Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le
equazioni che lo compongono.
L’insieme delle soluzioni di un sistema è quindi costituito
dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione.
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
A seconda del
suo insieme
soluzione un
sistema può
essere:
a b c
 
a ' b' c '
Sistema impossibile S=
a b

a ' b'
Sistema determinato
a b c
 
a ' b' c '
Sistema indeterminato
Misura di archi ed angoli
Se voglio misurare un arco di circonferenza con un angolo posso farlo
in modo semplice: la misura sara' la stessa se prendo come riferimento il
raggio della circonferenza: poiche' tutte le circonferenze sono simili .
Se prendo come unita' di misura il raggio tutti gli archi avranno lo
stesso valore
Gli archi sono
I raggi corrispondenti sono
La misura, sempre
identica, sara'
AA' BB' CC'
OA OB OC
AA' BB CC'
OA = OB = OC
Tutta la circonferenza misurera' indifferentemente
360° oppure 2 raggi essendo la misura della circonferenza 2 r
Due pigreco corrisponde circa a 6,28 raggi cioe' se il raggio e' un
centimetro la circonferenza sara' lunga circa 6,28 centimetri
Per semplicita', considerare come circonferenza tipo su cui fare le
formule la circonferenza di raggio 1 che sara' chiamata Circonferenza
trigonometrica .
La corrispondenza fra angoli ed archi sara'
3
2
2
90°
180°
270°
2
0°=360°
quindi ad esempio se hai 480° dovrai dire
480° = 480° - 360° = 120°
cioe' tutti gli angoli dovranno essere riportati al primo giro della
circonferenza:
se l'angolo e' superiore a 360° dovrai togliere 360° una volta, due
volte, tre volte,... finche' il risultato sia un angolo inferiore a 360°;
VELOCITA’ ANGOLARE
E IL MOTO CIRCOLARE
Il concetto di velocità angolare (detta anche frequenza angolare o
pulsazione) si applica dove vi siano rotazioni, ma il suo impiego maggiore è
nello studio dei moti periodici (circolare, armonico ecc...).
La velocità angolare, detta anche velocità di rotazione, rientra nel concetto
generale di velocità di variazione di una grandezza, qualsiasi, in questo caso
un angolo.
La velocità angolare è definita dal rapporto fra l'angolo spazzato da un
vettore che ruota e il tempo impiegato a compiere questa rotazione. Ossia:
dove ω è la velocità angolare, Δ α è l'angolo percorso e Δ t è l'arco di tempo.
Nel caso di velocità angolare istantanea abbiamo:
Esprimendo tale velocità in forma più concisa possiamo scrivere:
in quanto derivata prima della misura angolare.
Per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, la velocità angolare vale:
poiché, nell'arco di tempo T (che è il periodo) l'angolo descritto dal raggio è
proprio 2π radianti (angolo giro).
I vettori
Ci sono grandezze scalari e grandezze vettoriali
Vettore: ente matematico caratterizzato da tre quantità
•modulo
•direzione
•Verso
I vettori sono applicati in un punto.
Esiste un numero infinito di vettori equipollenti, cioé con
modulo, direzione e verso uguali,ma applicati in punti diversi).
Equazioni scalari non vanno mescolate a Equazioni vettoriali
Fine