Elettrostatica • Mentre ci è molto familiare l’interazione gravitazionale – soprattutto la forza peso, – ma anche attraverso il moto ordinato dei pianeti attorno al sole • Solitamente non riusciamo a percepire direttamente le interazioni elettromagnetiche – ma solo attraverso gli effetti secondari da esse prodotte – come la forza elastica, reazioni vincolari, forze di attrito, etc. • Comunque le proprietà dell’ambra (electron) strofinata di attirare piccoli frammenti di foglie secche era nota sin dall’antichità (~600 ac) – ora possiamo usare pezzi di plastica, l’astuccio di una penna a sfera – si tratta di una forza intensa, sicuramente più intensa della forza peso – piccoli pezzi di carta vengono sollevati • Così come abbastanza familiari sono le scariche elettriche (lampi, fulmini) nell’atmosfera in occasione di temporali G.M. - Edile A 2002/03 La carica elettrica • Le interazioni elettromagnetiche si manifestano tra cariche elettriche. • Oggi sappiamo che la carica elettrica è una proprietà fondamentale dei costituenti dell’atomo • La carica si misura in C (coulomb) – Non è una unità fondamentale di SI – Si definisce attraverso l’ampere, l’unità della corrente elettrica. • 1 C è la carica che attraversa in 1 s la sezione di un conduttore percorso da una corrente di 1 A G.M. - Edile A 2002/03 Due tipi di cariche • Gli elettroni • I protoni • I neutroni (carica negativa q=-e) (carica positiva q=+e) (neutri q=0) • In un atomo ci sono esattamente tanti elettroni quanti protoni – L’atomo è complessivamente neutro – La carica non dipende dalla velocità • La carica è quantizzata – Ogni particella ha una carica e=1.602x10-19 C n p e • La carica elettrica si conserva 1031 – Stabilità del protone (vita media anni) e dell’elettrone – La carica viene conservata anche nei processi elementari • I quark neut ro neut ro e e n eutro Caricare un oggetto significa sottrargli o fornirgli un certo numero di elettroni G.M. - Edile A 2002/03 Il comportamento dei materiali • Conduttori • Isolanti • • Sono caratterizzati da cariche che possono muoversi in tutto il volume occupato dal materiale – Acqua pura, gas non ionizzato, materiali plastici, vetro, etc – Materiali metallici (rame, argento, alluminio, etc. • Elettroni – Soluzioni • Ioni positivi e negativi – Gas ionizzati • sia elettroni, che ioni positivi, che negativo (gas elettronegativi) Le cariche non sono libere di muoversi all’interno del materiale • Semiconduttori • • • Per esempio Silicio e germanio hanno una limitata conducibilità elettrica partecipano alla conduzione sia gli elettroni che le lacune (i posti lasciati liberi dagli elettroni G.M. - Edile A 2002/03 L’induzione elettrostatica • Caricare un oggetto significa sottrargli o fornirgli un certo numero di elettroni • Se si avvicina una carica ad un conduttore – Le cariche mobili presenti nel conduttore saranno attratte o respinte dalla carica esterna G.M. - Edile A 2002/03 La forza di Coulomb • Struttura simile alla legge di gravitazione universale z m1m 2 ur 2 r – Forza centrale (conservativa) – Dipendenza da 1/r2 F G • Cariche di segno opposto si attraggono • Cariche dello stesso segno si respingono q2 Fq 2 r q1 y x Fq 1 q1 q 2 1 q1 q 2 F k 2 ur 2 ur r 4 o r k=8.988x109 Nm2/C2 o=8.85x10-12C2/Nm2 G.M. - Edile A 2002/03 La forza elettrostatica è molto intensa • Calcoliamo il rapporto tra la forza elettrostatica e la forza di gravitazione universale tra due protoni all’interno del nucleo: FG G mp mp r2 1 q pq p FC 4 o r 2 1 qpqp qpqp FC 4 o r 2 1 m pm p 4 oG m p m p FG G 2 r 1 1.6010 1 9 1.6010 1 9 1 2 1 1 2 7 2 7 4 3.14 8.8510 6.67 10 1.6710 1.6710 10 3 9 104 0 4 3.14 8.85 6.67 G.M. - Edile A 2002/03 Il principio di sovrapposizione • q3 Come abbiamo sempre fatto in meccanica, se sono presenti più cariche, q1, q2,q3,la forza complessiva su q sarà la somma delle forze esercitate dalle singole cariche, considerando come se ciascuna di esse agisca da sola. q Fq r1 y r2 F F1 F2 ... Fi ... Fn q2 n i1 1 q i q r ri 2 4 o r ri r ri ri è il vettore posizione di q i r è il vettore posizione di q r1 Fq 1 x r x r q1 q r3 q1 z z y Fq 1 q1q r r 1 4 o r r1 2 r r1 G.M. - Edile A 2002/03 Il campo elettrico • • • • • • z Consideriamo la carica q1 nell’origine Se andiamo a mettere la carica qp, carica di prova La forza elettrostatica su di essa sarà data da qp r 1 q1q p F u 4o r 2 r q1 – perché la presenza di una carica finita potrebbe modificare la distribuzione delle cariche – Attenzione all’operazione di limite E lim q p 0 Fq p qp y Questa può essere scritta anche nella forma 1 q1 F qpE dove E 2 ur 4 o r E si chiama campo elettrico e rappresenta la forza che subirebbe la carica unitaria (1 C) messa in quella posizione. Si preferisce definire il campo elettrico come Fq p x E lim q p 0 F qp G.M. - Edile A 2002/03 Il principio di sovrapposizione per il campo elettrico • • • Quando in una regione dello spazio sono presenti n cariche elettriche, q1, q2,… qi … e qn, il campo elettrico in una qualsiasi posizione dello spazio si può calcolare applicando il principio di sovrapposizione: il campo elettrico totale è uguale alla somma vettoriale dei campi elettrici generati in quel punto da ciascuna delle cariche come se agisse da sola. q3 z r3 q1 x E1 E3 E2 r r1 r2 y q2 E E1 E2 ... Ei ... E n n i1 1 q1 r r i 4o r ri 2 r ri ri è il vettore posizione di q i r è il vettore posizione del punto in cui si vuole valutare il campo elettrico G.M. - Edile A 2002/03 Il concetto di campo e la terza legge di Newton • • Come fa la forza di reazione prevista dalla terza legge di Newton ad essere istante per istante uguale all’azione? Questo va bene per le forze di contatto, perché il punto di applicazione della forza di azione è molto vicino a quello di applicazione della reazione, z E(P' ) q1,prima – cosa succede quando le forze agiscono a distanza? – Come i concilia la terza legge di Newton co il fatto che la velocità della luce è la velocità massima per il trasferimento delle informazioni? • L’introduzione del campo da una soluzione alle risposte precedenti E(P) P P' y x q1,dopo ct • – La forza agente su una carica posta in P sarà • data dal valore delcampo in quel punto per il valore della carica. Se la carica q1viene spostata dalla sua posizione all’istante t Dopo un intervallo di tempo t, solo i punti interni alla sfera con centro nella carira e raggio ct sapranno che la carica si è spostata G.M. - Edile A 2002/03 La rappresentazione del campo elettrico • Le linee di forza: • • Il campo elettrico è tangente alla linea di forza in ciascuno dei suoi punti. Due linee di forza non si intersecano mai – Se si intersecassero il campo elettrico nel punto di intersezione non avrebbe una direzione definita • • • Le linee di forza nascono dalle cariche positive (o all’infinito) e muoiono su quelle negative (o all’infinito). Il numero di linee che nascono o muoiono è proporzionale alla carica. La densità di linee di forza è proporzionale all’intensità del campo elettrico. Linee di forza di una carica puntiforme negativa G.M. - Edile A 2002/03 Linee di forza generate da due cariche puntiformi uguali ma di segno opposto • • • • • • Qui la carica positiva è più vicina di quella negativa, Prevale l’effetto della carica positiva Qui le distanze delle due cariche sono comparabili Bisogna tener conto di entrambi i contributi Qui la carica negativa è più vicina di quella positiva, Prevale l’effetto della carica negativa G.M. - Edile A 2002/03 Linee di forza generate da due cariche puntiformi uguali • • • • • • Qui la carica positiva 1 è più vicina della 2, Prevale l’effetto della carica 1 Qui le distanze delle due cariche sono comparabili Bisogna tener conto di entrambi i contributi 1 2 Qui la carica positiva 2 è più vicina della 1, Prevale l’effetto della carica 2 G.M. - Edile A 2002/03 Calcolo del campo elettrico di una distribuzione lineare di carica con il principio di sovrapposizione. y dq=dy y dy y O • R dE • • P dEx dE x dEy 1 dq 1 dy 4 o r 2 4o y2 R 2 1 dy dE x cos 4o y2 R 2 y Ex dE x y y y 1 dy cos 4o y2 R 2 R distanza di P dalla distribuzione Solo le componenti perpendicolari alla distribuzione contribuiscono Le componenti parallele si annullano per la simmetria del problema y y dy y P r x G.M. - Edile A 2002/03 Calcolo del campo elettrico di una distribuzione lineare di carica con il principio di sovrapposizione. y y dq=dy y dy y R y P dEx x dEy dE Ex y 1 dy cos 4o y2 R 2 L’angolo dipende dalla tang = posizione del tratto dy sulla distribuzione di carica dtang d y 1 d 1 = dy dy R cos 2 dy R • y dE x y O Ex y 1 dy 2 2 cos 4 o y R 2 2 y R Rd y 2 R 2 Rd y 2 R2 dy d 2 2 cos R R 1 y R 1 cos d 2 2 4 o y R R 4 o R 2 2 2 cos d 2 2 1 1 1 sen 1 1 4 o R 4 o R 2 o R 2 G.M. - Edile A 2002/03 Calcolo del campo elettrico di una distribuzione lineare di carica con il principio di sovrapposizione. y • Ricapitolando O P R E x 1 E 2o R G.M. - Edile A 2002/03 Il flusso del campo elettrico • • • Consideriamo una superficie chiusa S immersa in un campo elettrico. consideriamo un suo elemento infinitesimo dS L’elemento di superficie dS, può essere rappresentato come un vettore dS con dS E – modulo: pari all’area dell’elemento selezionato, dS. – direzione: perpendicolare alla superficie nel punto considerato (perpendicolare al piano tangente) – verso: verso l’esterno della superficie chiusa. • Si definisce flusso del campo elettrico E attraverso la superficie elementare dS la seguente quantità: E d E dS • • dS Il prodotto scalare del Campo elettrico per il vettore dS Si definisce flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa S E dS G.M. - Edile A 2002/03 Stima del flusso del campo elettrico attraverso le linee di forza • Carica positiva all’interno della superficie – d>0 anche il flusso totale >0 dS E • Carica negativa all’interno della superficie – d<0 anche il flusso totale <0 • dS Il flusso è legato al numero di linee che entrano o escono dalla superficie chiusa E • Se la carica all’interno della superficie chiusa è nulla – tante linee di forza entrano tante ne escono (=0) G.M. - Edile A 2002/03 Il teorema di Gauss • il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica totale presente all’interno della superficie chiusa diviso per o. dS E q in t E dS o G.M. - Edile A 2002/03 Verifica del teorema di Gauss per una carica puntiforme • • Vogliamo determinare il flusso del campo elettrico, generato da una carica puntiforme, attraverso una superficie sferica il cui centro corrisponde con la posizione occupata dalla carica puntiforme. Il campo elettrico E in qualunque punto P della superficie sferica e il vettore dS, l’elemento di superficie attorno al punto P, sono paralleli dS E q 1 q E dS dS 4 o r2 • Il flusso attraverso la superficie chiusa: E dS 1 q q dS 4 o r2 4 o costan te dS r2 dS ma 2 d r • d è l’angolo solido con cui viene vista la superficie dS dalla carica q, in questo caso il centro della sfera. G.M. - Edile A 2002/03 Verifica del teorema di Gauss per una carica puntiforme • Sostituendo E dS dS 1 q q dS dS 2 2 4 o r 4 o r E costan te q 4 o d q q 4 4 o o q ango lo solido to tale= 4 • Questo è un punto delicato – Nella definizione di angolo solido, l’esponente di r è esattamente 2. – Se il teorema di Gauss risulta verificato, significa che anche l’esponente di r nella legge di Coulomb è esattamente 2 • Poiché anche la forza di gravitazione universale ha a stessa dipendenza da 1/r2, il teorema di Gauss è valido anche per questa forza. – molte delle considerazioni che svilupperemo per la il campo elettrico si applicano anche alla forza di gravitazione universale (per es. la forza gravitazionale è nulla G.M. - Edile A 2002/03 all’interno di un guscio sferico) Determinazione del campo elettrico con il teorema di Gauss s dq dS • • • Carica distribuita uniformemente su una superficie sferica (guscio sferico) di raggio R. N.B. Il teorema di Gauss da solo non è in grado di determinare alcunché, sono necessarie ulteriori informazioni, per esempio quelle derivanti dalla simmetria presente nel problema. In questo caso la simmetria del problema ci dice che: – Il campo elettrico in P è diretto lungo la congiungente il centro della distribuzione di carica con P – L’intensità del campo elettrico sarà la stessa per tutti i punti a distanza r dal centro della distribuzione • Scegliamo come superficie chiusa a cui applicare il teorema di Gauss una superficie sferica passante per P con centro coincidente con quello della distribuzione di carica (raggio r) q q Sto t 4R2 s R P r E punto in cui si vuole determinare il campo elettrico G.M. - Edile A 2002/03 Determinazione del campo elettrico con il teorema di Gauss • Per le osservazioni precedenti, per ogni elemento di superficie dS dS – Il campo elettrico è parallelo a dS – Il modulo del campo elettrico è lo stesso in tutti i punti della superficie sferica E s R P E dS E p arallelo a dS EdS E il mo dulo del camp o elettrico E è co stan te dS E4r 2 q o r E superficie to tale della sfera = 4 r 2 1 q E 4 o r 2 punto in cui si vuole determinare il campo elettrico il guscio sferico, per i punti esterni, si comporta come se la carica q fosse puntiforme concentrata al centro della distribuzione stessa G.M. - Edile A 2002/03 Guscio sferico: punti interni al guscio • • • Tutte le considerazioni fatte nel caso precedente sono tuttora valide Ora però la carica all’interno della superficie di Gauss è nulla Quindi E dS EdS E p arallelo a dS • dS E il modulo del camp o elettrico E è co stante s R E4r 0 2 superficie to tale della sfera = 4 r 2 P r E il campo elettrico nei punti interni alla distribuzione di carica è nullo. E E 1 q 4 o r 2 punto in cui si vuole determinare il campo elettrico Superficie di Gauss, raggio r. E=0 R r G.M. - Edile A 2002/03 Distribuzione sferica uniforme • • Per i punti esterni, ci ritroviamo nelle stesse condizioni del guscio sferico: Il campo elettrico, per punti esterni alla distribuzione di carica, è uguale a quello di una carica puntiforme, pari alla carica totale, posta al centro della distribuzione 1 q E 4 o r 2 dq dV q Vto t q 4 R3 3 R P r E punto in cui si vuole determinare il campo elettrico G.M. - Edile A 2002/03 Distribuzione sferica uniforme • dq dV q Vto t q 4 R3 3 Per i punti interni, solo la carica all’interno della superficie di Gauss va considerata – I gusci esterni alla superficie di Gauss non contribuiscono al campo elettrico in P q 4 3 R 3 q in t E dS EdS E il mo dulo del camp o elettrico E è co stan te 43 r3 dS q 4 3 r 3 4 3 R 3 r3 q 3 R R r P E q r3 E4r o R 3 punto in cui si vuole determinare il superficie to tale della sfera = 4 r 2 q r E 4 o R 3 2 campo elettrico E E R 1 q 4 o R 2 r G.M. - Edile A 2002/03 Distribuzione rettilinea uniforme • La simmetria del problema in questo caso ci permette di affermare – Il campo elettrico non può avere una componente parallela alla distribuzione • Si creerebbe una asimmetria tra i due versi lungo la distribuzione • Perciò giace nel piano perpendicolare alla distribuzione rettilinea di carica h dq dL q in t h r – Nel piano perpendicolare • è diretto radialmente • tutti i punti equidistanti dalla distribuzione devono avere la stessa intensità del campo – Il campo elettrico non può dipendere dalla coordinata lungo la distribuzione di carica • Usiamo come superficie di Gauss una superficie cilindrica – – – • • Concentrica con la distribuzione di carica Passante per il punto in cui si vuole calcolare il campo (raggio r) Di altezza arbitraria h Sulle basi il flusso è nullo (E perpendicolare a dS) Sulla superficie laterale (E parallelo a dS, E costante) E dS E dS Basi 0 E è p erp endicolare adS EdS E Sup erficie laterale E dS Sup erficie laterale dS E2rh Sup erficie laterale 2 rh h o 1 E 2 G.M. - Edile A 2002/03 o r Distribuzione piana • In questo caso la simmetria del problema ci consente di affermare dq s dS – Il campo elettrico non può avere alcuna componente parallela alla distribuzione • Perciò è diretto lungo la perpendicolare alla distribuzione piana – L’intensità del campo elettrico non può dipendere dalle coordinate parallele alla distribuzione, ma, eventualmente, solo dalla distanza,r, del punto P dalla distribuzione. – Il campo elettrico deve essere simmetrico in punti simmetrici che si trovano da parte opposta rispetto alla distribuzione P r E r G.M. - Edile A 2002/03 Distribuzione piana • Si sceglie come superficie di Gauss un cilindro dq s dS – con l’asse perpendicolare alla distribuzione di carica q in t sA – di area di base arbitraria A – di altezza pari a 2r, due volte la distanza del punto P dalla distribuzione – simmetrico rispetto alla distribuzione • Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo – E è perpendicolare a dS • Sulle basi E è parallelo e concorde con dS E dS E dS Basi E dS Sup erficie laterale EdS E Basi dS E2A Basi 2A sA o 0 E è p erp endicolare adS • • Il campo elettrico è costante in modulo, direzione e verso in ciascuno dei due semispazi determinati dalla distribuzione di carica Il campo elettrico è simmetrico rispetto alla distribuzione di carica s E 2 o G.M. - Edile A 2002/03 Doppia distribuzione piana • Consideriamo due piani paralleli carichi – con densità +s e -s rispettivamente – A distanza arbitraria d tra di loro • • • Determiniamo il campo elettrico in tutti i punti dello spazio con il principio di sovrapposizione Applicando Gauss abbiamo determinato il valore del campo elettrico per ciascuna delle due distribuzioni Il campo elettrico complessivo si otterrà sommando i valori dei ottenuti quando ciascuna distribuzione agisce separatamente s 2o s 2o s 2o E0 s o s 2 o E0 G.M. - Edile A 2002/03 Moto di cariche in un campo elettrico • • • Consideriamo un campo elettrico uniforme realizzato mediante due distribuzioni uniformi piane di carica, diretto lungo l’asse y Consideriamo una carica q che si muove con velocità v lungo l’asse x F qE La particella subisce una forza y -- - - - - - - - - - v + + + + + + + + + + – Supponendo q positiva la forza sarà diretta come il campo elettrico – Per q negativa avrebbe avuto verso opposto x L F qE ma Applicando la seconda legge di Newton Proiettando lungo gli assi e tenendo moto 0 ma x vt x uniforme conto delle condizioni iniziali (xo=0, yo=0, vox=v, voy=0) motouniformente 1 qE 2 • Il moto è simile al moto del qE ma y y t accelerato 2 m proiettile (traiettoria parabolica) • Questa tecnica viene L * * Tempo impiegato a percorrere la zona utilizzata per deflettere gli L vt t in cui è presente il campo elettrico elettroni negli oscillografi v • • Deflessione all’uscita dal campo elettrico y 1 2 qE t m * 2 2 • 2 1 2 qE L m v 1 2 qEL mv 2 o per deflettere gocce di inchiostro nelle stampanti a getto di inchiostro G.M. - Edile A 2002/03