Magnetostatica 2
9 giugno 2011
Legge di Biot-Savart
Prima formula di Laplace
Campo B di una carica in moto
Forza magnetica tra due cariche in moto
Forza tra due correnti, definizione di ampere
Circuitazione di B
Legge di Ampère
Legge di Biot-Savart
• Il campo B generato da un filo rettilineo molto
2
i
lungo
Ns
B  2k
k  10 7 2
r
C
• Ha solo componente azimutale
• k è anche espressa mediante la permeabilità
magnetica del vuoto
0
k
4
0  4 107
2
Ns 2
Ns
6

1
.
26

10
C2
C2
2
Forza tra due correnti
• Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted
• Limitiamoci al caso di fili paralleli
 0 i1
• Filo 1 indefinito, genera un campo
B1 
1
2
2 r
• Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso



relativo delle correnti)
F21  i2l2  B1
• Il modulo questa forza vale
0 i1i2
F21  i2l2 B1  l2
2 r
• Formula che sta alla base della definizione di ampere: e` la corrente
costante che produce una forza di 2 × 10–7 newton per metro di
lunghezza tra due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro
0 i
F  l2
2 r
2
2 r
i
F
 0 l2
3
Prima formula di Laplace
• Dalla legge di Biot-Savart, Laplace propose una
formula valida per un circuito di forma arbitraria
 
 


dl  r
dl  r
dB  ki 3
B  ki 3
r
r
• Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B
– Attorno ad un filo indefinito
– Sull’asse di una spira circolare
– Sull’asse di un solenoide
4
Campo B generato da una carica in
moto
• Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento
infinitesimo di un circuito qualunque
 

dl  r
dB  ki 3
r
• Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di
 dq 
lunghezza


id l 
dt
dl  dqv  endVv
• Dividiamo l’elemento di campo magnetico per il numero
di elettroni
• Troviamo il vettore b generato
da un singolo elettrone

 

dB
v r
 b  ke 3
ndV
r
5
Campo B generato da una carica in
moto
• Carica puntiforme q in moto con velocità v
• Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla
velocità v, al seno dell’angolo tra v e r
• È inversamente proporzionale al quadrato della
distanza r
• La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r
• Il verso è dato dalla regola della mano destra
 

qv  r
Bk
r3
6
Forza magnetica tra due cariche in
moto
• Si trova usando l’espressione precedente per B
e la forza di Lorentz
  



v1  v2  r21 
F12   q1v1  B2  kq1q2
r213
• Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta
alla carica 1

 



v2  v1  r12 
F21  q2 v2  B1  kq1q2
r123
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Circuitazione del campo B
• Esaminiamola nel caso particolare del campo
generato da un filo indefinito
• Usiamo coordinate cilindriche
i
 
B  dl  Br dr  B rd  Bz dz
0 i
0
 B rd 
rd 
id
2 r
2
• Se C è una circonferenza e il filo è perpendicolare
al piano del cerchio e passa per il suo centro
•
  2  0
C B  dl  0 2 id  0i
Consideriamo positiva la corrente se ha lo stesso
n
C
verso del versore normale al cerchio che appoggia
su C
• In tal caso B ha lo stesso verso di dl e la
circuitazione e` positiva
8
Circuitazione del campo B
• Se si cambia il verso della corrente il
2° membro cambia segno
• Anche il primo membro cambia segno
perché B assume verso opposto
• Quindi la formula trovata e` valida
qualunque sia il verso della corrente,
• Se si percorre il circuito in verso
opposto a quello associato al versore
normale, la circuitazione cambia segno
i
n
C
 
 
 B  dl    B  dl  0i
C
C
9
Circuitazione del campo B
• Sia l’integrando che l’integrale
non dipendono da r
• Se ora C è una curva arbitraria
(concatenata
al filo)
 
B  dl  B r ( )d
0 i
0

r ( )d 
id
2 r ( )
2
• E di nuovo otteniamo
  2 0
C B  dl  0 2 id  0i
C
10
Circuitazione del campo B
• Se la curva C fa n giri attorno al filo la
circuitazione è
  2n 0
C B  dl  0 2 id  n0i
• Se la curva è concatenata a più fili la
circuitazione totale è la somma delle
circuitazioni dei campi B relativi a
ciascun filo
C
N 
 N  
 
 B  dl    B j  dl   B j  dl 
C j 1
C
j 1 C
N
N
j 1
j 1
   0i j   0  i j
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Circuitazione del campo B
• Sia ora C una curva arbitraria non concatenata
al filo, percorsa in senso orario
• Scegliamo due punti P e Q sulla curva,
suddividendola in due curve C1 e C2
B,C   B,C2 C1 
• Tracciamo una curva D da P a Q di modo che
C1  D
(percorsa in senso orario) e
(percorsa in senso antiorario)
C2  D
siano concatenate con il filo
P
C1
 B,C2 C1    B,C1  D    B,C2  D
C2
D
Q

• Le due circuitazioni nel membro di destra sono
uguali in modulo e di segno opposto, quindi la
circuitazione lungo C è nulla
 B,C   0i  0i  0
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Legge di Ampère
• Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici
arbitrari e vari conduttori
• Proprietà generale del campo magnetico: legge di
Ampère
N
 
 B  dl  0  i j
C
j 1
• Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore
• Per curve non concatenate la circuitazione è nulla
• È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata
da Maxwell
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Forma differenziale della legge di
Ampère
• Applichiamo il teorema di Stokes alla
circuitazione del campo B e riscriviamo la
corrente come il flusso della densita` di
 
 
  
corrente:
0  J  da  0i   B  dl     B  da
S C 
C
S C 
• Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue
che
 

  B  0 J
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