Matematica e statistica
Versione didascalica: parte 0
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http://www.labmat.it/didattica
Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste
e-mail: [email protected]
Syllabus essenziale di trigonometria
Il monumento a Pitagora
(ca. 540-500 a.C.) sul molo
di Puqagoreio, a Samo.
Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa
al-Khwarizmi (770-840), padre della
trigonometria.
Angolo di x = -2p/3 radianti
Angolo di x = 5.500 radianti
Funzioni y = sin(x), y = cos(x)
Gli angoli x sono misurati in radianti, positivi in verso antiorario,
negativi in verso orario. Si generano le funzioni circolari:
b = sin(x), c = cos(x), definite per ogni x reale.
I e IV quadrante
II
I
III
IV
II e III quadrante
Triangoli rettangoli: ipotenusa = 1
1
sin(x)
x
cos(x)
Nel triangolo
rettangolo deve
essere 0 < x < p/2,
ossia x è acuto.
Quindi siamo
sempre nella
situazione del tipo
“I quadrante”
(cos e sin positivi)
Triangoli rettangoli: ipotenusa = a
aa
x
b = a cos(x)
Un semplice cambio di scala
(triangoli simili hanno i lati
in proporzione)
c = a sin(x)
Triangoli rettangoli: mnemotecnica
Dato l’angolo x e la ipotenusa
a, interessa calcolare i cateti.
aa
c = a sin(x)
Intanto x non sarà l’angolo
retto, per cui la ipotenusa deve
essere un “lato” dell’angolo x.
x
b = a cos(x)
Se x è compreso fra l’ipotenusa ed il cateto da calcolare, allora
cateto = ipotenusa x coseno(angolo)
Altrimenti
cateto = ipotenusa x seno(angolo)
Quindi
se compreso coseno, se no seno
Triangoli rettangoli: riflessione
a a
c = a sin(x)
x
y
b = a cos(x)
a
c = a cos(y)
Usare la
mnemotecnica
b = a sin(y)
Triangoli rettangoli: ipotenusa = a
aa
sin( x )
c = a sin(x) = b cos( x )
= b tan(x)
x
b = a cos(x)
b/cos(x) = a
Triangoli isosceli: altezza = L
Q
HQ = L tan(x/2)
x
x/2
L
H
P
PQ = 2 L tan(x/2)
Formule di addizione (conoscere a memoria)
Valori nel I quadrante (da conoscere a memoria)
x
0
6
seno
0
1 2
coseno
1
3 2
4
3
2 2
3 2
2 2
1 2
2
1
0
Grafici (da conoscere e saper riconoscere)
di seno e coseno fra -p e p.
1
2
2
-1
Ecco il grafico della tangente
(le rette verticali in verde-tratteggiato non fanno parte del grafico):
6
4
2
2
2
2
-2
-4
-6
-8
2
3
Funzioni circolari inverse
arcsin (x) = la soluzione a dell’equazione sin(a) = x
che verifica p / 2  a  p / 2
(nel I o nel IV quadrante)
arccos (x) = la soluzione a dell’equazione cos(a) = x
che verifica
0 a p
(nel I o nel II quadrante)
arctan (x) = la soluzione a dell’equazione tan(a) = x
che verifica p / 2  a  p / 2
(nel I o nel IV quadrante)
Delle funzioni inverse ha particolare interesse l'arcotangente di x, in
simboli y = tan-1(x) scritto pure y = arctan(x), oppure y = arctg(x), che e'
la soluzione y dell'equazione x = tan(y) che si trova nell'intervallo aperto
(-p /2, p /2). Grafico dell'arcotangente:
2
-4
-2
2
2
4