Classi aperte
Vengono utilizzate nei casi in cui si lavora
con misure molto grandi o molto piccole,
lontane dal punto in cui si concentrano la
maggior parte dei dati. Presentano un
solo limite della classe, il limite inferiore
o il limite superiore. Qualsiasi
distribuzione raggruppata abbia una
classe aperta a uno od entrambi gli
estremi viene definita distribuzione
raggruppata aperta.
Classi aperte
Esempio di
distribuzioni
raggruppate di
classi aperte
Altezza (metri)
Alunni della scuola media
a.s. 2002/2003
meno di 1.40
106
1.41-1.45
168
1.46-1.50
120
1.51-1.55
56
1.56-1.60
23
Oltre 1.61
12
Ha un limite superiore della classe (1.39)
ma non ha un limite inferiore
Ha un limite inferiore della classe (1.61)
ma non ha un limite superiore
Classi aperte
Altezza in
metri
Limiti
inferiorisuperiori
della classe
Estremi
inferiorisuperiori della
classe
Valore
centrale
della
classe
mi (min)
Ampiezza
classe
Alunni della
scuola media
a.s.
2002/2003
i
Meno di 1.40
?-1.40
?-1.405
?
?
106
1.41-1.45
1.41-1.45 1.405-1.455
1.43
5
168
1.46-1.50
1.46-1.50 1.455-1.495
1.48
5
120
1.51-1.55
1.51-1.55 1.495-1.555
1.53
5
56
1.56-1.60
1.56-1.60 1.555-1.605
1.58
5
23
?
?
12
1.61 e oltre

1.61-?
1.605-?
485
Classi aperte
Nelle distribuzioni raggruppate aperte
vengono normalmente utilizzate classi con
ampiezza “non uniformi” in modo tale da
mettere in risalto raggruppamenti particolari nel
caso di indagini statistiche a sfondo politico o
demografico. E’ comunque sempre consigliabile
evitare l’uso di classi aperte perché quando si
lavora con esse abbiamo che le proprietà non
sono totalmente definite e risulterà quindi
difficile la rappresentazione dei dati.
Distribuzione cumulata
Una distribuzione di frequenze non
raggruppate può essere trasformata in
una distribuzione di frequenze cumulate.
Ciò avviene quando le frequenze vengono
cumulate (aggiunte al totale) dalla
categoria più piccola, xmin, alla categoria
più grande, xmax.
Distribuzioni cumulate “minore di”
Mostrano quanti valori di un insieme di
dati siano inferiori a qualsiasi valore
considerato. Se i miei dati sono
rappresentati da misure continue
(approssimate) la cumulazione va fino
all’estremo superiore dell’intervallo di
approssimazione di una categoria di
misura. Ad ogni estremo superiore la
cumulazione darà come risultato finale il
numero di misure del nostro campione
inferiori al valore estremo.
Distribuzioni cumulate “minore di”
Se i miei dati sono rappresentati da
misure discrete
(esatte: quindi non caratterizzate da un
intervallo di approssimazione)
la cumulazione va da categoria a
categoria
(da xmin a xmax)
indicando quanti valori siano inferiori al
valore stesso della categoria in esame.
Altezza in metri
Conteggio
Frequenza
i
1.40
IIII
5
1.41
0
1.42
0
1.43
III
3
1.44
II
2
1.45
1.46
0
IIII
1.47
1.48
0
II
1.49
1.50
1.51
5
2
0
IIII I
6
1
Distribuzioni cumulate “minore di”

Altezza in metri
Frequenza cumulata
Meno di 1.395
0
Meno di 1.405
5
Meno di 1.415
5
Meno di 1.425
5
Meno di 1.435
8
Meno di 1.445
10
Meno di 1.455
10
Meno di 1.465
15
Meno di 1.475
15
Meno di 1.485
17
Meno di 1.495
17
Meno di 1.505
23
Meno di 1.515
24
Meno di 1.525
26
Meno di 1.535
28
28
Distribuzioni cumulate “maggiore uguale”
Si ragiona in maniera opposta alle
distribuzioni di frequenze cumulate
“minore di”. La cumulazione va da
xmax a xmin considerando quanti valori
sono uguali o maggiori all’estremo
inferiore dell’intervallo di
approssimazione della categoria.
Distribuzioni cumulate “maggiore uguale”
Se desideriamo costruire una tabella
distribuzioni di frequenze cumulate
“maggiore uguale” dobbiamo porci la
seguente domanda:
“Considerato un dato valore, quanti
valori di un insieme di dati sono
uguali o maggiori di esso?”
Distribuzioni cumulate “maggiore uguale”

Altezza in metri
Frequenza cumulata
1.395 o più
28
1.405 o più
23
1.415 o più
23
1.425 o più
23
1.435 o più
20
1.445 o più
18
1.455 o più
18
1.465 o più
13
1.475 o più
13
1.485 o più
11
1.495 o più
11
1.505 o più
5
1.515 o più
4
1.525 o più
2
1.535 o più
0
28
Distribuzioni cumulate
Abbiamo descritto le due tipologie
più utilizzate nelle indagini
statistiche. Oltre alle distribuzioni di
frequenze cumulate “minore di” e
“maggiore uguale”, esistono altri tipi
di distribuzioni cumulate. (es.:
“minore uguale” o “maggiore di”).
Distribuzioni cumulate
raggruppate
“minore uguale” in cui consideriamo i valori
minori o uguali alla categoria stessa (misure
esatte) o minori o uguali all’estremo superiore
dell’intervallo di approssimazione della categoria
(misure approssimate).
“maggiore di” in cui utilizziamo i valori
maggiori alla categoria stessa (misure esatte) o
maggiori all’estremo inferiore dell’intervallo di
approssimazione della categoria
(misure approssimate).
Distribuzioni cumulate raggruppate
Per raggruppare i dati in classi
in modo da organizzare
distribuzioni cumulate
raggruppate “minore di”
dobbiamo considerare sia
l’estremo superiore di una
classe che l’estremo inferiore
Altezza in
metri
Limiti
inferiorisuperiori
della classe
Estremi
Valore Conteggio
inferioricentrale
superiori della
della
classe
classe
mi (min)
i
1.39-1.41
1.39-1.41
1.385-1.415
1.40
IIII
5
1.42-1.44
1.42-1.44
1.415-1.445
1.43
IIII
5
1.45-1.47
1.45-1.47
1.445-1.475
1.46
IIII
5
1.48-1.50
1.48-1.50
1.475-1.505
1.49
IIII III
8
1.51-1.53
1.51-1.53
1.505-1.535
1.52
IIII
5

28
Distribuzioni cumulate raggruppate “minore di”
Altezza in metri Frequenza cumulata
Meno di 1.385
0
Meno di 1.415
5
Meno di 1.445
10
Meno di 1.475
15
Meno di 1.505
23
Meno di 1.535
28
Distribuzioni cumulate raggruppate
Stesso discorso vale per le
distribuzioni cumulate raggruppate
“maggiore uguale” dove le classi
possono essere cumulate
considerando uno qualsiasi dei due
estremi (superiore o inferiore)
Distribuzioni cumulate raggruppate
“maggiore uguale”
Altezza in metri Frequenza cumulata
1.385 o più
28
1.415 o più
23
1.445 o più
15
1.475 o più
10
1.505 o più
5
1.535 o più
0
Distribuzioni cumulate raggruppate
Proviamo ad inserire nella
distribuzione cumulata “minore di”
da noi organizzata la frequenza
relativa cumulata e la percentuale
della frequenza relativa.

Altezza in metri
Frequenza cumulata
Meno di 1.395
0
Meno di 1.405
5
Meno di 1.415
5
Meno di 1.425
5
Meno di 1.435
8
Meno di 1.445
10
Meno di 1.455
10
Meno di 1.465
15
Meno di 1.475
15
Meno di 1.485
17
Meno di 1.495
17
Meno di 1.505
23
Meno di 1.515
24
Meno di 1.525
26
Meno di 1.535
28
28
Distribuzioni cumulate raggruppate
“minore di”
Altezza in metri
Frequenza
i
Frequenze relativa
i/n
Percentuale
i/n
Meno di 1.395
0
0/28= 0.00
0%
Meno di 1.405
5
5/28= 0.18
18%
Meno di 1.415
5
5/28= 0.18
18%
Meno di 1.425
5
5/28= 0.18
18%
Meno di 1.435
8
8/28= 0.29
29%
Meno di 1.445
10
10/28= 0.36
36%
Meno di 1.455
10
10/28= 0.36
36%
Meno di 1.465
15
15/28= 0.53
53%
Meno di 1.475
15
15/28= 0.53
53%
Meno di 1.485
17
17/28= 0.61
61%
Meno di 1.495
17
17/28= 0.61
61%
Meno di 1.505
23
23/28= 0.82
82%
Meno di 1.515
24
24/28= 0.86
86%
Meno di 1.525
26
26/28= 0.93
93%
Meno di 1.535
28
28/28= 1.00
100%