LE BASI FONDAMENTALI
• INSIEMI
• INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali,
reali e complessi)
• SISTEMI DI COORDINATE
• ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA
• FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
• EQUAZIONI
• DISEQUAZIONI
• PERCENTUALI
1
INSIEMI
INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi
detti elementi dell’insieme.
Un insieme è definito quando viene dato un criterio
non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto
appartiene o no all’insieme
2
Simbologia
Gli insiemi sono indicati con lettere
maiuscole, eventualmente munite di indici:
A, B, X, Y, A1, A2, B1…
gli elementi degli insiemi con lettere
minuscole, eventualmente munite di indici:
a, b, x, a1, a2, y1 …
3
Rappresentazione di un insieme
Un insieme A si può rappresentare:
• elencando tutti gli elementi che
appartengono all'insieme
Esempio: A = {a, b, c, d}
• Indicando la proprietà caratteristica
degli elementi dell'insieme
Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}
4
I Diagrammi di Eulero-Venn
Servono per rappresentare graficamente un
insieme.
Esempio:
A
a
b
c
d
5
Il simbolo di appartenenza: 
Per indicare che a è un elemento dell’insieme
A si scrive:
aA
si legge “a appartiene ad A".
Per indicare che b non è un elemento
dell’insieme A si scrive:
bA
si legge “b non appartiene ad A".
6
ALCUNI SIMBOLI




contenuto in senso lato
contenuto in senso stretto;
contenente in senso lato;
contenente in senso stretto;
U insieme universale
 insieme vuoto
 per ogni
 esiste
 non esiste
; (oppure :) tale che
 implica, segue che
 deriva, discende da
 se e solo se (in inglese iff, if and only if)
7
CONFRONTO TRA INSIEMI
Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:
B  A (oppure A  B)
e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A"
("A contiene o è uguale a B")
se ogni elemento di B è un elemento di A
bBbA
8
CONFRONTO TRA INSIEMI
Insieme vuoto : 
Insieme privo di elementi
(qualunque sia A)
Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive:
oppure 
se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se
 a A : a  B
9
OPERAZIONI TRA INSIEMI
•
•
•
•
•
UNIONE
INTERSEZIONE
DIFFERENZA
COMPLEMENTAZIONE
PRODOTTO CARTESIANO
10
UNIONE TRA INSIEMI
• L'unione di due insiemi A e B è l'insieme
di quegli elementi che appartengono
ad almeno uno dei due insiemi A e B
• L’unione di A e B si scrive:
A  B = {x : x  A e/o x  B }
Se A = B
Se A  B
AB=A
AB=B
11
UNIONE TRA INSIEMI
• Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A
0
B
1
3
2
12
UNIONE TRA INSIEMI
• Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A  B = {0, 1, 2, 3}
A
0
B
1
3
2
13
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
• L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di
quegli elementi che appartengono sia ad A che a B
• L'intersezione di A e B si scrive:
A  B = {x : x A e x B }
Se A = B
Se A  B
Se A  B = 
AB=A
AB=A
A e B si dicono disgiunti.
14
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
B
A
1
3
0
2
15
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A  B = {1, 2}
B
A
1
3
0
2
16
DIFFERENZA TRA INSIEMI
• La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di
quegli elementi che appartengono ad A e che non
appartengono a B:
• La differenza di A e B si scrive
A - B = A \ B = {x : x  A e x  B }
Se A = B
Se A  B
A \ B =
A \ B =
17
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
B
A
0
1
3
2
18
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
A \ B = {0}
B
A
0
1
3
2
19
DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio:
A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
B \ A = {3}
B
A
0
1
3
2
20
INSIEME COMPLEMENTARE
• Sia U un insieme su cui si intende operare,
chiamato insieme universale.
• sia A un sottoinsieme di U, si chiama
insieme complementare di A rispetto ad U
l'insieme differenza di U e A e si scrive:
CUA =A’ =U \ A = {x : x  U e x  A }
21
INSIEME COMPLEMENTARE
• Esempio
U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}
A
1 2
U
0
3
5
22
INSIEME COMPLEMENTARE
• Esempio
U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}
CUA =U \ A = {0, 3, 5}
A
A
1 2
U
0
3
5
23
PRODOTTO CARTESIANO
• Per coppia ordinata si intende una coppia
di elementi in cui viene distinto il primo dal
secondo: (x,y)  (y,x)
• Dati due insiemi A e B, l’insieme delle
coppie ordinate (x,y) in cui il primo
elemento x appartiene ad A ed il secondo
elemento y appartiene a B si dice prodotto
cartesiano di A e B
A  B = {(x, y) : x  A, y  B}
24
PRODOTTO CARTESIANO
Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}
A  B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
B  A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
25
ESERCIZI
• Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}
• Calcolare:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A  B = {2, 4}
A \ B = {1, 3, 5}
B \ A = {6}
26
INSIEMI NUMERICI
•
•
•
•
•
•
NATURALI
INTERI O RELATIVI
RAZIONALI
IRRAZIONALI
REALI
COMPLESSI
27
I NUMERI NATURALI
N={1, 2, 3, 4, 5,…..}
• Si definisce sistema algebrico un insieme nel
quale sono state definite alcune operazioni.
• Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene
introducendo in N le seguenti operazioni:
1) Addizione
2) Moltiplicazione
3) Relazione di “minore o uguale”
(m<n  (se e solo se) p N: m+p=n)
28
I NUMERI NATURALI
•
 m, n, p  N Le operazioni di addizione e
moltiplicazione godono delle proprietà:
-
Associativa:
(m + n) + p = m + (n + p)
(m • n) • p= m • (n • p)
- Commutativa:
m+n=n+m
m•n=n•m
- Distributiva:
m • (n + p)= m • n + m • p
- Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:
 1 N: 1 • m = m
29
I NUMERI INTERI
•
L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto
all’addizione e alla moltiplicazione.
• Non è però chiuso rispetto alla sottrazione:
 sistema algebrico dei numeri interi.
Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}
Z+ = {+1, +2, +3, …} = N
Z- = {-1, -2, -3, …}
Z = Z+  Z - {0}
30
I NUMERI INTERI
Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre:
4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:
 0 Z : x + 0 = x, xZ
5) Esiste l’opposto:
xZ,  y Z : x + y = 0,
6) Chiuso rispetto alla sottrazione:
x – y = x + (-y)
31
I NUMERI RAZIONALI
• PROBLEMA:
Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile
trovare un numero q Z : x • q = y ovvero
Z non è chiuso rispetto alla divisione
Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}}
• ogni numero decimale finito o periodico è un
numero razionale.
32
NUMERI RAZIONALI
• Q è denso:
q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2
• N e Z sono discreti:
-2 -1 0 1 2 3
33
NUMERI REALI
• PROBLEMA:
non è possibile trovare nessun numero
razionale tale che il suo quadrato sia uguale
a2!
• Numeri reali: R = Q  
dove  è l’insieme dei numeri irrazionali
2 , , e  I
34
NUMERI REALI
Supponiamo per assurdo che esista un numero
razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che:
p2/q2=2
p2=2 q2
p è pari, p = 2k
22 k 2 = 2 q2
2 k2 = q2
ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q
sono primi tra loro.
35
NUMERI REALI
• L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto
alle operazioni algebriche di +, -, *, :
Questo significa che la somma (la
differenza, il prodotto e il quoziente) di 2
numeri reali è un numero reale.
Non vale il viceversa!
36
NUMERI COMPLESSI
• Sia x  x  -1 , x non può essere un numero
reale perché il quadrato di un numero reale
non può essere uguale ad un numero reale
negativo.
• Si definisce unità immaginaria il numero
i il cui quadrato è uguale a – 1:
i  -1
2
37
NUMERI COMPLESSI
• Un numero non reale (complesso) z può
essere scritto nel seguente modo:
z  a  bi
• L’insieme dei numeri complessi viene
indicato con C e risulta chiuso rispetto alle
operazioni algebriche di somma, differenza,
prodotto e divisione.
38
•
NUMERI COMPLESSI
Siano dati due numeri complessi
v  c  di
z  a  bi
• SOMMA:
z  v  (a  b i )  (c  d i )  (a  c)  (b  d ) i
• DIFFERENZA:
z - v  (a  b i ) - (c  d i )  (a - c)  (b - d ) i
• PRODOTTO:
z  v  ( a  b i )  (c  d i )  a  c  a  d  i  b  c  i  b  d  i 2 
 (a  c - b  d )  (a  d  b  c)  i
39
NUMERI COMPLESSI
Si definisce numero complesso coniugato
del numero complesso v , il numero:
v  c - di
• Il prodotto tra il numero complesso v e il
suo complesso coniugato v è dato dal
numero reale (chiamato modulo di v):
v  v  (c  di)  (c - di)  c 2  d 2  v
40
NUMERI COMPLESSI
•
QUOZIENTE:
a  bi c - d i
z  v  ( a  b i )  (c  d i ) 


cdi c-di
a c  bd bc - ad
 2
 2
i 
2
2
c d
c d
a c  bd bc - ad


i
v
v
41
GLI INSIEMI NUMERICI
• Sussiste una precisa relazione di inclusione:
N

Z

Q  R C
42
RELAZIONI e
CORRISPONDENZE
Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama
relazione tra X e Y un qualunque
sottoinsieme del prodotto cartesiano:
R X x Y = (x,y): xX, yY
L’insieme costituito dai primi (secondi)
elementi delle coppie viene chiamato
dominio (codomino). Se il dominio
coincide con X, la relazione viene
denominata Corrispondenza.
43
FUNZIONE
Una funzione è una corrispondenza tale che se
comunque si prenda un elemento x di X ad
esso viene associato uno e un solo elemento
y di Y.
Noi consideriamo X, Y  R , cioè funzioni
reali di una variabile reale.
44
RELAZIONE TRA 2 INSIEMI
•
X
Y
1
1
2
3
2
3
4
45
FUNZIONE TRA DUE INSIEMI
X
Y
1
1
2
3
2
3
4
4
46
SISTEMA DI COORDINATE
ASCISSE SOPRA UNA RETTA
Sia data una retta r, si fissi:
1) Un verso positivo di percorrenza
2) Un punto O detto Origine
3) Un segmento u detto unità di misura
O
r-
u
r+
r
47
ASSE DELLE ASCISSE
•
Preso un punto P sull’asse delle ascisse,
a P si può sempre associare xPR, ovvero la
misura del segmento OP, presa col segno +
(-) se P appartiene al semiasse positivo
(negativo). xP è chiamata ascissa di P
• Viceversa,  xP R ! P  r : x= xP .
• Esiste una corrispondenza biunivoca tra
numeri reali e punti della retta.
48
SISTEMA DI COORDINATE
CARTESIANE NEL PIANO
Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti
nel punto O, si fissi su ciascuna:
1) Un verso positivo di percorrenza
2) Una unità di misura
Si ottiene così un sistema di riferimento
cartesiano
Ortogonale / obliquo
Monometrico / dimetrico
49
COORDINATE CARTESIANE
NEL PIANO
• Si dimostra che ad ogni punto P del piano si
può associare una coppia ordinata P=(x,y)
II
I
(- , +)
(+ , +)
III
IV
(- , -)
(+ , -)
50
ESEMPIO
P=(-2,3)
3
-2
P=(2,1)
1
-1
P=(-2,-1)
-2
2
P=(2,-2)
51
GEOMETRIA ANALITICA:
LA RETTA
• Si consideri il seguente grafico:
y
B
B2
P
P2
A
A2
R
O
A1
P1
C
B1
x
• I punti sulla retta hanno coordinate:
AxA , y A 
BxB , yB 
P( x, y)
52
GEOMETRIA ANALITICA:
LA RETTA
• Dalla similitudine dei due triangoli ACB e
ARP si ha (geometricamente):
RP CB

AR AC
• Sostituendo ai lati dei triangoli le misure
algebriche si ha:
y - y A yB - y A

x - xA
xB - x A
53
GEOMETRIA ANALITICA:
LA RETTA
• Ponendo:
a  yB - y A
b  -( x B - x A )
c  y A xB - y B x A
• Si ottiene l’equazione della retta in forma
implicita (o generale):
ax  by  c  0
54
55
LE CONICHE
56
57
LA CIRCONFERENZA
• L’equazione della circonferenza di centro
• C xC , yC  e raggio r è data da:
x 2  y 2  x  y    0
• Dove i coefficienti sono dati da:
  2 xC
  2 yC
  xC2  yC2 - r 2
• Se C=O l’equazione assume l’espressione:
x2  y2  r 2
58
GRAFICO DELLA
CIRCONFERENZA
y
2.5
-5
-2.5
0
-2.5
0
2.5
5
x
 C
-5
-7.5
-10
59
L’ELLISSE
• L’equazione dell’ellisse con fuochi
F1 - c, 0
F2  c, 0
•
• e gli assi lunghi a e b è espressa da:
x2 y2
 2 1
2
a
b

• dove a > c e dove b  a - c
2
2
2

60
GRAFICO DELL’ELLISSE
y
B
P
C
A
F1
O
F2
x
D
61
L’IPERBOLE
• L’equazione dell’iperbole con fuochi
F1 - c, 0
F2  c, 0
•
• e gli assi lunghi a e b è espressa da:
x2 y2
- 2 1
2
a
b
• dove a < c e dove b  c - a
2
2
2

62
GRAFICO DELL’IPERBOLE
y
P
F1
C
O
A
F2
x
63
•
IPERBOLE EQUILATERA
Se a=b l’equazione l’iperbole viene
denominata equilatera e la sua equazione è:
x2 - y2  a2
• Se si ruota il grafico di 45° in senso
antiorario in modo che i fuochi stiano sulla
bisettrice del primo e terzo quadrante si ha:
•
a2
xy 
2
ovvero
xy  k
64
GRAFICO DELL’IPERBOLE
EQUILATERA
y
5
4
F2
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
x
-2
F1
-3
-4
-5
65
LA PARABOLA
•
L’equazione della parabola con il vertice
nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con
c>0 e la direttrice di equazione y=-c
• è espressa da:
1 2
y
x
4c
• Se il vertice non coincide con l’origine degli
assi e la direttrice è sempre parallela all’asse
x l’equazione assume la forma:
y  a 0 x 2  a1 x  a 2
66
GRAFICO DELLA
PARABOLA
P
F
O
d
R
67
ANGOLO
• Prendiamo due semirette a e b aventi la
stessa origine, il piano resta diviso in due
parti, ciascuna delle quali viene detta
angolo.
68
ANGOLO ORIENTATO
• Verso positivo di rotazione antiorario
b
+
a
a
b
69
ARCO
• La parte di circonferenza compresa tra i lati
dell’angolo.
B
O
A
70
SISTEMI DI MISURA DI
ANGOLI
• SESSAGESIMALE:
grado sessagesimale = la 360a parte
dell’angolo giro.
• RADIANTE
71
RADIANTE
• L’angolo al centro che insiste su un arco
che rettificato ha lunghezza pari al raggio.
72
Misura in radianti di un angolo
• È uguale alla misura dell’arco diviso il
raggio:
• Angolo giro = 2r / r = 2
• Angolo piatto = r / r = 
• Angolo retto = /2
73
Misura in radianti di un angolo
/2
3/4

/4
0
5/4)
7/4
3/2
74
Misura in radianti di un angolo
4/6 /2
5/6

7/6
2/6
/6
0
11/6
8/6 3/2 10/6
75
Misura in radianti di un angolo
• Per passare dal sistema sessagesimale a
quello radiante:
360 : 2 = s : r
Ex: 360 : 2 = 20 : r
r = /9
76
Le funzioni trigonometriche:
seno e coseno
y
HP y P
sin  

r
r
P
r

O
H
A
x
OH xP
cos  

r
r
77
La funzione:Tangente
trigonometrica
•
y
T
P
AT yT
tan  

r
r
r

O
H
A
sin 
tan  
cos 
78
f(x) = sin (x)
y
/2
y
P

O
H
1
2x
A=(1,0)
3/2)
-/2
0
/2

-1
3/2) 
79
x
2
Funzione seno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2
80
y = cos (x)
y
/2
y
P

O
H
2x
A=(1,0)
-/2
0
/2

3/2) x
3/2) 
81
Funzione coseno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2
82
y = tan (x)
/2
y
T
y
P
2

O
H
A
-/2 0
/2

3/2)
3/2) 
83
x
Funzione tangente
• Dominio = R \ /2 + k k  Z
• Codominio = R
• Periodica di periodo 
84
Relazione tra seno e coseno
sin2(x) + cos2(x) = 1
sin( x)   1 - cos ( x)
2
cos( x)   1 - sin ( x)
2
85
Relazione tra seno e coseno
• Esempi:
cos (x) = ½ x  [0, /2]
3
sin( x)  1 - 1 / 2 
2
2
2
sin( x) 
2

x [ , ]
2
2
2
cos( x)  - 1 -  4
2
86
Relazione tra seno, coseno e
tangente
• sin2(x) + cos2(x) = 1
1
1  tan ( x) 
2
cos ( x)
2
1
cos ( x) 
2
1  tan ( x)
2
1
cos( x)  
2
1  tan ( x)
87
Valori in archi particolari : /6

1
sin( ) 
6
2

3
cos( ) 
6
2

1
tan( ) 
6
3
88
Valori in archi particolari: /3

3
sin( ) 
3
2

1
cos( ) 
3
2

tan( )  3
3
89
Valori in archi particolari: /4

2
sin( ) 
4
2

2
cos( ) 
4
2

tan( )  1
4
90
COORDINATE POLARI
• P ha coordinate cartesiane (1, 1)
y
P2
yP  1
P
 2

4
x P  1 P1

O
x
Le coordinate polari di P sono:
  asse x Oˆ P
  OP
Nell’esempio:  ,    ( 2 ,  )
4
91
COORDINATE POLARI
• Esiste la seguente relazione tra le coordinate
polari e cartesiane di un punto:
x   cos
y   sin 
• si osservi che:
 x2y
2
92
COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
• Un numero complesso può essere rappresentato
geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha
come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente
reale dell’unità immaginaria.
y
P2
P

yP  b
O

xP  a P1
x
93
COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
• Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:
z  a  b  i   cos   sin   i   (cos  sin   i)
y
P2
yP  b
O
P


xP  a
P1
x
94
COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
• Dato il numero complesso z:
z  a  b  i   cos   sin   i   (cos  sin   i)
e il numero complesso v :
v  c  d  i   cos    sin   i   (cos   sin   i )
Il prodotto tra z e v è:
z  v   (cos   sin   i )   (cos   sin   i ) 
   cos   cos  - sin   sin    i sin  cos   cos  sin   
   cos(   )  i sin(    )
95
COORDINATE POLARI E
NUMERI COMPLESSI
• In particolare se z=v si ottiene:
z 2   2  cos 2  i sin 2 
e in generale:
z n   n  cos n  i sin n 
detta Formula di De Moivre.
96
CALCOLO LETTERALE
• Perché?
È opportuno rappresentare i numeri con
lettere dell’alfabeto per fare affermazioni
che valgono indipendentemente dal valore
dei numeri.
97
POTENZE
•
Dato un numero reale a ed un numero
naturale n, si dice potenza n-esima di a
an = a • a • … • a
n volte
Esempio:
32 = 3 • 3
(-2)2 = (-2) • (-2) = 4
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
98
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
•
•
•
•
•
•
•
Dati a, b  R, m, n  N
a n + m = a n a m,
a -n = 1 / a n
a n - m = a n: a m,
n  m, se n = m, a  0
(a:b) n = a n: b n,
b0
(ab) n = a n b n,
(a n) m = a n m,
a 0= 1,
99
ESERCIZI
32 • 33= 35
3 4 : 3 3= 3 1
((2)3)2= (2)6
(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2
(8)0=1
3-4 = 1 / 34
(- 2)2 •(-2)3 = -32
100
RADICALI
• Si dice radice n-sima (n  N) del numero
reale a il numero b tale che bn = a. Si
scrive:
n
b a
La radice ennesima (n  N) della potenza am
si scrive:
m
an
 a
n
m
101
PROPRIETA’ DEI RADICALI
kn
a
km

m
an
m n
a  b  ab
n
n
n
n
a 
a 
m
mn
a
 a
n
m
a b  ab
n
n
m
n
a na

n
b
b
n m
b0
102
ESERCIZI
4
a 
3
3
a4
3 2
2 4  8
3
3
3
2 3  23
2 3
3
2
5 35

3
4
4
2 3
4
a  a
6
a 
5
1
5 3
 a
4
5
1
3
5
103
OPERAZIONI TRA POLINOMI
• ADDIZIONE
• SOTTRAZIONE
• PRODOTTO
PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di
particolari polinomi per i quali è
possibile stabilire il risultato con pochi
calcoli
• DIVISIONE
104
DIFFERENZE DI QUADRATI
(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)
Esempi:
(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)
(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)
(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)
(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =
[(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]
105
QUADRATO DI UN BINOMIO
(x + y)2= x2 + 2xy + y2
(x - y)2= x2 - 2xy + y2
Esempi:
(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2
(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2
((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4
106
CUBO DI UN BINOMIO
(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Esempi:
(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3
(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3
(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3
107
SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI
(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)
(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)
Esempi:
(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)
(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)
(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 (x - 2) y2 + y4)]
108
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
• Mediante l’uso dei prodotti notevoli
• Raccoglimenti a fattore comune:
Esempio:
6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)
• Raccoglimenti parziali successivi:
Esempio:
9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c
(3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)
109
DIVISIONE TRA POLINOMI
• Prenderemo in considerazione solo polinomi in
una variabile
• Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla
potenza di una data lettera, con il grado di P1
maggiore o uguale al grado di P2 .
• Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed
R è il resto.
110
ESEMPIO
(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)
2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1
2x5 – 2 x4
+ 2 x2
2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1
2 x4 – 2 x 3
+2 x
x3 – x2 +1
2 x2 +2 x -1
– x3 - 2 x2 - x + 1
– x3 + x 2
-1
- 3 x2 - x + 2
111
ESEMPIO
(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2
+1) + (- 3 x2 - x + 2)
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio
quoziente ed R è il resto.
N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è
uguale a zero.
112
ESEMPIO:
(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)
20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32
20 x4 + 10 x3 - 20 x2
– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32
– 24 x3 - 12 x2 + 24 x
32 x2 + 16 x - 32
32 x2 + 16 x - 32
\\
\\
4x2 + 2x - 4
5x2 -6x + 8
\\
113
REGOLA DI RUFFINI
• Divisione di un polinomio per un binomio
• Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x)
un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il
quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed
il resto è di grado zero .
P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R
114
REGOLA DI RUFFINI
Coefficienti P1(x)
Termine noto P1(x)
Coefficienti e termine
noto P2(x)
Resto
±a
115
ESEMPIO
(x2 - 1) : (x + 2)
1
0
-2
-1
4
1
-2
3
-2
x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3
116
REGOLA DEL RESTO
• Il resto della divisione di un polinomio
P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il
valore che P1 assume per x = - a
R= P1(-a)
Esempio:
(x2 - 1) : (x + 2)
P1(-2) = 3
117
OSSERVAZIONE
• Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un
divisore del termine noto di P1 e b è un divisore
del termine di grado massimo di P1.
• Nell’esempio precedente:
P1(x)=(x2 - 1)
si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1:
P1(+1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x - 1)
P1(-1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x + 1)
118
ESEMPIO
P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6
P1(±1)  0
P1(2) = 0
1
2
1
3
-7
-6
2
10
6
5
3
0
x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)
119
EQUAZIONI
• Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una
variabile reale
• Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni
eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla
variabile
f(x) = g(x)
• La variabile è detta incognita dell’equazione
120
SOLUZIONI
• I particolari valori di x per cui questa è verificata
sono detti soluzioni dell’equazione
• Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei
domini delle due funzioni.
• Una equazione che ammette come soluzione ogni
valore di x per il quale le due espressioni non
perdono di significato si dice equazione
indeterminata o identità in x.
• Una equazione per la quale non esistono soluzioni si
dice equazione impossibile
• Equazione possibile quando esiste un numero finito
di valori di x che la soddisfano
121
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
• Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita
x ogni equazione del tipo:
a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a 0.
• Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene
l’incognita e si divide per il coefficiente di x:
ax=-b
(ax)/a=-b/a
da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è:
x=-b/a
Esempio:
2x - 3 = 0
2x = 3
x=3/2
122
EQUAZIONI DI 2o GRADO
• Si dice equazione (algebrica) di secondo grado
nell'incognita x ogni equazione del tipo:
a x2 + b x + c = 0
con a, b, c coefficienti numerici e a 0.
SPURIA:
a x2 + b x = 0
x(a x + b) = 0
x=0 x=-b/a
PURA:
a x2 + c = 0
c
x a
123
COMPLETA
a x2 + b x + c = 0
D>0
2 soluzioni reali e diverse
x1,2
D =0
D<0
-b  b 2 - 4ac

2a
2 soluzioni reali e coincidenti
nessuna soluzione in R (le 2
soluzioni appartengono
all’insieme dei numeri complessi)
124
ESEMPI
2 x2 - 7 x + 3 = 0
D = 49 – 24 > 0
x1, 2
75

4
x1=1/2
x2=3
125
ESEMPI
25x2 + 10x +1 = 0
D = 25 – 25 = 0
x1,2
-5
1

25
5
x2 - 3 x + 8 = 0
D = 9 – 32 < 0
non ha soluzioni in R.
126
RELAZIONE TRA I
COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI
a x2 + b x + c = 0
b
c
x  x   0 x 2 - sx  p
a
a
2
-b  b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac
2b
b
s  x1  x2 

2a
2a
2a
a
-b  b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac b 2 - b 2  4ac c
p  x1  x2 



2
2a
2a
a
4a
127
ESERCIZI
• Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4
ed il cui prodotto sia p = - 5:
assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4 x - 5 = 0
x1 = 1 x2 = -5
• Determinare a meno di un coefficiente di
proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui
soluzioni hanno per somma e prodotto i valori
s= -3/10
p = -1/10
x2 + (3/10) x - 1/10 = 0
128
FATTORIZZAZIONE
a x2 + b x + c = 0
1 D > 0 a · (x - x1) · (x - x2)
2) D = 0 a · (x - x1)2
3 D<0 non è possibile in R
129
IL SEGNO DEL TRINOMIO
Caso 1 ( x1 , x2  R , x1  x2 )
p2 ( x1 )  0
sign( p2 ( x))  sign a
p2 ( x2 )  0
x2
x1
sign( p2 ( x))  -sign a
sign( p2 ( x))  sign a
130
IL SEGNO DEL TRINOMIO
Caso 2 ( x1 , x2  R , x1  x2 )
p2 ( x1 )  p2 ( x2 )  0
sign( p2 ( x))  sign a
x1  x2
sign( p2 ( x))  sign a
131
IL SEGNO DEL TRINOMIO
Caso 3 ( x1 , x2  R )
sign( p2 ( x))  sign a
132
IL SEGNO DEL TRINOMIO
“Il polinomio di secondo grado p2 ( x)  ax2  bx  c
assume valori che hanno lo stesso segno del coefficiente a
del termine x 2 , all’esterno dell’intervallo delle radici. Il
polinomio assume valori che hanno segno opposto
rispetto al coefficiente a del termine x 2 , all’interno
dell’intervallo delle radici”.
133
DISEQUAZIONI
• Si dice disequazione una disuguaglianza tra due
funzioni eventualmente verificata per particolari
valori attribuiti alla variabile che vi compare:
f(x) > g(x)
f(x)  g(x)
f(x) < g(x)
f(x) g(x)
134
SOLUZIONI
• Le soluzioni vanno cercate nell’insieme:
I = D(f) D(g)
• Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I
verifica la disequazione
(ex: x < 1)
• Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme
I verificano la disequazione
(ex: x2 +1 > 0)
• Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica
la disequazione
(ex: x2 + 2 < 0)
135
ESEMPIO
2
- x>8
3
-2x > 24
x < -12
136
INTERVALLI DELLA RETTA
• Siano a e b due numeri reali (che possono essere
interpretati come coordinate ascisse sulla retta
reale) e si supponga a < b. Si possono definire i
seguenti intervalli reali di estremi a e b:
• [ a , b ] ={xR: a  x  b} chiuso
• ] a , b ] ={xR: a < x  b}=( a,b] chiuso a destra
• [ a , b [ ={xR: a  x < b}=[a,b) chiuso a sinistra
• ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto
137
INTERVALLI DELLA RETTA
• ] -  , b ] = {xR: x  b} = ( -  , b ]
• ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b )
• [ a , +  [ = {xR: x  a} = [ a , +  )
• ] a , +  [ = {xR: x > a} = ( a , +  )
138
DISEQUAZIONI DI PRIMO
GRADO
a x+b >0
con a e b numeri reali e a  0.
Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!),
Si isola il termine che contiene l’incognita x :
ax>-b
Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a
x>-b/a
se a>0
x<-b/a
se a<0
139
DISEQUAZIONI DI SECONDO
GRADO
•
a x2 + b x + c > 0
a, b, c reali, a  0
Per risolvere una qualunque disequazione algebrica
di secondo grado basta applicare il teorema sul
segno del trinomio di secondo grado.
140
ESEMPIO
• 4 x2 + 12 x + 9 > 0
D = 36- 36 = 0
x1,2
-6
3

4
2
• S = xR \ {-3/2}
141
ESEMPIO
3 x2 + 5 x – 2 < 0
D = 25 +24 = 49 > 0
x1,2
-5  49


6
x1 = -2
x2= 1/3
S = {xR: -2 < x < 1/3}
142
ESEMPIO
3 x2 + 5 x – 2 > 0
D = 25 +24 = 49 > 0
x1,2
-5  49


6
x1 = -2
x2= 1/3
S = {xR: x< -2 }  {xR: x> 1/3}
143
ESEMPIO
3 x2 - x + 2 < 0
D = 1 – 24 < 0
S={}
144
DISEQUAZIONI FRATTE
•
1)
2)
3)
4)
f ( x)
>0
g ( x)
I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0}
Studio segno numeratore
Studio segno denominatore
Uso regola segni
Determinazione dell’insieme nel quale la
disequazione è verificata
145
ESEMPIO
x-4
>0
x3
-3
4
(x + 3)
-
+
+
(x - 4)
-
-
+
+
-
+
(x - 4)/(x+3)
146
Continuazione ESEMPIO
S = {xR: x < -3}  {xR: x > 4}
N.B. I = {xR: x  3}
147
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
• Insieme di due o più disequazioni di cui si
vogliono determinare le soluzioni comuni.
• La soluzione si ottiene trovando l’insieme
intersezione degli insiemi che risolvono
ciascuna disequazione:
• S = S1  S2  …  Sn
• se S = {}
allora il sistema è impossibile
148
ESEMPIO
2 x  1 > 0

x - 3  0
-1/2
3
(2x + 1)
(x – 3)
S = x {xR: (-½) < x  3}
149
FUNZIONE ESPONENZIALE
Si chiama funzione esponenziale in base a,
a R+ \ {1}, la funzione f : R  R+:
f(x)=ax
N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x
y
1
x
CASO a > 1
x
f(x)=e
y
e2
e
1
-2
-1
1/e
1/e2
0
1
2
x
x
y
0
1
-1
1/e
-2
1/e2
1
e
2
e2
CASO a > 1
confronto tra basi diverse
y = ex
y
y = 2x
x
y
y = 2x
-2
-1
1
2
x
0
1
-1
1/2
-2
1/22
1
2
2
22
CASO a > 1
•
•
•
•
•
Dominio R
Codominio R+
Passa per (0,1)
Monotona crescente
Se la base aumenta è più ripida
CASO a < 1
x
f(x)=(1/e)
y
e2
e
1/e 1
1/e2
-2
-1 0
1
2
x
x
y
0
1
-1
e
-2
e2
1
1/e
2
1/e2
CASO a < 1
confronto tra basi diverse
y = (1/2)x
x
y
y
y=
(1/2)x
y=
-2
-1
1
2
(1/e)x
x
0
1
-1
2
-2
22
1
1/2
2
1/22
CASO a < 1
•
•
•
•
•
Dominio R
Codominio R+
Passa per (0,1)
Monotona decrescente
Se la base aumenta è meno ripida
LOGARITMI
Siano a un numero reale positivo, a  1,
e b un numero reale positivo
allora esiste un numero reale c tale che:
ac = b
Tale numero c si dice logaritmo in base a di b
e si indica con il simbolo:
c=logab
NB
a
log a b
b
log a a  b
b
ESEMPI
log28 = 3
log22 = 1
log51 = 0
log(1/3)3 = -1
log381 = 4
log1010000 = 4
log2(1/4) = - 2
Esercizi
Determinare la base:
logx7 = -1
x = 1/7
logx49 = 2
x=7
logx(1/1000) = -3
x = 10
logx(41/3) = -2/3
x=½
BASI DEL LOGARITMO
• Le due basi più usate sono la base 10 e la
base “e” (dove “e” è il numero di Eulero,
e = 2,7182….)
• Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il
simbolo “Log”
• Per indicare il logaritmo in base “e” si usa
il simbolo “ln” (logaritmo neperiano).
FORMULA PER IL
CAMBIAMENTO DI BASE
• Supponiamo di voler passare dalla base a
alla base d,
log d (c)
log a (c) 
log d (a )
 a,d R+ \ {1}c R+
ESEMPI
L og(5)
l og3 (5) 
L og(3)
2
ln(e )
2
l og 4 (e ) 

ln(4) ln(4)
2
L og(10)
1
l og3 (10) 

L og(3) L og(3)
PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
• PROPRIETA’ DEL PRODOTTO
• PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE
• PROPRIETA’ DELLA POTENZA
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO:
Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma
dei logaritmi:
loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2
 a R+ \ {1}
x1, x2 R+
Esempio: loga(3 · 4 )= loga 3 + loga 4
PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE:
Il logaritmo del quoziente è uguale alla
differenza dei logaritmi del dividendo e del
divisore:
loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2
 a R+ \ {1}
x1, x2 R+
Esempio: loga(8 : 3 )= loga 8 - loga 3
PROPRIETA’ DELLA POTENZA:
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto
dell’esponente per il logaritmo della base:
loga(x= loga x
 a R+ \ {1}
x R+
Esempio: loga(23= 3loga 2
 R
ESERCIZIO
1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] +
1/9 [Log (a) - Log (a+b)] =
Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ]
+ [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] =
Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 :
(a+b)1/9]}
FUNZIONE LOGARITMICA
Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1},
la funzione f : R+  R:
f(x)=logax
x>0
E’ la funzione inversa della funzione esponenziale:
x = ay
y = logax
Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per
ottenere x
Caso a > 1 y=ln(x)
y
x
y
1
0
2
1/e
-1
1
e
1
e2
2
1/e
0
1 e
-1
e2
x
Caso a > 1
confronto tra basi diverse
y = log2x
y = lnx
2
1
1/e
e
-1
e2
Caso a > 1
•
•
•
•
•
Dominio R+
Codominio R
Passa per (1,0)
Monotona crescente
Se la base aumenta è meno ripida
Caso a < 1 y=log(1/e)x
y
1
e
0
1/e 1
-1
x
x
y
1
0
1/e
1
e
-1
Caso a < 1
confronto tra basi diverse
y
y = log(1/2)(x)
1
e
1/e
x
-1
y = log(1/e)(x)
Caso a < 1
•
•
•
•
•
Dominio R+
Codominio R
Passa per (1,0)
Monotona decrescente
Se la base aumenta è più ripida
LE PERCENTUALI
• Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal
rapporto di due valori e indica l’incidenza
della variabile a numeratore sulla variabile a
denominatore.
• Ad esempio il rapporto tra il numero di
ragazze presenti in una classe e il numero di
studenti della classe esprime la quota di
femmine sul totale degli studenti.
175
LE PERCENTUALI
• I costi totali di un’impresa sono passati da
75.000€ a 100.000€.
• I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono
aumentati passando da 250.000€ a 400.000€
• Calcolare la variazione percentuale dei costi
e dei ricavi.
• Calcolare l’incidenza percentuale dei costi
sui ricavi nei 2 anni.
176
LE PERCENTUALI
• La variazione percentuale dei costi è data
dal rapporto tra la variazione dei costi e il
costo iniziale:
(100.000-75.000)/75.000 =33,33%
• La variazione percentuale dei ricavi è data
dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il
ricavo del primo anno:
(400.000-250.000)/250.000 =60%
177
LE PERCENTUALI
• L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due
anni è rappresentata dal rapporto delle due
quantità:
75.000/250.000 =0,30 =30%
100.000/400.000=0,25=25%
• L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni:
• (75.000+100.000)/(250.000+400.000)=0,269=26,9%
che non è la media aritmetica (=27,5%)
tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!
178
LE PERCENTUALI
• GLI SCONTI SUCCESSIVI
• Sul prezzo iniziale p0  100€ di un bene
vengono applicati due sconti consecutivi:
s1  10% e
s2  20% ; ovvero:
uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e
uno sconto del 20% sul prezzo già scontato
del 10%.
• Si vuole determinare lo sconto complessivo.
179
LE PERCENTUALI
• Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:
p1  100€ - 10% *100€  90€
• Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il
prezzo finale diventa:
p2  90€ - 20% * 90€  72€
• Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%
180
LE PERCENTUALI
• Lo sconto complessivo può essere calcolato
per esteso nel seguente modo:
p1  100€ - 10% *100€  90€
p2  100 * (1 - 10%) - 20% *100 * (1 - 10%) 
 100 * (1 - 10%)(1 - 20%)  72€
• Sconto% 
p0 - p 2
p2
 1 1 - (1 - 10%) * (1 - 20%)
p0
p0
 1 - 0,72  0,28  28%
181
LE PERCENTUALI
• Nel caso degli sconti successivi s1 , s2 , ..., sk
lo sconto complessivo S, espresso come
valore percentuale, sul prezzo iniziale p0
può essere ricavato dalla formula seguente:
S  1 - (1 - s1 ) * (1 - s2 ) *... * (1 - sk )
182