CAP. II Le onde nei materiali
1. Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche
2. L’indice di rifrazione
3. Dispersione
4. L’assorbimento
5. La radiazione dal dipolo oscillante
1. Energia trasportata dalle onde e.m.
Dato un volume V in presenza di campi:
Ue 
energia del campo magnetico:
Um 
1
(E  D)dV
V 2

1
(H  B)dV
V 2
energia del campo elettromagnetico (onda e.m.):
U  Ue  Um 

1
V 2
(E  D)dV 

D

energia del campo elettrico:
1
V 2
B
 εE
 μH 
x
(H  B)dV
u
z
y
V
1. energia delle onde - dimostrazione
quindi:
u
D
B
 E
 H
 E  (  H )  E  J  H  (  E)
t
t
t
ma, per identità vettoriale:
x
E  (  H)  H  (  E)     (E  H)
quindi:
u
u

   (E  H )  E  J
t
z
y
V
ovvero, integrando di nuovo:
U


t
V   (E  H) dV

V (E  J ) dV
potenza dissipata in calore
1. energia delle onde - dimostrazione
x
infatti:
E
per la forza di Lorentz:
vd dF
B
z
F  q (E  v  B )
y
la potenza dissipata su dV:
dWdiss  F  v d  nq(E  v d )dV  E  J dV
densità di portatori di carica q
V
n  dN
dV
Watt  m 
-3
1. energia delle onde - dimostrazione
potenza dissipata in calore
U


t
V   (E  H) dV

V (E  J ) dV
x
d’altra parte, per il teorema della divergenza:
   (E  H) dV
V

 (E  H) dσ
u
z
y
quindi:
U


t
V
 (E  H) dσ  V (E  J ) dV
potenza dissipata in calore
1. energia delle onde - dimostrazione
x
d’altra parte è ovviamente:
U

 Wout  Win  Wdiss.
t
da confrontare con:
U


t
u
z
y
V
 (E  H) dσ  V (E  J ) dV
flusso di E × H attraverso la
superficie che racchiude V
flusso netto di potenza che si
propaga attraverso V (radiante)
potenza dissipata (assorbita)
1. energia delle onde
Ricordando che B  μH
U

 Wout  Win  Wdiss. 
t
flusso di E × H attraverso la
superficie che racchiude V
EB
 
dσ  V (E  J ) dV
potenza dissipata (assorbita)
x
u
flusso netto di potenza propagante
(radiante)
z
y
dV
bilancio energetico
imponiamo:
U

 0
t
(condizioni stazionarie)
U  cost
Flusso entrante
z
Flusso uscente
bilancio energetico
abbiamo due casi limite, ad esempio:
1) nei materiali trasparenti J = 0 quindi:
(vuoto e dielettrici)
Wout  Win
U
 

t

(E  B )
dσ  0
μ
z
Flusso entrante
Flusso entrante = flusso uscente
(flusso netto zero)
Flusso uscente
assorbimento zero
bilancio energetico
2) Materiali completamente
z
opachi: Wout  0
Flusso entrante
Wout  Win   Win 
 
dσ   V (E  J ) dV   Wass
flusso entrante
(incidente)
flusso netto =
Pot. assorb.
unità di area
E B

W



= potenza assorbita
(E  B )
dσ
μ

[W/m 2 ]
energia delle onde
Flusso di energia
x
quindi, per il flusso propagante si
introduce un vettore S tale che:

E B
dσ 
μ
S  dσ
U
S
z
y
V
flusso di S attraverso la superficie
che racchiude V
rappresenta la densità di flusso di potenza che
si propaga (radiante) con le onde e.m. (W/m2)
B
S  E  H  E
μ
vettore di Poynting
vettore di Poynting
S
e nei materiali completamente
opachi, per esempio, si avrà
Pot. assorb.
unità di area

W



(E  B )
dσ
μ

z

S dσ

 S
[W/m 2 ]
densità di potenza
elettromagnetica
energia delle onde
Si noti i molti modi per scrivere S:
B  1 (B  v )  B  B 2 v  E 2 v  E 2
S  E
μ
μ
v2μ
μ
 vˆ  E 2 vˆ  uv
Z
μ
per esempio, per un’onda piana monocromatica E(z, t) = E0 cos(kz - t)
si ha:
E02
E 2 z, t 
S( z , t ) 

cos 2 (kz  ωt )
Z
Z
energia delle onde
Si noti i molti modi per scrivere S:
B  1 (B  v )  B  B 2 v  E 2 v  E 2
S  E
μ
μ
v2μ
μ
 vˆ  E 2 vˆ  uv
Z
μ
per esempio, per un’onda piana monocromatica E(z, t) = E0 cos(kz - t)
si ha:
E02
E 2 z, t 
S( z , t ) 

cos 2 (kz  ωt )
Z
Z
energia delle onde
ma nessuno strumento può seguire il valore istantaneo S(t),
per cui si media sul tempo (un periodo ottico):
I  S
tempo
1

T
T

0
S (t ) dt
intensità elettromagnetica
(intensità)
Watt  m 
-2
per un’onda piana monocromatica E(z, t) = E0 cos(kz - t) :
I  S 
E02 cos 2 (kz - t )
Z
1 E02
E02


2 Z
2
ε
1 2
H 02

εE0 v 
μ
2
2
intensità di un onda
monocromatica
Watt  m 
-2
μ
ε
energia delle onde
per un’onda sferica monocromatica:
E (r , t ) 
E0
cos( kr  ωt )
r
1
S (r )  I (r )  2  I (rA )rA2  I (rB )rB2
r
si conserva la potenza irraggiata
infatti:
Flusso totale 
2
Id


S

4π
r

area
4πr 2 E02

 cost.
2
2Z
r
Watt 
energia delle onde
in genere, nei casi pratici, si considera la potenza
(I, P, W, ecc.) di un fascio di radiazione ovvero
l’intensità integrata su un fronte d’onda finito
per esempio:
laser
W 
 Id
Esercizi numerici
2.1) Il campo elettrico del segnale raccolto da un ricevitore radio ha un’ampiezza
E0 = 0.1 V/m; approssimando l’onda ricevuta a un’onda piana, si calcoli:
a) l’ampiezza del campo magnetico;
b) l’intensità media dell’onda;
c) la potenza della stazione se questa irradia isotropicamente ed è posta a distanza
d = 500 m dall’apparecchio ricevitore.
Esempi numerici
L'antenna dell'impianto onde medie di
Decimoputzu (CA), potenza 60 kw,
frequenza di trasmissione 1062 khz
The 846 khz antenna (1200 kW was
used on this frequency)
Esempi numerici
Dall'1.1.99 esistono limiti massimi di esposizione ai campi elettromagnetici (Dlsg
381/98 e relativo regolamento di applicazione). Successivamente è stata varata una
Legge Quadro (36/2001) sull'elettrosmog.
Le Regioni dettano ulteriori regole sanitarie e di indirizzo urbanistico, mentre i
Comuni possono avere norme urbanistiche ed edilizie precise. Sulla carta, l'Italia
ha le norme più complete e restrittive al mondo insieme alla Confederazione
Elvetica. Ci sono però lentezze nell'applicazione.
Il Decreto legislativo interministeriale 381/98 indica limiti massimi a 20
Volt/metro e un "obiettivo di qualità" per zone residenziali, scuole e ospedali di 6
V/m. La certezza scientifica di totale assenza di effetti biologici esiste comunque
soltanto sotto il valore di 0.5 V/m.
Un più recente Decreto legislativo (Dlgs. 198/2002) sospende in parte le regole
esistenti allo scopo di favorire la realizzazione delle nuove reti Umts. Ma Regioni
e Comuni (Anci) contestano il Decreto come anticostituzionale e illegittimo.
Esercizio numerico
2.2) Secondo le norme dell’Agenzia Regionale Prevenzione e Ambiente dell’EmiliaRomagna per l’esposizione ai campi a radiofrequenza, il limite massimo consentito di
intensità è IM = 1 W/m2. Si calcoli: (a) l’ampiezza del campo elettrico corrispondente;
(b) l’ampiezza del campo magnetico; (c) la distanza corrispondente da un trasmettitore
radio, supposto emettere con irradiazione isotropa, di potenza totale 1 MW.
Esercizio numerico
2.3) Assumendo che l’intensità della radiazione solare al suolo sia circa pari a quella
appena fuori dall’atmosfera, cioè Iea  1350 W/m2 (costante solare), si calcoli l’ampiezza
media del suo vettore campo elettrico E. Si calcoli anche l’intensità di tale radiazione in
prossimità della superficie solare (si assuma per il raggio solare Rs  0.696  106 km, e
per la distanza Terra-Sole d = 149.6  106 km).
Esercizio numerico
2.4) Un cellulare irraggia nello spazio una potenza P = 500 mW sotto forma di onde
radio monocromatiche. Assumendo che siano generate onde sferiche (non è vero!) e
che la propagazione sia nel vuoto, si calcoli l’ampiezza del campo elettrico e del
campo magnetico nei seguenti punti: (a) a 10 cm dal cellulare; (b) in prossimità di un
ricevitore situato a 200 m dal cellulare.
2. L’indice di rifrazione
Ricordiamo che l’equazione d’onda unidimensionale:
 E
 E
 εμ 2  0
2
x
t
2
2
f
v
-v
F(x)
G(x)
x
ha come soluzione più generale:
f(x, t)  F(x  vt )  G ( x  vt )
nel vuoto: v 
con:
v 
1
εμ
1
 c  (299792456.2  1.1) m/s
ε 0μ 0
in un materiale ottico:
v 
1

l’indice di rifrazione
ad esempio pensando a un’onda monocromatica:
E (z, t )  E0cos(kz  ωt )  E0 cosω
v ( z  vt )
v 
si definisce:
dove:
n 
ε 0μ 0

ε
1

εμ
v 
rispetto alla velocità nel vuoto:
εμ
1
 v
f
εμ
f
ε0

εr
velocità di fase
ε 0μ 0
εμ
1
c

n
ε 0μ 0
indice di rifrazione
l’indice di rifrazione
quindi:
c
vf 
n

c
n 
vf
n=
Plexiglass
0.5890 m
(giallo)
1.4793
Aria
1.0003
Acqua
1.3330
Vetro crown 1.5171
Vetro flint
Diamante
1.5804
2.4242
velocità nel vuoto
velocità nel materiale
onde nei materiali
in un materiale quindi si può introdurre un k’ = nk, cioè:
E(z, t) = E0 cos(k’z - t )
2π
ω
k' 
 n
λ'
c
con:
v
c

e
c 2π
1c
λ
λ' 


 λ
n ω
nv
n
n
v
'
v
c
v

onde nei materiali
usando i fasori, quindi:
i(kz  t ) 

1 E ei(kz  t )  c.c.
E( z, t )  Re E0 e


 0

2




nel vuoto
n z  t)

i
ω
(

i (k ' z  ωt ) 

E ( z, t )  Re  E0 e

Re

 E0 e c




in un materiale con n





Esercizi numerici
2.5) a) Determinare la frequenza delle oscillazioni luminose di lunghezza d’onda 500 nm
nel vuoto.
b) Determinare la frequenza dei raggi X di lunghezza d’onda 1 Å nel vuoto.
Esercizi numerici
2.6) Un’onda elettromagnetica piana sinusoidale di frequenza  = 100 kHz, polarizzata
linearmente, si propaga nel verso positivo dell’asse x in un mezzo avente la stessa
permeabilità magnetica del vuoto e r = 3.
a) Quanto vale la velocità di propagazione dell’onda?
b) Se il campo elettrico ha ampiezza E0=10 V/m, quanto vale l’ampiezza del campo
magnetico?
c) Si determinino le espressioni in funzione del tempo del campo elettrico e di quello
magnetico se all’istante t1=7.5s nel punto x1=57 m il campo elettrico ha componente
E1 = E0 = 10 V/m lungo l’asse y.
Esercizi numerici
2.7) L’onda elettromagnetica piana sinusoidale di frequenza  = 100 kHz emessa da un
sottomarino in navigazione di superficie, si propaga orizzontalmente nell’aria e
nell’acqua (r = 79). a) che ritardo c’è fra l’arrivo delle due onde nel punto P a una
distanza d = 100 m dal sottomarino? b) che relazione di fase c’è fra i campi elettrici nel
due mezzi nel punto P?
d
P
Esercizi numerici
2.8) Una lastra di vetro spessa d = 3 mm con indice di rifrazione n = 1.50 è posta tra
una sorgente puntiforme che emette luce di lunghezza d’onda  = 600 nm (nel vuoto)
ed uno schermo. La distanza sorgente - schermo è D = 3 cm. Calcolare il numero di
lunghezze d’onda comprese tra sorgente e schermo.
Esercizi numerici
2.9) Una sorgente puntiforme S emette luce con  = 500 nm in aria. A e B sono due
punti distanti 1 cm e posti sullo schermo a 100 cm da S. a) Determinare la differenza
tra il numero di onde nel percorso SA e SB. b) Una lastra di vetro con n = 1.50 è
inserita nel percorso SA. Determinare lo spessore richiesto affinché il numero di onde
nel percorso SA sia uguale al numero nel percorso SB.
3. La dispersione
Si consideri che:
n  nω  ε r (ω)
n dipende dalla frequenza!
n( )  n( )  dispersione
Elio
0.6563 m 0.5890 m 0.4861 m
(rosso)
(giallo)
(blu)
1.000036 1.000040 1.000043
Aria
1.000293
1.0003
1.00032
Acqua
1.3312
1.3330
1.3372
Vetro crown 1.5146
1.5171
1.5233
Vetro flint
Diamante
1.5804
2.4242
1.5903
2.4351
1.5764
2.4215
n
VIS
3
2
1

UV
IR
tipico andamento di n()

Effetti della dispersione: scomposizione della luce
questi li studieremo in seguito....
4. n complesso: l’assorbimento
in realtà in alcuni materiali è:
n  n  iκ
complesso!
κ  coeff. di estinzione
quindi:
iω[ n z  t ]
iω[
E ( z, t )  E0 e c
 E0 e
n  1
(n  iκ)
z  t]
c

e κkz
iω( n z  t )
E0 e
c
n  n  iκ
e  κ kz
z
l’onda si attenua,
l’energia è assorbita
assorbimento
se per l’ampiezza del campo elettrico vale:
iω[
E ( z, t )  E0 e
(n  iκ)
z  t]
c

e κkz
iω( n z  t )
E0 e
c
per l’intensità sarà:
1 E0 ( z )
I ( z) 
2 Z
2
ovvero:
I ( z )  I 0 e z
legge di d’Alembert

e
 2 ω z
c
I0 
e z I 0


κ
cm -1
c
coeff. di assorbimento
α  2kκ  2

assorbimento
in generale:
n  n()  n ()  iκ ()

con: α  2kκ  2 κ
c
coefficiente di assorbimento
sia dispersione che assorbimento dipendono dalla frequenza
()
n()
spettro di
assorbimento

assorbimento
consideriamo gli effetti dell’assorbimento
(si ricordi la corrispondenza    )
()
 ( )


la dipendenza dell’assorbimento da  spiega i colori per sintesi sottrattiva
 ( )
rosso
luce bianca
assorbimento – sintesi sottrattiva
 ( )
rosso
luce bianca
gli altri colori sono assorbiti
spettro di assorbimento
Absorbance
spettri di assorbimento: gas molecolari, liquidi
metano
1.2
1
.8
.6
.4
.2
0
3
4
5
10
(m)
© Galactic Industries Corporation,395 Main Street,Salem,NH 03079,USA
anidride carbonica
CO2
Absorbance
2
1.5
1
.5
0
3
(m)
4
5
10
2.10) Un fascio di luce di potenza I0 = 100 mW viaggia in aria e incide normalmente sulla
finestra anteriore di vetro di una cella di spessore L = 10 cm contenente un gas) con
coefficiente di assorbimento per la luce incidente  = 0.05 cm-1. Calcolare la potenza
assorbita complessivamente dal gas nella cella (si trascurino fenomeni di riflessione sulla
finestre di ingresso e uscita).
Riepilogo
n 
εμ
c


v
ε 0μ 0
ε r ( ω)
B
S  E  H  E
μ
1 E02
I  S 
2 Z
E02

2
I ( z)  I 0 e z
indice di rifrazione
vettore di Poynting
ε
1 2
H 02

εE0 v 
μ
2
2
legge di d’Alembert
μ
ε
intensità e.m di
onda monocrom.
5. Radiazione da dipolo oscillante
ovvero: come generare un’onda elettromagnetica?
x
+q
dipolo oscillante
d
z
y
-q
I0
q(t )   Idt   I 0cosωt dt 
sin ωt
ω
I
p
 dI 0
ˆ
ˆ
p  qd x  
sin ωt x
 ω

dipolo oscillante - dimostrazione
A) Risposta in campo vicino
r̂
x

Br  0
B  0
B
Er
E
E

 
r
p t  r
μ 0 sin θ  p t  c
c


4π r 
c
r


 

 
y

 
φ̂
p


r
p t  r 
2 cos θ  p t  c
c




c
r
4πε 0 r 2 

r
p t  r
ptr
sinθ  p t  c
c 
c


4πε 0 r  c 2
cr
r2

 0

r
θ̂
E
z

è ancora: B  k





ma: Er  0
onda non trasversale
dipolo oscillante - dimostrazione
B) Risposta in campo lontano
x

Br  0
μ 0 p0ω sin θ i (k  r  ωt )
 
e
4π
cr
Er  0
E
1 p0ω2 sin θ i (k  r  ωt )
 
e
2
4πε 0 c r
 0
B
p
2
E
k
r
B  0
B
E
y
è:
z

Bk
Ek
onda trasversale
dipolo oscillante
Risposta in campo lontano
x
guardiamo solo al campo elettrico:

E
E
k
r
Er  0
1 p0ω2 sin θ i (k  r  ωt )
 
e
4πε 0 c 2 r
 0
E
p
y
z

l’onda è polarizzata linearmente nel piano
definito dai vettori p e k
dipolo oscillante
il flusso d’energia
x
S

ω4 p02 sin 2θ
S  E H 
rˆ
2
3 2
32π ε 0c r
r
p
z
il flusso di energia è radiale, ma:

y
sin θ
S 
r2
2
x
p
non è un’onda sferica
S()
z
y
dipolo oscillante
applicazioni: antenne radio trasmittenti
sin θ
S 
r2
2
p
S()
dipolo oscillante
Nella materia:
invece, a grande distanza da molti dipoli microscopici:
 onda sferica
dipolo oscillante
infine:
La potenza complessivamente irraggiata è:
W 
 S  dσ

 Sr sinθ dθ dφ
2
Watt 
 ω
4 p2
0
2
μ0
6πc
Riepilogo
Radiazione di dipolo
onda polarizzata linearmente nel piano definito dai vettori p e k
sin 2 θ
I r ,   S 
r2
W 
 Sr sinθ dθ dφ 
2
ω4 p02 μ 0
2
6πc
Potenza complessivamente
irraggiata