Politica Regionale e dello Sviluppo
A.A. 2003-2004
La convergenza
economica:
metodi non parametrici
Lezione di Cristina Brasili
1
Lezione di Cristina Brasili
TEORIA E MODELLI DI ANALISI DELLA
CONVERGENZA NON PARAMETRICA
•.Metodi
non parametrici
•Matrici di transizione
•Un’applicazione delle matrici di transizione alle
variabili del settore agroalimentare
•Un’applicazione dello stochastic kernel alle
regioni dell’Unione europea
• Lo stochastic kernel
•Un’applicazione dello stochastic kernel ai Paesi
candidati
2
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
Indicazioni bibliografiche sulla convergenza economica
•
•
•
•
•
•
•
•
•
L. Boggio G. Serravalli, Sviluppo e crescita economica, Mc Grow
Hill
Leonardi R., Coesione, convergenza e integrazio nell’Unione
europea, Ed. Il Mulino (1997)
Quah D. (1993), “Empirical Cross-Section Dynamics in Economic
Growth”, European Economic Review, 37(2/3):426-434, April.
Quah D. Twin Peaks: Growth and Convergence in Models of
Distribution Dynamics, Economic Journal, 106: 1045-1055, 1996
Bernard A.B., Durlauf S. N. (1995), “Convergence of
International Output Movements” Journal of Applied Econometrics,
10, 97-108.
Bernard, Durlauf (1996) Interpreting tests of the convergence
hypothesis, Journal of Econometrics, 71, pag 161-173
Brasili C., Oppi M. Convergenza economica delle regioni europee
e allargamento a Est, Serie ricerche n.3 Dipartimento di Scienze
Statistiche “P.Fortunati”, 2001
Bacchiocchi E., Brasili C., Fanfani R. (1999), “Convergence and
Long Term Dynamics in the Agrofood Systems in the EU regions
(1980-95)”, Department of Statistics “Paolo Fortunati”, Research
Book n. 7.
Silverman B. W. (1986), “Density estimation for statistics and data
analysis”, Chapman and Hall.
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
La convergenza non parametrica
•
•
•
•
Critiche ai metodi di analisi della convergenza
parametrica
Un segno negativo e significativo del coefficiente
beta in una regressione cross-country viene
interpretato come convergenza condizionata
L’approccio alla beta e alla sigma convergenza
spesso porta a verificare convergenza anche
quando non c’è
Bernard e Durlauf (1995) mostrano che lo
stimatore beta non riesce ad identificare uno o più
paesi che divergono
Quah (1993) mostra che i cambiamenti di
traiettoria sono frequenti e quindi i sentieri di
crescita non sono abbastanza stabili da utilizzare
interpolazioni
La stima beta tende inoltre a essere
sistematicamente intorno al 2% (Canova e Marcet,
1995; Pesaran e Smith 1995)
(Boggio, Serravalli da pag. 143)
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Un’analisi non parametrica per le variabili del
sistema agroalimentare
ANAV/GDP= FC/GDP * FAP/FC * ANAV/FAP (1).
-AAV/GDP (Agriculture Added Value/Gross
Domestic Product)
-AIAV/GDP (Agrofood Industry Added Value/
Gross Domestic Product)
-AIAV/AAV (Agrofood Industry Added
Value/Agriculture Added Value)
6
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Dinamica della varianza e sigma-convergenza
AAV/GDP EU REGIONS
 = 0.02
2 = 0.0003
CV= 0.76
 = 0.03
2 = 0.0004
CV= 0.72
1995
1990
 = 0.04
2 = 0.0007
CV= 0.76
1985
 = 0.04
2 = 0.0009
CV= 0.74
1980
7
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Dinamica della varianza e sigma-convergenza
AIAV/GDP EU REGIONS
 = 0.04
2 = 0.0003
CV= 0.51
 = 0.04
2 = 0.0004
CV= 0.52
 = 0.04
2 = 0.0005
CV= 0.55
 = 0.04
2 = 0.0004
CV= 0.48
1995
1990
1985
1980
8
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Dinamica della varianza e sigma-convergenza
AAV/GDP
0,6
0,55
0,5
0,45
1991
1993
1994
1995
1991
1992
1993
1994
1995
1991
1992
1993
1994
1995
1992
1990
1990
1990
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1983
1982
1981
1980
0,4
AIAV/GDP
0,34
0,32
0,3
0,28
0,26
0,24
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1983
1982
1981
1980
0,22
AIAV/AAV
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,8
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1983
1982
1981
1980
0,7
9
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Un approccio probabilistico
AAV/GDP 1980
AAV/GDP 1985
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
y
y
1.0
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0
1
2
x
3
4
0
1
2
x
3
4
3
4
AAV/GDP 1995
AAV/GDP 1990
1.0
1.0
0.8
0.6
0.6
y
y
0.8
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0
1
2
x
3
4
0
1
2
x
10
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Un approccio probabilistico
AIAV/GDP 1985
1.2
0.9
0.9
0.6
0.6
y
y
AIAV/GDP 1980
1.2
0.3
0.3
0.0
0.0
0
1
2
x
3
4
0
1
AIAV/GDP 1990
3
4
AIAV/GDP 1995
1.2
1.2
0.9
0.9
0.6
0.6
y
y
2
x
0.3
0.3
0.0
0.0
0
1
2
x
3
4
0
1
2
x
3
4
11
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Un approccio probabilistico
AIAV/AAV 1985
1.2
0.9
0.9
0.6
0.6
y
y
AIAV/AAV 1980
1.2
0.3
0.3
0.0
0.0
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
x
AIAV/AAV 1990
5
6
5
6
AIAV/AAV 1995
1.2
1.2
0.9
0.9
0.6
0.6
y
y
4
x
0.3
0.3
0.0
0.0
0
1
2
3
4
x
5
6
0
1
2
3
4
x
12
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Regioni sviluppate e in ritardo di sviluppo (obiettivo 1): il grado
di convergenza
13
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Regioni sviluppate e in ritardo di sviluppo (obiettivo 1): il grado
di convergenza
AAV/GDP Objective 1 EU REGIONS
 = 0.04
2 = 0.0004
CV= 0.52
1995
 = 0.05
2 = 0.0005
CV= 0.49
1990
 = 0.06
2 = 0.0011
CV= 0.56
1985
 = 0.07
2 = 0.0013
CV= 0.50
1980
de3
be3
es7
ukb
es1
pt1
it8
it7
itb
ita
it9
es6
ie
es4
14
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Regioni sviluppate e in ritardo di sviluppo (obiettivo 1): il grado
di convergenza
15
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Un approccio probabilistico
AIAV/GDP Objective 1 EU REGIONS
 = 0.04
2 = 0.0008
CV= 0.66
1995
 = 0.04
2 = 0.0009
CV= 0.69
1990
 = 0.05
2 = 0.0013
CV= 0.75
1985
 = 0.05
2 = 0.0008
CV= 0.60
es1
pt1
1980
es4
ita
it8
es7
be3
it7
it9
itb
es6
ie
ukb
16
Modelli di sviluppo e misura della convergenza.
Un’analisi delle regioni europee con particolare attenzione a quelle in ritardo di sviluppo.
Modelli per distribuzioni cross-section che si evolvono nel
tempo: matrici di transizione
Transition matrices- First order, time stationary, 1980 to 1995; EU Regions
AAV/GDP
296
338
186
127
88
Ergodic
(0 : 0,5)
0.916
0.062
0.21
0.29
AIAV/GDP
55
419
266
112
33
Ergodic
(0 : 0,5)
0.836
0.024
(0,5 : 1)
0.164
0.955
0.045
0.08
0.53
AIAV/AAV
177
356
120
65
152
Ergodic
(0 : 0,5)
0.876
0.070
(0,5 : 1)
0.124
0.888
0.092
0.015
0.22
(0,5 : 1)
0.084
0.885
0.070
0.39
(1,5 : 2)
(2 : )
0.21
0.091
0.803
0.136
0.17
0.087
0.864
0.11
(1 : 1,5)
(1,5 : 2)
(2 : )
0.25
0.041
0.857
0.091
0.10
0.036
0.909
0.04
(1 : 1,5)
(1,5 : 2)
(2 : )
0.039
0.808
0.169
0.007
0.16
0.092
0.678
0.072
0.08
0.008
0.138
0.921
0.16
(1 : 1,5)
0.053
0.839
0.110
0.021
0.914
0.107
17
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unine europea
Convergenza economica nelle regioni
dell’Unione europea (Leonardi, 1998)
•L’analisi della convergenza economica nelle
regioni europee è stata negli anni Novanta al
centro dell’attenzione di numerosi studiosi.
• Gli studi più recenti non hanno però prodotto
un’interpretazione univoca dello sviluppo
economico dell’Unione Europea.
•La variabile esplicativa più frequentemente
utilizzata per l’analisi della convergenza
economica è il PIL per abitante.
18
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea
Le regioni dell’Unione europea
(Leonardi, 1998)
La Banca Dati creata appositamente per
un’analisi di lungo periodo si snoda dal
1950 al 1995.
A tale scopo sono state utilizzate tre diverse
fonti di dati:
•il lavoro di Molle von Holst e Smith
(1980),
•data base Regio di Eurostat,
•la banca dati dell’ESOC-Lab
Sono state armonizzate e ricostruite due
variabili:il PIL pro capite e le PPA pro
capiteper 140 regioni di livello Nuts2
19
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea
Le regioni dell’Unione europea
(Leonardi, 1998)
Si costruiscono le funzioni di densità per
le 140 regioni negli anni 1975, 1985 e 1992
Dalle distribuzioni marginali emerge:
solo nel 1975 c’era una lieve
evidenza di “twin peaks” poi la
distribuzione diventa unimodale e
maggiormente simmetrica
Il kernel stocastico sui dati del Pil pro
capite dal 1975 al 1992 non evidenzia
fenomeni di polarizzazione ma piuttosto di
persistenza di differenze nel tempo in livelli
di ricchezza differenziati (pagg. 174-178,
Leonardi 1998)
20
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
Lo strumento di analisi: lo
Stochastic Kernel
• Lo stochastic kernel utilizza le funzioni di densità
della variabile considerata per poter ottenere una
stima della distribuzione di probabilità ergodica
quando. Il problema fondamentale consiste, dunque,
nello stimare tali funzioni; in particolare vengono
stimate attraverso l’approccio non parametrico, cioè
si affronta direttamente la stima dell’intera funzione
di densità di probabilità, invece di stimare i parametri
di uno specifico tipo di distribuzione, come avviene,
appunto, nell’approccio parametrico alla stima di
densità
•La stima kernel di una funzione di densità
unimodale del vettore di osservazioni x1, x2,….xn è
intuitivamente costituita da una serie di “bumps” o
“collinette” costrute su ciascuna osservazione. La
definizione formale è :

1 n
x  Xi
f ( x) 
K(
)

nh i 1
h
21
Stochastic Kernel
• La funzione Kernel K soddisfa le condizioni:






K ( x)dx  1
| K( x) | dx  
• Il parametro h chiamato bandwith (o window
width) determina l’ampiezza delle “collinette”.
Ognuna di esse ha l’espressione:
1
x  Xi
K(
)
nh
h
• Il Kernel K è una funzione di densità di
probabilità.
22
Stochastic Kernel
• La definizione di kernel come somma di
“bumps” per ciascuna osservazione dal caso
univariato a quelo multivariato :

1
f (x)  d
nh
n
 K(
i 1
x  Xi
)
h
• La funzione kernel è ora definita per un x ddimensional che soddisfa le condizioni:

R
d
K ( x )dx  1
• K può essere una funzione di densità
unimodale e simmetrica come la densità
normale standard
K ( x )  ( 2 )
d 2
1 T
exp(  x x )
2
23
Stochastic Kernel
• L’utilizzo di una sola bandwidth implca che il
kernel è equamente livellato in ciascuna
direzione.
•In alcuni casi sarebbe più accurato usare un
vettore di bandwidths secondo le differenti
densità delle osservazioni nelle diverse
direzioni.
• La rules-of-thumb utilizza un’espressione
approssimata del mean square error (MSE) e
del mean integrated square error (MISE)
2
sostituendo all’espressione  f  x  la varianza
campionaria stimata. Si arriva così a formulare
l’espressione per la bandwidth :
hopt  0.79 Rn
1
5
24
Stochastic Kernel
• Nell’ambito
di
distribuzioni
normali
Silverman propone un altro metodo per
calcolare il valore ottimo del parametro di
smoothing:
h  0,9 A( n) 1 / 5
•dove A è uguale al valore minimo tra la
deviazione standard e il primo quartile della
distribuzione diviso per 1,34.
25
Matrici di probabilità
•The Stochastic Kernel descrive la legge
secondo la quale si muovono una sequenza di
distribuzioni.
• Indicando con t la distribuzine delle
osservazioni al tempo t lo Stochastic Kernel
descrive l’evoluzione di t a t+1 attraverso un
operatore M t che “mappa” il prodotto
Cartesiano nello spazio [0,1]. A Borelmisurabile:
t 1 ( A)   M t ( y, A)dt ( y )
26
Matrici di probabilità
•Sia Ft la distribuzione dei redditi al tempo t; sia
Ft+1 la distribuzione dei redditi al tempo
successivo; allora esiste un operatore M (lo
stochastic kernel) in grado di “mappare”, di
descrivere l’evoluzione della distribuzione al
tempo t in quella al tempo t+1; esiste un
operatore M tale che quindi
Ft+1=Mt Ft
• Se ora si ipotizza che l’M che mappa la
distribuzione al tempo t in quella al tempo t+s, sia
invariante rispetto al tempo, si potrà ricavare uno
stimatore per le distribuzioni di densità future, cioè
Ft+2s=M Ft+s=M(M Ft)=M2Ft
.
.
.
.
Ft+rs=MrFt
27
Matrici di probabilità e stochastic kernel
• Possiamo pensare allo Sthocastic Kernel
in termini di una versione continua della
matrice di probabilità
di transizione
Markoviana
• Il modello proposto (simile ad un
modello autoregressivo (AR)) utilizza
distribuzioni di probabilità invece che
numeri o vettori di numeri.
Ft= M * F t-1
• Ft e Ft-1 sono distribuzioni di densità di
probabilità al tempo t e al tempo (t-1) ,
risepttivamente, e M è l’operatore che
mappa la distribuzione nell’altra.
28
Riassumendo: come si legge il risultato dello
Stochastic Kernel
• Permette di osservare l’evoluzione
temporale della distribuzione della
variabile oggetto di studio (PIL pro
capite)
• Permette di individuare fenomeni
fondamentali per lo studio della
convergenza quali persistenza e
polarizzazione
• Può essere considerato come la
combinazione di:
– Stima non parametrica di funzioni di
densità (stimatore kernel)
– Matrici di probabilità di transizione
29
Lo Stochastic Kernel
Siano
PIL pro capite al tempo t
Ft=
PIL pro capite al tempo t+1
1.4
1,4
1.2
1,2
1
1
Ft+1
=
0.8
0.6
0.4
0.2
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
allora $ M tale che Ft+1=MFt
30
Lo Stochastic Kernel
Si consideri l'intervallo temporale
(t,t+s), allora:
$M tale che Ft+s=MFt
Si consideri M invariante rispetto a t,
allora:
Ft+2s=M Ft+s=M(M Ft)=M2Ft
.
.
.
Ft+rs=MrFt
31
Si consideri il limite per r
allora:
,
32
,
2.5
0.047
0.034
3.0
14
0.0
0
0.02
0.0
54
0.041
47
0.0
0.5
0.034
0.027
0.027
1.0
07
0.0
0.0
14
1.5
0.02
0
2.0
convergenza
0.
00
7
0.041
t
Si consideri il limite per r
allora:
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
limite
2.0
2.5
3.0
33
La convergenza nelle regioni dell’UE 15
• La variabile: PIL pro capite espresso
in PPA
(Fonte: Regio- Eurostat)
• La dimensione territoriale: 126 regioni
NUTS2
• La dimensione temporale: 1980 - 2000
34
La convergenza nelle regioni dell’UE 15
2
PIL pro capite
1989
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,25
0,5
1,25
1
0,75
1,5
1,75
2
2,25
1,8
1,6
PIL pro capite 1999
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
2,5
A distanza di un
decennio,
si
osservano
alcune
differenze
significative.
Il picco di sinistra è
sostanzialmente
sparito.
La moda relativa
alle regioni con
reddito pro capite
superiore al 25% di
quello medio è
inferiore
ma
aumenta il numero
di regioni con un
valore superiore a
quello
medio
comunitario
35
0
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
2,5
La convergenza del PIL-pc nelle
regioni dell’UE 15
36
La convergenza del PIL-pc nelle regioni
dell’UE 15 - Curve di livello
37
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
8. Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea
Un’analisi mediante lo stochastic
kernel all’UE-28 (Brasili, Oppi 2001)
Livelli del PIL pro capite (PPA) nei Paesi di un’Unione allargata, 1988-1997
(media UE 28=100).
Belgio
Danimarca
Germania
Grecia
Spagna
Francia
Irlanda
Italia
Lussemburgo
Olanda
Austria
Portogallo
Finlandia
Svezia
Regno Unito
Bulgaria
Repubblica Ceca
Estonia
Ungheria
Lettonia
Lituania
Polonia
Romania
Slovacchia
Slovenia
Cipro
Malta
Turchia
1995
150
159
147
88
105
139
124
139
232
147
148
94
130
138
128
37
84
43
62
33
37
43
43
55
86
105
66
40
PIL pro capite (PPA) - UE 28=100
1996
1997
1998
147
146
146
160
157
155
147
142
141
89
87
86
106
104
106
135
129
129
124
134
141
138
134
132
227
228
230
143
148
148
150
147
145
93
96
98
127
131
133
135
133
133
132
133
133
33
30
29
87
83
79
44
48
49
62
63
64
34
36
36
38
40
41
45
46
47
44
41
37
59
60
61
88
89
90
105
104
104
68
68
68
40
41
41
1999
144
154
140
87
107
129
145
131
239
147
145
98
131
133
133
29
77
47
66
36
38
47
35
60
92
105
68
36
38
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
8. Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea
Un’analisi mediante lo stochastic
kernel all’UE-28 (Brasili, Oppi 2001)
Livelli del PIL pro capite (PPA) nei Paesi di un’Unione allargata, 1988-1997
(media UE 28=100).
Belgio
Danimarca
Germania
Grecia
Spagna
Francia
Irlanda
Italia
Lussemburgo
Olanda
Austria
Portogallo
Finlandia
Svezia
Regno Unito
Bulgaria
Repubblica Ceca
Estonia
Ungheria
Lettonia
Lituania
Polonia
Romania
Slovacchia
Slovenia
Cipro
Malta
Turchia
1995
150
159
147
88
105
139
124
139
232
147
148
94
130
138
128
37
84
43
62
33
37
43
43
55
86
105
66
40
PIL pro capite (PPA) - UE 28=100
1996
1997
1998
147
146
146
160
157
155
147
142
141
89
87
86
106
104
106
135
129
129
124
134
141
138
134
132
227
228
230
143
148
148
150
147
145
93
96
98
127
131
133
135
133
133
132
133
133
33
30
29
87
83
79
44
48
49
62
63
64
34
36
36
38
40
41
45
46
47
44
41
37
59
60
61
88
89
90
105
104
104
68
68
68
40
41
41
1999
144
154
140
87
107
129
145
131
239
147
145
98
131
133
133
29
77
47
66
36
38
47
35
60
92
105
68
36
39
La convergenza economica: metodi non parametrici - Cristina Brasili
8. Un’applicazione dello stochastic kernel alle regioni dell’Unione europea
Un’analisi mediante lo stochastic
kernel all’UE-28 (Brasili, Oppi 2001)
“Kernel stocastico” per il PIL pro capite (PPA) dei Paesi dell’UE-28
Curve di livello del “kernel stocastico” per il PIL pro capite (PPA) dei
Paesi dell’UE-28
3.0
0.03
8
0.0
11
0.033
44
0.0
2.5
05
0.0
1.5
5
00
0.
38
0.0
1
01
6
0.
01 2
0.
02
0.
1.0
0.0
16
0.03
3
0.02
7
0.0
22
0.5
0.038
7
02
0.
0.0
44
t1
2.0
40
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
t2
2.0
2.5
3.0