Propagazione in mezzi
anisotropi
Calcite (CaCO3)
Legami diversi in differenti direzioni
Calcite (CaCO3)
Legami diversi in differenti direzioni
Risposta anisotropa:
k y  kx

Fext  Feˆx
 F
  eˆx
kx

Fext  Feˆ y
 F
  eˆ y
ky
Se la forza è obliqua lo spostamento non è parallelo alla forza

Fext  F eˆx  eˆ y 
 F
F
  eˆx  eˆ y
kx
ky
Risposta anisotropa:

 
 
D   o E  P   o r E
  xx


D   o   yx

 zx
 xy
 yy
 zy
 xz 

 yz  E

 zx 
z
x
y
Dielettrici anisotropi
  xx


D   o   yx

 zx
 xy  xz 

 yy  yz  E

 zy  zx 
Se sistema non assorbente
 ij   ji
Assi principali
 x


D  o 0
0

0
y
0
0

0 E

z 
Di   o i Ei
I° Equazione Maxwell
 
Di
 i Ei
D  
 o 

xi
xi
i
i
 
Ei
 o i
0
 E  0
xi
i
Se polarizzazione lungo asse principale
 
 E  0
Equazioni onde

2
     

 E
2
    E     E   E    2
t

 

Onde piane


  
  


2
2
 k  k  E  (k  E )k  k E   E

1 
  o o  r  r  2  r
c
Equazioni Onde mezzi anisotropi


  
   2
2  
k  k  E  (k  E )k  k E   2  r E
c
 2
 2  x  k y2  k z2
c

k y kx



kx kz


kx k y
2
c2
 y  k x2  k z2
k y kz


kx kz
 E x 
 
k y kz
 E y   0
 E z 
2

2
2


k

k
z
x
y 
2
c

Materiali uniassici dielettrici (o)
 x   y  no2
 z  ne2
Equazioni Onde mezzi uniassici (kx=0)
  2 no 2
 2  k y2  k z2
 c

0



0


0
 no
2
c2
2
 k z2
k y kz


0
 E x 
 
k y kz
 E y   0
 E 
2 2
 z
 ne
2
 ky 
2
c

2
2
2 2

  2 no 2




 2 2

n

ne
2
2
2
2
o
 2  k y  k z   2  k z  2  k y   k y k z   0
 c
  c
 c



 


Equazioni Onde mezzi uniassici (kx=0)
Onda ordinaria
  2 no 2

2
2
 2  k y  kz   0
 c




E  ( E x ,0,0)
z


k
Onda straordinaria
2 2
  2 no 2


 2 2

ne
2
2
 2  k z  2  k y   k y k z   0
 c

 c

no k  ne k 
2
2
y
2
2
z
 ne no
2
2
c2
2

E  (0, E y , E z )

2
2
2
ne no
 k  2 2
c ne cos 2   no 2 sin 2 
2
y
Superfici isofrequenza
ne  no
no k y2  ne k z2 
2
2
 2 ne 2 no 2
c2
ne  no
kz
kz
ne ( )
c
ne ( )
 no
c
 no
c
c
ky
Positivo
Ghiaccio 1.309
Quarzo 1.544
ZnS
2.354
1.310
1.553
2.358
ky
Negativo
Tormalina 1.638 1.618
Calcite
1.658 1.486
KDP
1.507 1.467
Equazioni Onde mezzi uniassici (kx=0)
Onda ordinaria (TE)
k 
2
 2 no
c
z

Eo  ( E x ,0,0)
2
2


Eo

k
y
Onda straordinaria (TM)
k 
2
 ne  
2
2
c2
1
ne  
2
cos 2  sin 2 


2
2
no
ne

Ee  (0, E y , E z )
z


k

Ee
y
Equazioni Onde mezzi uniassici (kx=0)
Onda ordinaria (TE)
k 
2
 no
2
2
2
2 
c2
2
c k
no
z

2

Eo

k
y
Onda straordinaria (TM)
k 
2
 ne  
2
2
c2
2 
c 2k 2
ne  
2
z

c 2k 2
ne  
2
2
2
2
2




k
sin 
y
2 2 cos 
2 kz
c k 

c  2  2
2
2 
ne 
ne 
 no
 no

k

Ee
y
elisse
Equazioni Maxwell in onde piane
 
k D  0
 
k B  0


D   o E
 

k  E  B
 

k  H  D

H

B
o

H 

D
k


cD
n( )
 


k D  0
D  E
 

k  H  D
Onda ordinaria
 n
ko  o 0, sin  , cos  
c

Do  D(1,0,0)


D
c
Eo 
(1,0,0)
H o  D(0, cos  , sin  )
 o x
no
z
 
Eo , Do


ko

Ho
y
Onda straordinaria
 n ( )
0, sin  , cos  
ke  e
c

De  D(0, cos  , sin  )

D  cos  sin  

Ee   0,
,
o   x
z 
z

Ho 
c
D (1,0,0)
ne ( )

He

x

ke

 Ee
De
y
Onda ordinaria
 n
ko  o 0, sin  , cos  
c


D
c
Eo 
(1,0,0)
H o  D(0, cos  , sin  )
 o x
no


c
2
S
D (0, sin  , cos  ) // k
 o x no
z
 
Eo , Do


ko

Ho
y
Onda straordinaria
 n ( )
0, sin  , cos  
ke  e
c


D  cos  sin  
c

Ee   0,
,
He 
D(1,0,0)
o   x
z 
ne ( )


c
sin  cos  
2
 // k
S
D  0,
,
 o ne ( )
x 
 z
z


He
x

ke

 Ee
De
y
Onda ordinaria
 n
ko  o 0, sin  , cos  
c


D
c
Eo 
(1,0,0)
H o  D(0, cos  , sin  )
 o x
no


c
2
S
D (0, sin  , cos  ) // k
 o x no
z
 
Eo , Do


ko

Ho
y
Onda straordinaria
 n ( )
0, sin  , cos  
ke  e
c


D  cos  sin  
c

Ee   0,
,
He 
D(1,0,0)
o   x
z 
ne ( )


c
sin  cos  
2
 // k
S
D  0,
,
 o ne ( )
x 
 z

Se
z


He
x

ke

 Ee
De
y
Velocità di gruppo onda straordinaria
2 2
k c
 
2
ne  
2
2
z
2
o
2
2
2
2




k
sin 
y
2 2 cos 
2  kz


 k c 


c

2
2 
n 2 n 2 
n
n
e
e 
 o

 o
k y2
k
kc
 c
 2 
ne  
n
ne

 sin  cos  

c 2  k y k z 

vg   k 
0, 2 , 2  ne ( )c 0,
,
  ne no 
x 
 z

c
sin  cos  
1
2
2


S
D  0,
,

D vg
2

 0 ne ( )
 x   0 ne ( )
 z
Velocità energia e velocità di gruppo onda straordinaria


S  U em ve

De  D(0, cos  , sin  )


D  cos  sin  
c

Ee   0,
,
He 
D (1,0,0)
0   x
z 
ne ( )
  * D 2  cos 2  sin 2  

 
U em  Ee  De 

0   x
z 
D  cos 2  sin 2  
D




2
2 
2

 0  no
ne   0 ne ( )


 
1
2
S
D v g  U em v g
ve  v g
 0 ne ( )
2
2
Velocità energia=Velocità gruppo
 

k  E  H
1
 

k  H  E
  




k  E  k  E  H  H



   

 k  H  k  H  E  E


H 
 

 E







  




k  E  k  E  H  H  H
  




k  H  k  H   E  E  E






  
  
  
A B  C  B  C  A  C  A B

Velocità energia=Velocità gruppo









2
 
 
  
  





k  E  H  k  E  H   H  H   H  H

 
 


   

 k  E  H  k  H  E   E  E   E  E


 
E  E  E  E





H  H  H  H












  
   
 
2k  E  H  k  E  H  k  H  E 

  


 
 H  H  E  E   H  H  E  E


 


  

  
2k  E  H   H  H  E  E 
  

 


 
 k  E  H  k  H  E   H  H  E  E
 


Velocità energia=Velocità gruppo







3

  

  
2k  E  H   H  H  E  E 
  
  


 
E  k  H  H  k  E   H  H  E  E



 


  

  
2k  E  H   H  H  E  E 
  

  

E  k  H  E  H  k  E  H  0





  
  
1 
k  E  H   H  H  E  E
2

 S
  k 
U el



 

  k   k  k

Doppia rifrazione
NOTA: effetto anche ad incidenza normale
Doppia rifrazione
 no
c
kz

c
ne ( )
c
ky
Doppia rifrazione
kn
ky
kz
ne ( )
 no
c
c

c
k||

k
Doppia rifrazione
kn
ky
kz
ne ( )
 no
c
c

c
k||

k

S
Lamine ritardanti
 n
k e  e eˆ y
c
 n
k o  o eˆ y
c
y
 no
c

c
z
ne ( )
c
Lamine ritardanti
e 
 n
k e  e eˆ y
c
 n
k o  o eˆ y
c
ne
d
2ne
d
c

no
2no
o 
d
d
c

Ein  E0 eˆx  eˆz e j ky t 


Eout  E0 eˆx e jo  eˆz e je e j ky t  
x
y


 E0 eˆx  eˆz e j (e o ) e jo e j ky t 
z
d
e  o 
2

d ne  no 
Lamine /2
e 
ne
d
2ne
e  o   (2m  1)
d
c

n
2ne
o  o d 
d
c

Ein  E0 eˆx  eˆz e j ky t 


Eout  E0 eˆx  eˆz e j e jo e j ky t  
 E0 eˆx  eˆz e jo e j ky t 
x
y
z

 1
d    m 
2
 ne  no
Lamine /4
1
2
 e   o   ( 2m  )
Ein  E0 eˆx  eˆz e j ky t 

j 

Eout  E0  eˆx  eˆz e 2 e jo e j ky t  


 E0 eˆx  jeˆz e jo e j ky t 

 1
d    m 
4
 ne  no
Polarizer prisms
Glan Thompson
Glan Foucault
TIR+
Brewster
Wollaston
Glan Taylor