TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
prima versione:
equazioni di trasformazione
1
Introduzione alla Grafica Digitale
Visualizzazione e trasformazioni geometriche:
la "catena di montaggio" dell'immagine o "viewing pipeline" :
costruzn. scena in
coordinate-mondo
(modelingtransf.)
trasforma coordin.
mondo in coordin.
vista (viewing)
trasf. coord.vista
in coord.normalizz.
window->viewport
trasforma coordin.
normalizzate in coor.
schermo (device)
l'oggetto (con piu'parti, ciascuna trasformata opportunamente
con traslazione,rotazione,scalaggio) e' definito in coordinate
modello (modelling space), poi inserito in un mondo - coordin.
problema (world coordinate system), in unita' di misura utente
(km, mm, micron,anni luce, secondi, tonnelate); interessa
vedere solo una parte di questo mondo, parte che e' ritagliata
(clipping) dalla finestra di visualizzazione (viewing window)
seguito dalla trasformazione in coordinate schermo ( spesso
c'e' in mezzo un passaggio coord.window in coord. normalizz.
2
in una finestra unitaria (min=zero, max=uno)
due osservazioni:
molto spesso una
scena e' fatta con piu'
oggetti molto simili, ad
es. una scena di
traffico presenta molti
oggetti "automobile",
che possono essere
pensati come repliche
di un unico oggetto
base (piu' istanze di
un ogetto base); un
mazzo di fiori puo'
essere pensato come
un insieme di istanze
dell'oggetto fiore ecc;
3
un'altra caratteristica presente in molte scene e'
l'appartenenza di un oggetto come parte di un sistema
composto, ad es. le dita di una mano hanno una posizione
relativa al braccio P1, e questo a sua volta una posizione
relativa al corpo P2, e infine il corpo ha una posizione
relativa alla scena (al mondo) P3; la posizione del dito e' data
dalla composizione delle tre posizioni relative P1, P2 e P3;
ancora: posizione di un "satellite" di un "pianeta" di un
"sistema solare" di una "galassia" ecc; ->
"composizione e ereditarieta' delle posizioni" :
"pianeta"
"satellite"
"sistema solare"
4
le trasformazioni geometriche sono usate sempre per la
visualizzazione di oggetti:
QuickTime™ and a
TIFF (Uncompressed) decompressor
are needed to see this picture.
5
a) Translation (2 parameters)
c) Rotation (1 parameter +P)
b) Scale (2 parameters + P)
d) Shear (2 parameters)
le trasformazioni affini conservano il parallelismo
6
Trasformazioni geometriche
Le trasformazioni
geometriche
permettono di
istanziare una
stessa geometria
con attributi diversi
(posizione,
orientamento,
fattori di scala) .
7
Trasformazioni geometriche
Entità geometriche
– Punto - entità geometrica caratterizzata da un
solo attributo: la posizione rispetto ad un sistema
di riferimento (x,y) in 2D, (x,y,z) in 3D
– Vettore - entità geometrica caratterizzata da due
attributi: lunghezza e direzione (l,x,y) in 2D
– Lunghezze, angoli, etc. sono espresse mediante
scalari.
8
Trasformazioni geometriche
Spazio vettoriale
Due entità:
Scalari (a, b, c, … )
Vettori (T, U, V, … ).
Operazioni:
Somma e moltiplicazione di scalari;
Somma vettore + vettore;
Moltiplicazione scalare * vettore.
9
Trasformazioni geometriche
Spazio affine
Tre entità:
Scalari (a, b, c, … )
Vettori (T, U, V, … )
Punti (P, Q, R, … )
Operazioni:
Le operazioni di uno spazio vettoriale,
Somma punto + vettore (restituisce un punto),
Sottrazione punto - punto (restituisce un vettore).
10
Trasformazioni geometriche
Le trasformazioni geometriche sono lo strumento che consente
di manipolare punti e vettori all’interno del mondo
dell’applicazione grafica;
Le trasformazioni geometriche sono funzioni che mappano un
punto (vettore) in un altro punto (vettore);
La trasformazione di una primitiva geometrica si riduce alla
trasformazione dei punti caratteristici (vertici) che la
identificano nel rispetto della connettività originale. Questo
grazie al fatto che trattiamo di trasformazioni affini;
il resto della primitiva grafica, ridisegnato sulla base dei
punti caratteristici nuovi, sara' disegnato trasformato di
conseguenza (es. per un'ellisse o un cerchio: si trasla il
centro e si ridisegna con lo stesso raggio)
11
Trasformazioni geometriche
Le trasformazioni geometriche affini sono
trasformazioni lineari
Esse preservano:
collinearità (I punti di una linea giacciono ancora su
di una linea dopo la trasformazione);
rapporto tra le distanze (Il punto medio di un
segmento rimane il punto medio di un segmento
anche dopo la trasformazione).
12
Trasformazioni geometriche
operazioni base usate nel processo di
visualizzazione sono:
trasformazioni geometriche nel piano 2D, un primo elenco:
traslazione (translation)
rotazione (rotation)
scalatura (scaling)
inclinazione (shear)
(= scalatura e cambio angolo degli assi x,y)
13
Trasformazioni geometriche
operazioni base usate nel processo di
visualizzazione sono:
trasformazioni geometriche nel piano 2D, attorno l'origine:
traslazione (translation):
x1 = x+tx; y1 = y+ty;
rotazione (rotation)
x1= x*cos(a)-y*sin(a); y1= x*sin(a)+y*cos(a);
scalatura (scaling)
x1 = x*sx; y1 = y*sy;
inclinazione (shear)
(= scalatura e cambio angolo degli assi x,y)
x1 = x+shx*y; y1 = y+x*shy; (dove shx oppure shy e' zero)
14
Trasformazioni geometriche
operazioni base usate nel processo di visualizzazione sono:
trasformazioni geometriche nel piano 2D attorno l'origine - elenco:
traslazione (translation)
rotazione (rotation)
scalatura (scaling)
inclinazione (shear)
inoltre nel passaggio da scena utente a immagine su schermo:
eliminazione parti fuori scena (clipping)
riempimento parti a colore pieno (filling)
mascheramento (masking) di parti coperte da altri
oggetti sullo schermo (es. menu', altre finestre ecc)
==>> vediamo in
dettaglio queste trasformazioni
15
Trasformazioni geometriche - traslazione
trasformazioni geometriche nel piano:
traslazione (translation):
x1=x+tx; y1=y+ty;
in notazione vettoriale: rappresento con vettore colonna
| x|
P = | y|
da cui :
| x' |
P' = | y' |
| tx |
T = | ty |
P' = P + T
la traslazione trasforma un oggetto grafico (geometrico)
senza deformazione, ogni punto dell'oggetto e' traslato per la
stessa quantita';
la traslazione dell'oggetto avviene traslando tutti i punti
dell'oggetto e poi ridisegnando l'oggetto
16
Trasformazioni geometriche- traslazione
traslazione (translation):
x2 = x1 + tx; y2 = y1 + ty;
P2 = P1 + T
| x1 |
| x2 |
P1 = | y1 | P2 = | y2 |
| tx |
T= |t |
y
17
Trasformazioni geometriche- traslazione
traslazione (translation):
x1=x+tx; y1=y+ty;
in notazione vettoriale: P' = P + T con
P = | X1 |
P' = | X' 1 |
T = | tx |
| X2 |
| X' 2 |
| ty |
la traslazione trasforma senza deformazione,
"tutti" i punti dell'oggetto sono traslati e poi ridisegnati ... ma:
per un'ellisse o un cerchio: si trasla il centro e si ridisegna;
curve a tratti di cubiche (spline): si traslano i punti pivot e poi si ridisegna;
vi sono funzione per traslare (tutti gli oggetti) in tutti i linguaggi
o librerie (classi); l'effetto o significato e':
tutti gli oggetti disegnati dopo la chiamata alla opportuna
"Translate" (punti o vertex) sono visualizzati traslati;
18
Trasformazioni geometriche- traslazione
ancora qualche osservazione:
la traslazione cambia nello stesso modo
tutti i punti del piano,
==>> non c'e' un punto fisso (pivot) come
c'e' nella rotazione o nello scalaggio (vedremo);
composizione di piu' traslazioni:
posso applicare piu' traslazioni in ordine arbitrario,
se
x' = x + Tx
x'' = x' + T'x
e se
=
x'' = x' + T'x
x + Tx + T'x
allora
=
x + T'x + Tx
19
Trasformazioni geometriche - rotazione
trasformazioni geometriche nel piano:
2) rotazione (rotation) attorno l'origine:
x1=x*cos(a)-y*sin(a);
y1=x*sin(a)+y*cos(a);
queste equazioni si ottengono ricordando le coordinate polari:
r
x = r*cos(a) y = r*sin(a)
y
a
rotazione: cambio angolo a, ovvero:
x
a' = a+da da cui:
x' = r*cos(a+da) = r*cos(a) * cos(da) - r*sin(a) * sin(da)
y' = r*sin (a+da) = r*cos(a) * sin (da) + r*sin(a) * cos(da)
quindi
x' = x * cos(da) - y * sin (da)
y' = x * sin (da) + y * cos(da)
20
Trasformazioni geometriche - rotazione
la rotazione (nel piano
x,y) e' sempre attorno ad
un punto, qui, l' origine:
in OGL si specifica
l'angolo e l'asse attorno
cui si ruota:
P1
P
da
glRotatef
( alfa,
0.,0.,1.
);
nota: la rotazione in generale si riferisce ad un asse di
rotazione (che puo' essere diverso dagli assi x, y e z) la rotazione nel piano x,y e' una rotazione attorno l'asse z !
21
Trasformazioni geometriche - rotazione
rotazione di un angolo a attorno all'origine :
essendo
x = r*cos(a) y = r*sin(a), e dato che una
rotazione cambia angolo a, ovvero: a' = a+da, si ottiene:
x2 = x1 * cos(da) - y1 * sin (da)
y2 = x1 * sin (da) + y1 * cos(da)
notazione vettoriale: la rotazione e' data dalla moltiplicazione
del punto (vett.colonna) per la matrice di rotazione :
P2 = R * P1
con
R=
| cos(da) -sin(da) |
| sin(da) cos(da) |
22
Trasformazioni geometriche - rotazione
se applico di seguito due rotazioni con angolo da1 e da2
(sempre attorno all'origine) ho
a2 = a + da1 + da2
e vale la formula riportata prima, (l' ordine non importa!) :
x1 = x * cos(da1) - y * sin (da1)
y1 = x * sin (da1) + y * cos(da1)
P1''
P1'
P1 = R1 * P (notazione vettor.)
x2 = x1 * cos(da2) - y1 * sin (da2)
y2 = x1 * sin (da2) + y1 * cos(da2)
da2
da1
P1
P2 = R2 * P1
P2 = R2*R1*P = R21 * P
con R21 = R2*R1
23
abbiamo visto la rotazione attorno all'origine;
vediamo ora una rotazione attorno
un punto generico Q (xcr, ycr)
detto centro di rotazione:
P1'
P1
da
y-ycr
Q
ycr
xcr
x=xcr + (x-xcr)
y=ycr + (y-ycr)
x-xcr
e quindi:
x' = xcr + (x-xcr ) * cos(da) - (y-ycr ) * sin(da)
y' = ycr + (x-xcr ) * sin(da) + (y-ycr ) * cos(da)
24
rotazione attorno a un punto generico(xcr , ycr)
x' = xcr + (x-xcr ) * cos(da) - (y-ycr ) * sin(da)
y' = ycr + (x-xcr ) * sin(da) + (y-ycr ) * cos(da)
ottengo la stessa cosa con lo schema seguente:
1) trasla in modo che il punto va nell'origine
2) ruota quanto richiesto attorno l'origine, poi
3) trasla indietro il punto dall'origine al suo posto
in OpenGL: ...
glTranslatef( MyCenterX, MyCenterY, 0.0 );
glRotatef ( alfa, 0.0, 0.0, 1.0 );
glTranslatef( -MyCenterX, -MyCenterY, 0.0 );
...
in Java2D e'definita la rotazione attorno un punto
trasfCorr.rotate( ang, xc, yc );
25
nota: le operazioni di traslazione e di rotazione NON sono commutative !
due trasformazioni dello stesso tipo sono commutative,
ad es. traslazioni: T2 ( T1 ( P )) == T1 ( T2 ( P))
oppure rotazioni: R1 ( R2 ( P )) == R1 ( R2 ( P))
scalatura:
S2 ( S1 ( P )) == S1 ( S2 ( P))
ma non in generale:
T2 ( R1 ( P ) ) != R1 ( T2 ( P ) )
esempio..
26
trasla
poi
ruota
centro di
rotazione
3
2
1
ruota
centro di
rotazione
poi
trasla
2
3
1
traslazione e rotazione non sono commutative l'ordine delle trasformazioni e' importante !
27
nota: in generale una trasformazione affine che trasforma un
oggetto di punti in un nuovo oggetto (fatta da zero o piu'
traslazioni, rotazioni e scalature) e' reversibile,
e puo' essere invertita con una "anti-trasformazione" :
ad esempio la sequenza
trasla1-ruota2-trasla3-scala4
seguita da una sequenza
anscala4-antrasla3-anruota2-antrasla1
(dove "antrasla" sta per l' antitrasformata della trasla ecc)
che riporta l'oggetto alla situazione iniziale
(attenzione all'ordine)
unica eccezione:
la scalatura per fattore
zero non e' reversibile:
un fattore di scala zero distrugge l'immagine!
28
trasformazioni geometriche nel piano: abbiamo visto la
traslazione x1=x+tx;
y1=y+ty;
e la
rotazione
x1=x*cos(a)-y*sin(a); y1=x*sin(a)+y*cos(a);
vediamo ora
scalatura (scaling)
x1=x*sx; y1=y*sy;
i fattori di scala sx e sy sono numeri positivi
sx>1 ingrandisce, sx<1 rimpiccolisce
nota che sx in genere e' diverso da sy !
notazione vettoriale: P' = S * P
dove P e P' sono due punti,
e S e' una matrice 2x2
S = | sx 0 |
| 0 sy |
29
la trasformazione di scala (vista) si intende rispetto l' origine
l'origine == punto (0,0) NON cambia posizione
tutti gli altri punti in generale si'
(ma nella figura in basso tutti i punti sull'asse y non cambiano posizione)
---------->>
x' = x * 2.0;
y' = y * 2.0;
---------->>
1
1
---------->>
x' = x * 2.0;
y' = y;
---------->>
1
1
30
la trasformaz.e di scala vista ora si intende rispetto l' origine
l'origine == punto (0,0) NON cambia posizione
anche la trasformazione di scala (come la rotazione) ha un
centro di trasformazione !
nota: un fattore di scala <1 avvicina gli oggetti all'origine
(oltre che rimpiccolirli), un fattore di scala > 1 allontana gli
oggetti dall'origine.
per l'operazione di scalatura attorno un punto generico
"centro scalatura" si procede come per la rotazione:
1) trasla fino a portare il punto fisso nell' origine: P' = P - CS
2) scala P'' = S * P' (quindi x'' = sx*x' = sx*( x-x0 ) ..
3) trasla indietro: P''' = P''+CS (x'''=x''+x0= sx*( x-x0 )+x0 ..)
l'effetto complessivo e' la trasformazione di scala attorno il
punto fisso:
x = Sx * (x - x0) + x0;
31
y = Sy * (y - y0) + y0;
---------->>
x' = 2 * (x - 1) + 1;
y' = 2 * (y - 1) + 1;
---------->>
1
1
1
1
---------->>
x' = 2 * (x -1) + 1;
y' = y;
---------->>
1
2
1
3
32
abbiamo visto le trasformazioni geometriche nel piano:
traslazione (translation):
rotazione (rotation)
x'=x*cos(a)-y*sin(a);
scalatura (scaling)
x'=x+tx; y'=y+ty;
y'=x*sin(a)+y*cos(a);
x'=x*sx; y'=y*sy;
vediamo la trasformazione di scorrimento rispetto un asse:
o deformazione (scorrimento o inclinazione ) rispetto un'asse,
in inglese shear:
shear x'=x+shx*y; y'=y;
es:
33
shear | sh i(ə)r| |ʃɪ(ə)r| |ʃɪə|
verb ( past part. shorn | sh ôrn| |ʃɔrn| |ʃɔːn|or sheared
|ʃɪ(ə)rd|)1 [ trans. ] cut the wool off (a sheep or other
animal).･ ...| [ trans. ] the left wing had been almost
completely sheared off.
noun a strain in the structure of a substance produced by
pressure, when its layers are laterally shifted in relation to
each other. See also wind shear .
ORIGIN Old English sceran (originally in the sense [cut
through with a weapon] ), of Germanic origin; related to
Dutch and German scheren, from a base meaning ﾔ
divide, shear, shave.ﾕ
34
la trasformazione
shear x'=x+shx*y; y'=y;
in generale si puo' avere uno scorrimento rispetto una retta
generica, ad es:
x'=x + shx * ( y - yrif ); y'=y;
qui x' = x + 0.4 * (y - yref ); y' = y; con yref = -2
analogamente per scorrimento in direzione dell'asse y
35
abbiamo visto le trasformaz.i geometriche nel
piano:
traslazione (translation):
rotazione (rotation)
x1=x*cos(a)-y*sin(a);
scalaggio (scaling)
x1=x+tx; y1=y+ty;
y1=x*sin(a)+y*cos(a);
x1=x*sx; y1=y*sy;
shear (deformaz. di scorrimento lungo asse x o y )
x1=x+shx*y; y1=y+x*shy; dove o shx oppure shy e'
zero
36
abbiamo visto le trasformaz.i geometriche nel piano:
traslazione (translation): x1=x+tx; y1=y+ty;
rotazione (rotation) x1=x*cos(a)-y*sin(a); y1=x*sin(a)+y*cos(a)
scalaggio (scaling)
x1=x*sx; y1=y*sy;
shear (inclinazione/deformaz. di scorrimento lungo asse x o y )
x1=x+shx*y; y1=y+x*shy; dove o shx oppure shy e' zero
rimangono da vedere (ma lo vedremo piu' in la') :
riflessione attorno una retta o attorno ad un punto,
eliminazione parti fuori scena (clipping)
riempimento parti a colore pieno (filling)
mascheramento (masking) di parti coperte da altri
oggetti sullo schermo (es. menu', altre finestre ecc)
37
MATRICI E COORDINATE OMOGENEE
una trasformazione affine nel piano
si puo' scrivere nella forma matriciale:
P1 = M1 * P + M2
con P1, P punti del piano
e con M1 matrice 2x2,
M2 matrice colonna di 2 elementi (usata per la
traslazione)
38
trasformazione affine nel piano in forma matriciale:
P1 = M1 * P + M2 dove P1, P sono punti del piano,
M1 matrice 2x2, M2 matrice colonna di 2 elementi (traslaz.)
traslazione: x1=x+tx;y1=y+ty; in notazione vettoriale:
P = (x,y), P' = (x',y'), T =(tx,ty), da cui :
P' = P + T
rotazione: x'= x*cos(da)-y*sin(da), y'= x*sin(da)+y*cos(da)
in notazione vettoriale: P1 = R * P
con la matrice
R=
| cos(da) -sin(da) |
| sin(da) cos(da) |
scalatura: x1=x*sx; y1=y*sy; in notazione vettoriale:
P2 = S * P
39
traslazione: in notazione vettoriale:
P = (x,y), P' = (x',y'), T =(tx,ty), da cui :
P' = P + T
rotazione: in notazione vettoriale:
P1 = R * P
| cos(da) -sin(da) |
| sin(da) cos(da) |
scalatura: in notazione vettoriale:
P3 = S * P2
con la matrice
R=
rotazione e scalatura possono essere concatenate:
P3 = S * P2 = S * ( R * P1 ) = (S * R ) * P1 = M * P1,
M matrice 2x2, P punto del piano; ma attenzione:
la traslazione non puo' essere concatenata e inglobata in
un'unica matrice (non e' un prodotto, e' una somma);
40
trasformazione generica:
P2 = M3 * ( M1 * P1 + M2 )
per ridurre la trasformazione nella forma
P2 = Mx * P1
cioe' per evitare la M2 sopra cioe'
per ottenere una trasformazione generica nel piano
con una unica operazione di prodotto di matrice
si passa alle coordinate omogenee:
invece di rappresentare un punto P con (x,y)
si rappresenta
un punto del piano con una terna (xh, yh, h)
dove h e' un fattore moltiplicativo non nullo,
si ottiene la coppia di coordinate x,y dividendo per h:
(xh/h, yh/h, 1)
i punti (xh,yh,h) sono tutti i punti della retta verticale con z=h,
41
retta che interseca il nostro piano (x,y) in h=1;
in coordinate omogenee: un punto del piano (x,y)
e' rappresentato da una terna (xh, yh, h) dove h e'
un fattore moltiplicativo non nullo, si ri-ottiene la
coppia di coordinate x,y dividendo per h: (xh/h,
yh/h, 1) -->> con questa notazione si puo' esprimere
anche la traslazione
con un prodotto di matrici:
traslazione: P' = MT * P
con P' =
x'
y' ,
1
1 0 tx
MT = 0 1 ty
0 0 1
e P=
x
y
1
punto nuovo = matrice per punto vecchio,
in notazione con coordinate omogenee anche la traslazione e'
un prodotto di matrice per vettore.
ricorda che era x1=x+tx; y1=y+ty; con notazione vettoriale:
P = (x,y), P' = (x',y'), T =(tx,ty), da cui : P' = P + T
in notazione vettoriale traslazione = somma di due vettori,
42
in coordinate omogenee: (xh, yh, h)
traslazione: P' = MT * P
con P' =
x'
y', MT =
1
1 0 tx
0 1 ty
0 0 1
rotazione:
P' = MR * P dove
x'
P' = y'
1
cos a
MR = sin a
0
e P=
-sin a 0
cos a 0
0
1
scalatura: x1=x*sx; y1=y*sy; ovvero
che in coordinate omogenee diventa:
x'
sx
0
0
P' = y'
MS = 0
sy 0
1
0
0
1
x
y
1
x
P= y
1
P' = S * P
x
P = y
1
43
trasformazioni inverse:
spesso si ha necessita' di eseguire la trasformazione inversa,
ovvero di dover ritornare al sistema di coordinate
precedente; tutte le trasformazioni viste hanno l'inversa:
traslazione
rotazione
scalatura
trasf.diretta
trasf.inversa
1 0 tx
0 1 ty
0 0 1
1 0 -tx
0 1 -ty
0 0 1
cos(a) -sin(a) 0
sin(a) cos(a) 0
0
0
1
sx 0
0 sy
0
0
0
0
1
cos(a) sin(a) 0
-sin(a) cos(a) 0
0
0
1
1/sx 0
0
1/sy
0
0
0
0
1
44
trasformazioni composte: posso applicare in catena piu'
trasformazioni, ad es due traslazioni M" e M'
P" = M" * P' = M" * ( M' * P ) = (M" * M') * P
traslazioni: vale la proprieta' associativa (anche commutativa) e
la matrice di trasformazione e' la somma delle due matrici;
per le rotazioni: M" = M(b) (angolo b), M'=M(a) (angolo a)
P" = M(b) * P' = M(b) * ( M(a) * P ) = (M(b) * M(a)) * P
la matrice risultante e' M(b+a) come intuitivo (somma delle due
rotazioni attorno l'origine): anche per le rotazioni valgono le
proprieta' associativa e commutativa;
per scalatura: M"(sx",sy"), M'(sx',sy') si puo' verificare che
la matrice risultante M = M" * M' = M(sx'*sx", sy'*sy")
e' data dai fattori di scala che sono il prodotto dei singoli fattori
ricordiamo che un fattore zero non e' invertibile ;-) anche per
la scalatura valgono le proprieta' associativa e commutativa45
trasformazioni composte: posso applicare in catena piu'
trasformazioni:
per trasformazioni dello stesso tipo
valgono le proprieta' associativa
P2 = M1 * M2 * M3 * P1
= ( M1 * (M2 * M3) ) * P1
= (((M1 * M2) * M3 ) * P1
e anche commutativa:
P2 = M1 * M2 * M3 * P1
= M2 * M1 * M3 * P1
= M3 * M1 * M2 * P1
ecc
ma attenzione: in generale per trasformazioni diverse
(rotazioni e/o traslazioni e/o scalature )
NON vale la proprieta' commutativa,
46
l'ordine con cui si applicano le trasformazioni e' importante
nota:
nel caso della vusualizzazione di scene complesse ogni
pezzo (ogni punto, poligono ecc) e' soggetto in generale a
una catena di trasformazioni (anche diverse decine)
che si traducono sempre
in una unica matrice di trasformazione !
==>> questo e' importante per la velocita' con cui sono
trasformati i sigoli punti (o i singoli triangoli) per passare
dalle coordinate del modello attraverso le coordinate mondo
ecc fino alle coordinate schermo
47
trasformazioni composte:
rotazione attorno un punto pivot generico (diverso da 0,0)
la matrice di trasformazione si ottiene applicando tre
trasformazioni:
trasla per portare il pivot nell'origine
ruota attorno origine
trasla indietro per riportare il pivot al suo posto:
prodotto delle tre matrici T(xp,yp), R(a), T(-xp,-yp)
1 0 xp
cos(a) -sin(a) 0
1 0 -xp
0 1 yp
sin(a) cos(a) 0
0 1 -yp
0 0 1
0
0
1
0 0 1
ottengo: M = T(xp,yp) * R(a) * T(-xp,-yp)
cos(a)
sin(a)
0
-sin(a)
cos(a)
0
xp(1-cos(a)) + yp sin(a)
yp(1-cos(a)) - xp sin(a)
1
48
trasformazioni composte:
scala attorno un punto pivot generico SG (scala generica)
diverso dall'origine 0,0 :
il procedimento e' lo stesso:
trasla + scala + traslaindietro: quindi prodotto delle tre matrici:
1
0
0
0
1
0
xp
yp
1
sx 0 0
0 sy 0
0 0 1
1 0 -xp
0 1 -yp
0 0 1
=
sx 0
0 sy
0 0
xp(1-sx)
yp(1-sy)
1
T(xp,yp)*S(sx,sy)*T(-xp,-yp) = SG(xp,yp,sx,sy)
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ricorda:
il prodotto di matrici e' associativo, ovvero:
M4 = M3 * M2 * M1 = (M3 * M2) * M1 = M3 * (M2 * M1)
quindi posso ottenere la M4 sia moltiplicando da sinistra a
destra (pre-moltiplica) sia da destra a sinistra (post-molt);
il OpenGL richiede che le trasformazioni siano attivate
nell'ordine in cui devono essere applicate; nel caso sopra,
prima la M1, poi la M2, poi la M3
ancora:
se devo traslare un oggetto e poi ruotarlo, allora applico prima
la glTranslatef(xx,yy,zz) e poi la glRotatef(a,b,g,1)
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trasformazioni composte:
l'OpenGL prevede delle procedure per posizionare le
matrici di trasformazione specificando non tutta la
matrice ma solo i parametri essenziali (libreria gl.h) :
glTranslatef(dX,dY, dZ); // trasla floating
glRotatef(rEta,x,y,z); // ruota float
glScalef(sx, sy, sz); // fattore di scala float
sono proc in 3D, per 2D mettere a zero dZ,z, e a uno sz.
Java2D prevede procedure analoghe:
trasfCorr.rotate( ang );
trasfCorr.translate( dx, dy );
trasfCorr.shear( shx, shy );
trasfCorr.scale( sx, sy );
trasfCorr.rotate( ang, xc, yc );
dove trasfCorr e' una trasformazione definita:
AffineTrasform trasfCorr = ...
ricorda che il fattore di scala zero NON e' reversibile !!
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Introduzione alla Grafica Digitale - riassumendo:
trasformazioni geometriche nel piano:
traslazione (translation):
x1=x+tx; y1=y+ty;
rotazione (rotation)
x1=x*cos(a)-y*sin(a); y1=x*sin(a)+y*cos(a);
scalatura (scaling)
x1=x*sx; y1=y*sy;
vedremo piu' avanti alcuni cenni su :
eliminazione parti fuori scena (clipping)
riempimento parti a colore pieno (filling)
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