LA CIRCONFERENZA
2
2
x

y

ax

by

c

0
1
ARGOMENTI TRATTATI
1.
Le equazioni della circonferenza
2.
Questioni basilari
3.
Questioni relative alle rette tangenti
4.
Curve deducibili dalla circonferenza
5.
Disposizione di due circonferenze nel piano
6.
Fasci di circonferenze
7.
Discussione di sistemi di 2° grado con parametro
2
LE EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA
Definizione Si dice circonferenza C di centro C e raggio r, il luogo geometrico dei punti P del piano 
aventi da C distanza uguale ad r.
Da questa definizione, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della
circonferenza, o rappresentazione analitica.
Iinfatti, se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C , le coordinate P(x;y), si ha:
CP
r 
xα2 yβ2 r
xα2 yβ2 r2

equazione
cartesiana
.
 Sviluppand
o siottiene
: 2x2 2xy2 2 2yr2 ,
-a 2
a-2




e sesipone
b

-2

(1)
,
o
anche
(2),

-b2
2 2 2

2
2

  r c
r   c
siottiene
:
x2 y2 axby
c0 equazione
normale
.
• Moltiplicando i due membri dell’equazione normale per una costante arbitraria k  0 si ha:
kx2 + ky2 + kax + kby + kc = 0
equazione generale .
3
• Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè  = 0 e  =0 ,
l’equazione normale diventa:
2 2

x

y
ax

by

c

0

2
a


2
α
; a

0
2
y
x

c

0 equazione
canonica
.


b


2
β
; b

0

2
2 2 2
Osserviamo
inoltre
che
c


r
(
c




r)
,
2 2
quindi
l'
equazione
canonica
si
può
scrivere
anche
: 2
y
x

r.
Osservazioni sulle equazioni normale e generale:
1. manca in esse il termine rettangolare in xy;
2. i coefficienti dei due quadrati x2 e y2 sono uguali (uguali a 1 nella normale);
1. premesso che dall’equazione generale si passa immediatamente a quella normale dividendo entrambi
i membri per k  0, se è nota l’equazione normale x2 + y2 + ax + by + c = 0 , allora, dal sistema (2), si
determinano prontamente le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza:
a
α




2

C
α;
β
con
;

b

β



2
2 2
a
b
22
r

α

β

c


c
4
4
4
4.
non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l’equazione normale rappresenti una
circonferenza. Dall’espressione del raggio, scritta nel sistema (2), si hanno infatti i seguenti casi:
2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c
 0




 0



 0

l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza
reale ( r immaginario );
l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere)
di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C;
l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale.
5. circonferenze particolari:
5
Considerazioni sul caso ‘c = 0’.
Se c = 0 , il grafico della curva passa per
l’origine perché l’equazione diventa
x2 + y2 + ax + by = 0 ,
quindi una delle infinite soluzioni è sempre la
coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il
punto O(0 ; 0) .
6
QUESTIONI BASILARI
1.
Verifica se le equazioni date rappresentano circonferenze reali; in caso affermativo determinane
centro e raggio.
a. x2 + y2 = 4 ;
a = 0; b = 0; c = - 4 ; a2/4 + b2/4 – c = 4  si,
l’equazione data rappresenta una circonferenza reale
di centro C( ; ) = C(-a/2 ; -b/2) = C(0;0)
e di raggio r = 2.
b. x2 + y2 + 9 = 0 ;
a = 0; b = 0; c = 9;
a2/4 + b2/4 – c = - 9  no,
l’equazione data non rappresenta una circonferenza reale,
bensì immaginaria.
c. x2 + 2y2 + x + 3y - 5 = 0 ;
non è l’equazione di una circonferenza perché
i coefficienti dei termini di secondo grado,
x2 e y2, sono diversi; si tratta di un’ellisse,
infatti δ 20.
7
2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione
rappresenta una circonferenza.
3x2 + 3y2 – 6(k-1)x + 27 = 0
2
2
2
2
k
x27
k
x90.
Ricaviamo
l'
equazione
normale
: 3
x

3
y

6
1

0 x

y

2
1
Affinchè
l'
equazione
data
rappresent
i una
circonfere
nza
sideve
verifica
re
che
2
k-1
 90; k2-2k
a2 4

b
4

c
0, cioè
-8
0,
verif
icata
per
k
-2k
4
.
2
In
particolar
eper
k
-2
eper
k
4lacirconfere
nza
èdegenere
(r

0),
esiriduce
ai
punti
C
(-3;0)
, per
k
-2
, eC
, per
k4.
1
2(3;0)
2
2
x3
 y20,
per
k
-2x

y

6
x
9
0
2
Infatti
siha
:
2
2
x3
 y20,
per
k4 x

y

6
x
9
0
2
3. PROBLEMA RICORRENTE:
x
3

verific
ata
solo
per

y
0

x
3

verific
ata
solo
per

y
0

determinare l’equazione di una circonferenza.
Facendo riferimento all’equazione normale, determinare l’equaz. di una circ. significa determinare
i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da
cui ricavare tre equazioni indipendenti.
Alcune di tali condizioni sono, per esempio:
8
• conosco le coordinate del centro C(;) (sono due condizioni)
• conosco il raggio r

 a = - 2 ; b = - 2
r2 = 2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c
• passaggio per un dato punto P(xp ; yp)

(xp)2 + (yp)2 + axp + byp + c = 0
• centro C(;) su una retta di nota equazione y = mx + q
• tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q

  = m + q , oppure -b/2 = -ma/2 + q
vedi Circonferenza tangente ad una retta .
3.a Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(-2; 1/2) e raggio r = 1.




x

2

y

1
2

1 equaz
carte

a


2

;
a


2

(

2)

4
13

22
b


2

;
b


2

(1/2)


1


x
y

4x

y


0 equaz
norm

4

22
2
c

α

β

r
;c

4

1/4

1

13/4
2 2

4x

4y

16x

4y

13

0
equaz
gene
.
2
2
3.b Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(0 ; -2), B(0 ; 6), C(8 ; 0).
4

2
b

c

0 passaggio
per
A


2 2
Dall'
equazione
normale

y
x

ax

by

c

0si
ha
:
36

6
b

c

0 passaggio
per
B


64

8
a

c

0 passaggio
per
C

2 13
x

y
x

4
y

12

0
equaz.
normale;
a


13
2
2


2
2

b


4

2x

2
y

13
x

8
y

24

0 equaz.
generale;


2
2
c


12




x
13
4

y

2

425
16equaz.
cartesiana
.

2
9
3.c Scrivi l’equazione della circonf. avente per diametro il segmento di estremi A(-3 ; 1) e B(2 ; 5).
1
2
2 41



Coordinate
del
centro
:C(-1/2,
3),
raggio
:
r


3

2

1

5
;
2
2

a


2


1

2 2
quindi
b


2


-6


y

x

6
x
y

1

0
.

 2 22
c




r
1/4

9
41/4

-1

3.d Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1 ; 2) e B(3 ; 4) e avente il centro
sulla retta t di equazione x – 3y – 1 = 0 .
1
metodo
1

4

a

2
b

c

0


9

16

3
a

4
b

c

0





a
2

3

b
2
1

0

a


8



b


2


c

7

passaggio
della
circonf.
per
A
a

2
b

c


5


passaggio
della
circonf.
per
B

3
a

4
b

c


25





passaggio
retta
per
t C
a
2
;

b
2
a

3
b


2

2
2
y

x
8
x

2
y

7

0
equaz.
normale.
10
2 metodo
o le coordinatedel centro C;
Si determinan
dall'intersezione della retta t con l'asse della corda AB,
quindi si trova il raggio, da cui c  2  2  r 2 .
Determino l'equaz. dell'asse di AB, y  mx  q :
y  yB 2  4
1
 1; m  -1;

, con m' A
mx A  x B 1 3
m'
l'asse passa per il punto medio di AB, M(2;3),
quindi: y - 3  -(x - 2)  x y - 5  0 .
  4 ; a  -8;
x  4
x - 3y -1  0


Trovo C(;) : 
  1; b  -2 ;
y  1
x  y - 5  0
Trovo il raggio r  CA 
4 12  1 22
quindi c  16 1-10  7 
 10 ,
x2  y2  8x  2y  7  0.
3.e Determina per quali valori del parametro reale k la circonferenza di equazione
x2 + y2 – 2(k – 1)x + 2ky + k – 4 = 0


a.
passa
per
P(1;-2)
:1

4
2
k
1

4k

k

4

0
;k

3
5
;
k

0

2 2
1
2 2
2
2


b.
ha
raggio
r

5
:r

a
4

b
4

c
;5

k
1

k

k

4
;2k

3k

0
;
k

3
2

2
α

a
2
;α

k
1

c.
il
centro
appartiene
alla
retta

y
x
:

k
1

-k
;k

1
2
.
β

b
2
;β

-k

11
QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi:
1.
2.
determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, condotte da un punto di note coordinate;
determinare l’equazione della circonferenza tangente ad una retta di nota equazione.
1.
Rette tangenti ad una conica condotte da un punto P
Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del
discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento, ma anche con altri accorgimenti
che, relativamente alla questione in esame, possono semplificare i calcoli (vedi esempi seguenti).
In sintesi:
metodi generali, validi per tutte le coniche:
a. metodo del discriminante nullo,
b. metodo delle formule di sdoppiamento.
metodi particolari, validi solo per la circonf.: c. metodo della distanza retta-centro uguale al raggio,
d. metodo della tangente perpendicolare al raggio (solo
se il punto P appartiene alla circonf.) .
Di solito conviene applicare
il metodo ‘c’, se il punto P non appartiene alla circonferenza,
il metodo ‘b’, se il punto P appartiene alla circonferenza .
12
Esempi
1. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y2 - 2x = 0 , condotte
dal
punto P(9/4 ; 0).
Verifico se P appartiene alla circonf.: 81/16 – 9/2  0  P non appartiene alla circonf., quindi posso
avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno alla circonferenza.
Metodo ‘a’

x

y

2x

0
4
2
2
2
2 Δ2

...
16
1

m
x

72m

32
x

81m

0
;

144m

256

0
;
m


.

1,2
4
3
y

m(x

9/4)

4
4
Rette
tangenti
in
P
:
y

x

3
;
y


x

3
.
3
3
2
2
 

Metodo ‘b’


P
9/4
;
0
9 9
9

applico
le
formule
di
sdoppiamen
to

x
x


0
; 5x
9

0
; 
x
.

4 4
5
x

y

2
x

0

2
2
Re
tta
polare

: 
9
x
/
5

determino
le
coordinate
dei
punti
ditangenza
T
e
T
:
1
2
x

9/5

3

;T



y



T
9/5
;
3/5
9/5
;
3/5

1
2
2 2
5
x

y

2
x

0

Determino
le
equazioni
delle
rette
tangenti
:
y
3/5
x

9
/
5
4
y

3/5
x

9
/
5
4
retta
PT
:


y

-x

3
; retta
PT
:


y
x
3
.
1
2
3/5
9
/
4

9
/
5
3
3/5
9
/
4

9
/
5
3
13
Metodo ‘c’
• Determino le coordinate del centro C e il raggio r :
C(1;0) ; r = 1.
• Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P
in forma implicita: 4mx – 4y – 9m = 0.
• Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C
sia uguale al raggio r :



4
m
1
4
0

9
m

5
m
2

1
;

1
;5m
16
m

16
;
2
2
16
m

16
16
m

16
4
2
2
2 16
25m

16
m

16
; m
 ; m

.
1,2
9
3
4
4
Rette
tangenti
in
P
:y
x

3
; y

x

3
.
3
3
14
2. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y2 - 2x - 6y - 10 = 0 ,
condotte dal punto P(5 ; 5).
Verifico se P appartiene alla circonf.: 25 + 25 – 10 – 30 – 10 = 0  P appartiene alla circonf., quindi
ho sicuramente una e una sola soluzione.
Metodo ‘a’
22

x

y

2x

6y

10

0
2
2
2
2

...
1

m
x

2
5m

2
m

1

x
25
m

20
m

15

0
;

y

5

m(x

5
)
;
y

mx

5m

5

Δ
2
2
2


4
m

16
m

16

0
;m

4
m

4

0
;
m

2

0
;m


2
.
4
Retta
tangente
in
P
:y


2
x

15
.
  

Metodo ‘b’


P
5
;
5




applico
le
formule
di
sdoppia
to

5x

5y
x

5

3
y

5

10

0
;
2
2
x

y

2
x

6
y

10

0
4x

2y

30

0
;
retta

tangente
:
y


2x

1
5
.
Metodo ‘c’
• Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;3) ; r = 20 1/2.
• Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: mx – y – 5m + 5 = 0.
• Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :
15


m
1

3

5
m

5

4
m

2
2

20
;

20
;
4
m

2

20
m

1
;
2
2
m

1
m

1
2
2
2
2

16m

4

16
m

20
m

20
; 4m

16
m

16

0
;m

4
m

4

0
;
m

2

0
;m


2
.
2
m

-2


Retta
tangente
in
P
:y


2
x

15
.

y

mx
5m

5
(equaz.
del
fascio)

Metodo ‘d’
• Determino le coordinate del centro C: C(1;3) .
• Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro
P(5;5) : y = mx – 5m + 5 .
• Determino il coeff. angolare m1 della retta CP
perpendicolare alla tangente in P :
y

y
5

3
1
1
P
C
m


;
quindi
m




2
;
1
x

x
5

1
2
m
PC
1
retta
tangente
in
P
:y


2x

15
.
16
2. Circonferenza tangente ad una retta di nota equazione
Esempi
1. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;4) e B(5;0) e tangente alla retta di
equazione y = – x + 1 .
1;4
116
a4bc0
passaggio
della
circonf.
per
A

25
5;0
passaggio
della
circonf.
per
B
17
a4bc
 5ac0



5ac25 c
5a25

x2y2ax
0
by
c0


0 condizione
di tangenza 

yx1
17
a4bc
dalla
combinazio
nelineare
delle
prime
due
equaz.
siha
: 
5a
c25

4a
4b 
8 ab2; ba2
Ricavo
lacondizione
di tangenza
:
x2y2ax
by
c0
2ax
5a25
0
 2x
x1
a2x1

y


x

1

6
6
a
a



2
... x
2x2a11
0;
12a11
0; a
6
4 x2y26x4y50.
ba2 ; b
4
c
5a25 
equazione
della
circonfere
nza

c5
17
Traccio il grafico.
Dall’equazione x2 + y2 - 6x - 4y + 5 = 0
si ricavano le coordinate del centro C(3; 2).
2. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;2) e B(3;4) e tangente alla retta di
equazione y = – 3x + 3 .


1

4

a

2
b

c

0 passaggio
della
circonf.
per
A
1
;
2




9

16

3
a

4
b

c

0 passaggio
della
circonf.
per
B
3;
4
a

2
b

c


5





3
a

4
b

c


25




2 2


0

x

y

ax

by

c

0





0
condizione
di
tangenza


y


3
x

3


18
Esprimo b e c in funzione di a. Dalla combinazione lineare delle prime due equazioni si ha:
 a  2b  c  5

 3 a  4 b  c   25
2a  2 b
Sostiusco
  20
nella

prima
a  2  - a - 10   c   5 ;
Ricavo
la condizione
b   a  10 .
equazione
:
c  a  15 .
di tangenza
:
 x 2  y 2  ax  by  c  0

y  3x  3
x
2
   3 x  3   ax    a  10
... 5x

4
2
2
  3 x  3   a  15
 0
 2 a  3 x  a  3   0 ;
 ... a 2  11 a  24  0 ;
a1  8 a 2  3


a1  8 e a 2  3  b1  2 ; b 2  7
 c   7  c  12
 1
 2
In questo
caso
abbiamo
due soluzioni
x 2  y2  8x  2y  7  0
 C
x 2  y 2  3 x  7 y  12  0
 C
:
1
4 ; 1
2
 3 /2 ; 7/2 
.
19
1.
Determina l’equazione della circonferenza di centro C(-2 ; -3) e tangente alla retta di equazione y = 3x -1 .
Trovo il raggio della circonferenza, sapendo che coincide con la distanza del centro C dalla retta tangente:
scrivo l' equazione della retta in forma implicita :
3x  y  1  0 ;
applico la formula della distanza ' punto - retta' :
3 2   1 3   1
4
,
10
10
quindi l' equazione cartesiana della circonfere nza è :
 x  2 2   y  3 2  8 .
5
r
; r
Scrivo l' equazione in forma normale :
a  4

b  6
c  4  9  8/5 ; c  57/5

x 2  y 2  4x  6y 

57
0 .
5
20
4.
Determina l’equazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani e passante per il punto P(3 ; 2/3) .
La circonferenza si trova nel primo quadrante e il suo centro appartiene alla retta y = x , quindi  = 
e a=b.
Osservo inoltre che il raggio misura  = - a/2 , quindi si ha:
a b
r a/ 2


2
2
2
c a/ 2 a/ 2 a/ 2 ;
94/93a (2/3)bc 0

c a/ 22
cond.
di passaggio
perP(3; 2/3)
34

a1 


3
 ... 9a2 132
a 3400 
a 10
2

3

Il problema
ammette
quindi
duesoluzioni
:
34
289

a1 b1  ; c1 
 9x2 9y2 -102x
-102y
2890


3
9

25
a b 10 ;
c2 
 9x2 9y2 -30x-30y250 .
2
2

3
9

21
CURVE DEDUCIBILI DALLA CIRCONFERENZA
Esplicitando l’equazione di secondo grado x2 + y2 + ax + by + c = 0 rispetto alla variabile y e rispetto
alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), ricavate sotto.
Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semicirconferenze.






a a24y2by
c
x
2
b b24x2ax
c
y
2
sostituend
o a2 e b2 siottiene
:


2 a24y22yc
x
2
2 424x22
xc
y
2
y 2x22
xc

x 2y22yc .
Scriviamo
queste
equazioni
inmodo
più
sintetico,
indicando
con
k e  leparti
costanti
:
(1
) y x2kx

y se
con
y se
(2)x y2ky

x se
con
x se 

Ricorda
che
l'equazione
y- x kx
 per
ammettere
soluzioni
deve
avere
y-0 ...
2
22
Esempi.
Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.
1
. y2 9-x2; questa
equazione
equivale
alsistema


2

2
x2y24y
50



y-2
 9-x2 


y2

y20


2
dove
x
y24y
50 èl'equazione
diuna
circonfere
nza
dicentro
C(0
;2)
eraggio
r3,
y2èilsemipiano
che
si trova
"sopra"
laretta
y2,
compresi
i punti
diordionata
y2.
2
.
2

x
2 y

8y

7; questa
equazione
equivale
al
sistema
2

2
2
2

x22
x
y
4
x
8
y
11
0
8y

7

 y 


 


x
2


x20

2
2
dove
x
y
4
x
8
y
11
0èl'
equazione
di
una
circonfere
nza
di
centro
C(-2
;4)
eraggio
r3
,
x

2èilsemipiano
che
si trova
"adestra"
della
retta
x

2,
compresi
i punti
di
ascissa
x
2
.
23
3
.
2
x
y
4x40
, questa
equazione
equivale
all'
unione
2
x0
x0


dei
due
sistemi
:2 2
 2 2
x y 4
x40
x y 4
x40


2

x
y
4
x40 ha
centro
C(2
;0)
eraggio
r2 2,
con0x
semipiano
"adestra"
dell'
asse
della
ordinate
,
compresi
i punti
diascissa
x
0;
2
2
y
x
4
x40 ha
centro
C(-2
;0)
eraggio
r2 2,
con0x
semipiano
"asinistra"
dell'
asse
della
ordinate
.
2
4.
xy24x2y470, questa
equazione
equivale
all'
unione
2
deidue
sistemi
:
y2
y2

2 2
2 2
0
x y 4x2y11
x y 4x2y30

xy24x2y11
0circonfere
nza
dicentro
C
;-1)e raggio
r4, con
y2semipiano
1(2
2
"sopra"
laretta
y2, compresi
i punti
diordinata
y2;
2

xy24x2y30circonfere
nza
dicentro
C2(2
;1)e raggio
r2 2, con
y2 semipiano
che
si trova
"sotto"
laretta
y2.
24
DISPOSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO
Due circonferenze di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 possono
presentare nel piano le seguenti disposizioni:
Determinazione degli eventuali punti comuni A, B o T.
Per determinare gli eventuali punti d’intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema di quarto
grado formato dalle equazioni delle due circonferenze. Conviene procedere come segue:
2 2

x

y

ax

by

c

0


2 2

x

y

a
'
x

b
'
y

c
'

0





a
a'
x

b

b
'
y

c

c
'

0
è
un'
equazione
lineare
in
"
x"
e
"
y"
,perciò
rappresent
a
una
retta.
Tale
retta
viene
chiamata
asse
radicale
delle
due
circonfer
nze.
a
a'
a
a'
Notazione
esplicita
dell'
asse
radicale
:y

x

(
c

c
'
)
,coeff.
angolare
m

 ,con
b

b'
.
b
b'
b
b'
25
Osserva che se a = a’ e b = b’ non si ottiene l’equazione della retta ‘ asse radicale ’; in questo caso le due
circonferenze sono concentriche e non hanno punti in comune o sono coincidenti.
Quindi si risolve uno dei due sistemi di secondo grado fra l’equazione della retta ‘ asse radicale ‘ e l’equazione
di una delle due circonferenze:
2
2
2
2


x

y

ax

by

c

0
x

y

a
'
x

b
'
y

c
'

0
oppure
con
a

a'
o
b

b'
.










a
a'
x

b

b
'
y

c

c
'

0
a
a'
x

b

b
'
y

c

c
'

0


Tali sistemi ammettono
• due soluzioni se le circonferenze sono secanti;
• una soluzione se le circonferenze sono tangenti;
• nessuna soluzione se le circonferenze non sono secanti, né tangenti.
26
Osservazio
ne
:l'
asse
radicale
è
perpendico
lare
alla
retta
passante
per
icentri
delle
due
circonfere
nze

eC'

,
C

a/2;

b/2

a'
/2;

b'
/2
a

a'
coefficien
te
angolare
dell'
asse
radicale
m


a

a'
b

b
'
b

b'
infatti
:

 


1
,

b/2

b'
/2
b

b
'
b

b'
a

a
'
coefficien
te
angolare
retta
CC' m'




a/2

a
'/2
a

a
'
m
m'

-1
, cioè
le
due
rette
sono
perpendico
lari
.
Particolari rette ‘ asse radicale ’:
• se a = a’ e b  b’  le due circ. hanno i centri di uguale ascissa e l’asse radicale ha equazione y = k ;
• se a  a’ e b = b’  le due circ. hanno i centri di uguale ordinata e l’asse radicale ha equazione x = k.
Si può concludere quindi che:
• se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale coincide con la tangente alle circonferenze nel
loro punto di tangenza T;
• se si conosce l’equazione dell’asse radicale, si possono trovare i punti comuni delle due circonferenze.
27
Esempi
1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze
di equazione: x2 + y2 + 2x - 4y – 11 = 0 e x2 + y2 + 2x - 16y + 13 = 0 .
Trovo
l'equazione
dell'
asseradicale
:
2
2

x y 2x4y110
2 2

y130
x y 2x16
12y
-240  y 2 .
x2 y2 2x4y110
 x2 42x8110;

y2
x 5
x2 2x150  1
, quindi
leduecirconfere
nze
x2 3
 e B3;2
.
sono
secanti
neipunti A-5;2
Peril grafico
: C11;8, C21;2.
2. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione:
x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 3x + 2 = 0 .
22

x

y

1

0

Trovo
l'
equazione
dell'
asse
radicale
:

22

x

y

3
x

2

0

3x
3

0


1
.
x
28
2
2

x

y

1

0
2

1

y

1

0
;y

0
,

x
1

x
1

quindi
c'
èuna
sola
soluzione
:
,
y

0

1;0
elaretta
cioè
le
circonfere
nze
sono
tangenti
in
T
tangente
èl'
asse
radicale
di
equazione
x

1
.
0;0
, C
3/2;0
.
Per
ilgrafico
:C
1
2
3. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due
circonferenze di equazione:
x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 12 = 0 .
Trovo
l'equazione
dell'
asse
radicale
:
2
2

x y 10
2 2

0
x y 4x12
4x
11
0 

x

11
/4.
x2y210
121
105
 y210;y2 
, quindi

16
16
x


11
/
4

nessuna
soluzione
; lecirc.
non
hanno
punti
comuni
.
Per
ilgrafico
:C
0;0, C
;0.
1
22
29
Esercizi
1.
Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze assegnate.
2 2
a)

y
x

2x

0
2 2
2 2
b)

y
x

2x

4y

12

0
2 2
2 2
c)

y
x

2x

0
2 2
2 2
d)

y
x

2x

5y

3

0
2 2
2
2
e)
4x

4y

16x

9y

43

0

x
y

6x

2y

6

0
nessuna
intersezio
ne

y

8x

x
14y

20

0




A
2;2
;B
3;-1

x
y

10x

16

0


A
2;0

y

4x

3y

x
3

0
3
21



A

1;0
;B
; 

25
25

2
2
3x

3y

14x

79

0
nessuna
intersezio
ne
2.
Determina l’equazione della circonferenza avente come diametro la corda comune alle circonferenze di equazione
x2 + y2 - 12x + 4y + 6 = 0 e x2 + y2 + 4x + 4y – 10 = 0 .
[ x2 + y2 - 2x + 4y – 4 = 0 ]
1.
Determina l’area del quadrilatero i cui vertici sono i centri delle circonferenze di equazione x2 + y2 - 8x + 6y + 8 = 0 e
x2 + y2 + 4x + 6y – 16 = 0 e i loro punti d’intersezione.
[ 6·131/2 ]
2.
Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 2x – 9 = 0
internamente e trova il punto di tangenza T.
[ T(4; -1) ]
3.
Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 2y – 19 = 0 e x2 + y2 – 10x + 18y + 61 = 0 sono tangenti
esternamente e determina l’equazione dell’asse radicale e della retta dei centri. [ x – 2y – 8 = 0 ; 2x + y – 1 = 0 ]
4.
Verifica che le circonferenze di equazioni x2 + y2 – 6x – 12y + 40 = 0
tangenti esternamente e determina il punto di tangenza.
[ T(4; 8) ]
5.
Calcola l’area del triangolo individuato dall’asse delle y, dala retta dei centri delle circonferenze di equazione
x2
+
y2
+ 8x – 6y + 5 = 0 e dal loro asse radicale.
e
x2 + y2 + 4x – 2y – 35 = 0
e
sono tangenti
x2 + y2 – 9x – 18y + 100 = 0
sono
x2 + y2 + 6x – 1 = 0
[ 15 ]
30
e
FASCI DI CIRCONFERENZE
Definizione Fascio di circonferenze
Date due circonferenze C e C’ , di equazioni x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0
rispettivamente, si chiama fascio di circonferenze definito da C e C’ l’insieme avente per elementi la
circonferenza C’ e tutte le circonferenze rappresentate dall’equazione:
x2 + y2 + ax + by + c + k(x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0 , con kR .
(*)
Questa equazione è l’equazione del fascio e le circonferenze C e C’ si dicono generatrici del fascio.
L’equazione del fascio può essere scritta come segue:
(1+k)x2 + (1+k)y2 + (a + ka’)x + (b + kb’)y + c + kc’ = 0 , con k  -1.
Per k = -1 l’equazione del fascio diventa l’equazione della retta ‘ asse radicale ’ del fascio:
(a -a’)x + (b -b’)y + c -c’ = 0
Osservazioni
• Si ottiene lo stesso fascio se le equazioni di C e C’ si combinano linearmente mediante due parametri
reali qualsiasi, non entrambi nulli: (x2 + y2 + ax + by + c) + (x2 + y2 + a’x + b’y + c’) = 0 ,
con  e   R e  o   0. Se, per esempio, è   0, questa combinazione lineare generale può
essere ricondotta alla (*) dividendo per  e ponendo / = k .
• Si ottiene lo stesso fascio se a C e C’ si sostituiscono altre due circonferenze del fascio, dove una delle
due può essere l’asse radicale ( l’asse r. può essere considerato come una circonf. degenere di raggio infinito).
31
• Le generatrici C e C’ possono avere uno o due punti comuni; tali punti si chiamano punti base del fascio.
• Il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è una retta perpendicolare all’asse radicale e si chiama
asse centrale.
• Si possono avere i seguenti tipi di fasci:
32
Esercizi
1. Determina l’equazione del fascio di circonferenze
definito dalle circonferenze di equazione
x2 + y2 – 10x – 6y + 24 = 0 e x2 + y2 – 4x = 0,
quindi trova le equazioni dell’asse radicale e dell’asse
centrale del fascio.
Combiniamo linearmente le due equazioni mediante
un parametro reale k:
x2 + y2 – 10x – 6y + 24 + k( x2 + y2 – 4x) = 0 o anche
(1+k)x2 + (1+k)y2 – (10 + 4k)x – 6y + 24 = 0 .
L’equazione dell’asse radicale si ottiene per k = –1:
– 6x – 6y + 24 = 0 ; y = – x + 4 .
Equazione dell’asse centrale :
2
2

C
(
2
;
0
)
centro
della
circ.

y

4
x

0
x



y

m
x

2
;
y

x

2
.

m

1
coeff.
ang.
(
asse
centrale

asse
radical

2. Determina l’equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A(-1;2) e B(3;0).
A e B sono i due punti base (1° caso in figura), quindi facciamo la combinazione lineare fra i due elementi
del fascio che possiamo trovare facilmente:
asse radicale, cioè retta AB e circonferenza di diametro AB.
33
 Asse radicale :
y2
y - yA 
yB  yA
x  x A  ;
xB  xA
2
x  1 ; y  - 1 x  3 ; x  2y - 3  0 ;
3 1
2
2
 Circonferenza di diametro AB , con A- 1; 2 e B3 ; 0 :
raggio 
1
2
centro : α 
x A  x B 2  y A  y B 2

1
16  4  5
2
xA  xB
y  yB
 1; β  A
 1 ; C1;1
2
2
a  2α ; a  2

quindi b  2β ; b  2

2
2
2
c  α  β  r ; c  1  1  5  3
x 2  y 2 - 2x - 2y - 3  0 .
 Equazione del fascio : x 2  y 2 - 2x - 2y - 3  k x  2y - 3  0
oppure
x 2  y 2  k - 2x  2k - 1y - 3k  1  0 .
3. Studiare il fascio di circonferenze di equazione x 2 + y2 – 3(2 – k)x + 4ky – 16 – 34k = 0 .
L’equazione può scriversi: x2 + y2 – 6x – 16 + k (3x + 4y – 34) = 0 , quindi il fascio è generato dalla
circonferenza x2 + y2 – 6x – 16 = 0 di centro C(3 ; 0) e dalla retta ‘ asse radicale ’ 3x + 4y – 34 = 0.
34
Il fascio rappresent a circonfere nze reali per
9
 2  k  2  4 k 2  16  34 k  0 , cioè per k  - 2 .
4
Per k  - 2 si ha la circ. degenere, che coincide con
il punto T(6 ; 4) ; infatti , per k  -2 si ha :
x 2  y 2  12 x  8 y  52  0 , circ. di centro
e raggio  36  16 - 52  0 .
Cerco
gli eventuali
punti
T(6 ; 4)
 x 2  y 2  6 x  16  0
base : 
...
 3 x  4 y  34  0
x  6
 T(6 ; 4) .

y

4

Il sistema ammette una sola soluzione , quindi
radicale coincide con la tangente
in T .
...
l' asse
Conclusion e : l' equazione
data rappresent a , per k  - 2 ,
un fascio di circonfere nze tangenti in T e i centri delle
circonfere nze si trovano sulla retta " asse centrale"
passante per CT , di equazione
y - yT yC  yT

;
x -xT xC  xT
y-4 0 4

;
x -6 3 6
y
4
x -4.
3
35
4 . Studiare il fascio di circonferenze di equazione
x2 + y2 – 4x + 2y + k – 3 = 0 .
Osservo che le coordinate del centro  = - a/2 = 2
e  = - b/2 = -1 sono costanti , indipendenti dal
parametro k , quindi si tratta di un fascio di
circonferenze concentriche di centro C(2 ; -1).
Il fascio rappresenta circonferenze reali per
4 + 1 – k + 3  0 , cioè per k  8 .
Per k = 8 si ha la circonferenza degenere, che coincide
con il punto C(2 ; -1).
Infatti, per k = 8 si ha: x2 + y2 - 4x + 2y + 5 = 0,
equazione che rappresenta una circonferenza di centro
C(2; -1) e raggio = 4 + 1 – 5 = 0.
Conclusione: l’equazione data rappresenta, per k  8, un
fascio di circonferenze concentriche, di centro C(2 ; -1) .
36
DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO CIRCONFERENZA – RETTA
Si
possono
presentare
i
seguenti
casi
:
equazione
di
una
circonfere
nza
equazione
di
un
fascio
di
circon
nze




(1)
equazione
di
un
fascio
di
rette
oppure
(2)
equazione
di
una
retta




eventuali
limitazion
i
per
e/o
y
x
eventuali
limitazio
i
per
e/o
y
x


Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.
Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni,
per quali valori del parametro le rette intersecano la circonferenza nel caso (1), o la retta interseca le
circonferenze nel caso (2).
Esempi
2 2

x

y

4
x

0



1.
Discuti
il
seguente
sistema
: 
kx

1

k
y

3

0

0

x

4
;y

0

sistema
del
tipo
(1)
E'
molto
comodo
effettuare
la
discussion
e
dal
grafico
(metodo
grafico)
:
37
22
x

y

4
x

0 circonfere
nza
di
centro
C(2;
0),
raggio

2
e
passante
per
O(0;0)
e
A(4;0


kx

1

k
y

3

0
fascio
proprio
di
rette,
che
si
può
scrivere
nella
forma
k
x
y

y

3

0
.
y

x



Le
rette
generatric
i
sono
centro
del
fascio
F
3;
3
.
,
y

3

Le limitazioni 0 < x  4 e y  0
individuano l’arco di circ. utile per
trovare i valori di k, per i quali si hanno
intersezioni rette – circonferenza.
Dal grafico si evince che si devono
individuare i valori di k per le rette
tangenti e per le rette passanti per
A(4;0) e per O(0;0).
• Retta per O: è la retta generatrice
y = x , alla quale non corrisponde
alcun valore di k.
• Retta per A: 4k - 3 = 0 ; k = 3/4 .
• Rette tangenti:
2k
-3
k 1k
2
2
2 ...
-1 6
2
4k
4k
-50; k
.
2
38
Conclusion
i
Dal
grafico
si
deduce
che
:
3/4
 il
per
k

;

sistema
ammette
una
soluzione;
 

1
-6
1
63
per
k


;

; il
sistema
ammette
due
soluzioni
.



2  2 4


1
6
In
particolar
e
per
k

le
due
soluzioni
sono
coincident
i,per
k

3/4
si
ha
una
soluzione
ordinar
2
x

4

e
una
soluzione
limite
,
.
y

0

2. Discuti
il seguente
sistema
:
x2 y2 40

x2yk20
y0

sistema
del tipo
(1)
xy2 40 circonfere
nzadicentro
O(0;0)
e raggio
 2.
x2yk20 fascio
improprio
dirette
con
coeff.
angolare
m-1/2.
2
39
La limitazione y  0 individua l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni
rette – circonferenza.
Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per la retta tangente in T e per le rette passanti
per A(-2;0) e per B(2;0).
• Retta per A: - 2 + k – 2 = 0 ; k = 4 .
• Retta per B: 2 + k – 2 = 0 ; k = 0 .
• Retta tangente in T:
k
2
2

2; k
4k
16

0
;k

2

25
;k

2

25
.
1,2
T
5
Conclusion
i
Dal
grafico
si
deduce
che
:

 il
per
k

0
;4
sistema
ammette
una
soluzione;


per
k

4
;2

25 il
sistema
ammette
due
soluzioni
.
x

2
x


2


In
particolar
eper
k

0una
soluzione
limite
,
,per
k

4
una
sol.
ordinaria
euna
limite
,
,
y

0
y

0


per
k

2

25due
sol.
coincident
i.
40
3.Discuti
ilseguente
sistema
:
2
2

x
y

2
x
4
yk
30

x2
y20



2x6

sistema
deltipo
(2)
2

x
y

2
x
4
yk
30 fascio
di
circonfere
nze
concentric
he
di
centro
C(1;
2)
eraggio,
espresso
2
in
funzione
di
k, r 1
4-k
3 8-k,
da
cui
lacondizione
per
avere
circonfere
nze
reali
: k8
.
Per
k8lacirconf.
degenera
nel
punto
C(1;2)
.
1
x2
y20 retta
di
coeff.
angolare
m
-1/2
. In
forma
esplicita
: y x
1.
2
La limitazione -2 x  6 individua sulla retta x + 2y + 2 = 0 il segmento utile per trovare i valori di k,
per i quali si hanno intersezioni retta – circonferenze.
Il segmento utile ha come estremi A(-2 ; 0) e B(6 ; -4) .
Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le circonferenze tangenti e per le circonf.
secanti il segmento AB.
• Circ. per A: 4 + 4 + k – 3 = 0 ; k = - 5 .
• Circ. per B: 36 + 16 – 12 + 16 + k – 3 = 0; k = -53.
• Circ. tangente:
1

4

2

8

k
;
49

40
5k
;k

9/5
.
5
41
Conclusion
i
Dal
grafico
sideduce
che
:
 perk53
;-5 ilsistema
ammette
una
soluzione;
 ilsistema
 perk-5; -9/5
ammette
due
sol.
x6
Inparticolar
e perk53una
sol.
limite
, 
,
y4
x2
perk-5 una
sol.
ordinaria
e una
limite
,
,
y

0

perk9/5due
sol.
coincident
i.
42