Tabelle di frequenza
Disporre i seguenti dati in una
serie ascendente e poi in una
distribuzione di frequenze:
1,40,
1,40,
1,40,
1,46,
1,43,
1,46,
1,40,
1,44,
1,50,
1,46,
1,48,
1,50,
1,51,
1,50,
1,50,
1,50,
1,53,
1,52,
1,43,
1,48,
1,46,
1,52,
1,46,
1,43,
1,50 ,
1,53,
1,44,
1,40.
Altezza in
metri
Frequenza
1.40
5
5/28=0.1786
1.41
0
0/28=0.0
0%
1.42
0
0%
1.43
3
0/28=0.0
3/28=0.1071
1.44
2
1.45
0
1.46
5
1.47
i
Frequenze relativa
i/n
2/28=0.0714
0/28=0.0
Percentuale
i/n 
17.86%
10.71%
7.14%
0%
17.86%
0
5/28=0.1786
0/28=0.0
1.48
2
2/28=0.0714
7.14%
1.49
0
1.50
6
0/28=0.0
6/28=0.2142
1.51
1
1.52
0%
0%
21.42%
3.57%
2
1/28=0.0357
2/28=0.0714
1.53
2
2/28=0.0714
7.14%

28
7.14%
Distribuzione di frequenze
raggruppate
Può succedere che risulta più
conveniente “raggruppare” le
distribuzioni di frequenza. Questo
raggruppamento viene fatto riunendo i
valori sulla scala di misura riunendoli in
gruppi della stessa unità.
I gruppi si chiamano classe e la
rappresentazione intervallo di classe.
Distribuzione di frequenze
raggruppate
Le tabelle contenenti i gruppi (le
classi) saranno formate da diverse
colonne corrispondenti agli intervalli di
classe, limiti della classe, estremi
della classe, valore centrale della
classe, conteggio e frequenza.
Distribuzione di frequenze
raggruppate
I limiti della classe sono la
misura minima di una classe
(limite inferiore della classe)
e la misura massima
di una classe
(limite superiore della classe)
e definiscono l’intervallo
della classe.
Distribuzione di frequenze
raggruppate
Gli estremi (o confini) della classe
rappresentano l’intervallo di approssimazione
della classe. Il calcolo dei confini serve a
rendere contigue le classi. Possiamo calcolare
la misura dell’estremo inferiore di una classe e
la misura dell’estremo superiore di una classe
considerando il limite superiore di una classe
e il limite inferiore della classe successiva.
Opereremo come segue
141+142 =141.5
2
Distribuzione di frequenze
raggruppate
Il valore centrale della classe è il punto
medio (centro esatto) della classe. Possiamo
ottenere questo valore dividendo per due il
risultato della somma del limite inferiore e il
limite superiore della classe
di interesse
=143
mi=
142+144
2
Altezza in
metri
Limiti
inferiorisuperiori
della classe
Estremi
inferiorisuperiori della
classe
Valore
centrale
della
classe
mi (min)
Conteggio
i
1.39-1.41
1.39-1.41
1.385-1.415
1.40
IIII
5
1.42-1.44
1.42-1.44
1.415-1.445
1.43
IIII
5
1.45-1.47
1.45-1.47
1.445-1.475
1.46
IIII
5
1.48-1.50
1.48-1.50
1.475-1.505
1.49
IIII III
8
1.51-1.53
1.51-1.53
1.505-1.535
1.52
IIII
5

28
Le colonne del conteggio e frequenza sono essenzialmente
le stesse delle distribuzioni di frequenze non raggruppate
ma rappresentano il numero di misure di ciascuna classe
piuttosto che ciascun livello.
Distribuzione di frequenze
raggruppate
L’ampiezza della classe è il numero di livelli
che formano una data classe. Possiamo
ottenere questo valore dal risultato della
differenza tra il limite inferiore (o superiore)
di una classe il limite inferiore (o superiore)
della classe successiva
144-141=3
Ci sono tabelle costituite da classi di
ampiezze uniformi. In questo caso oltre al
metodo appena descritto possiamo calcolare
l’ampiezza utilizzando Mi
Distribuzione di frequenze
raggruppate
Anche in questo caso è possibile calcolare il valore
delle frequenze relative, e delle corrispondenti % di
frequenze relative.
i
N
Nel caso di una popolazione avremo i
N
La % verrà calcolata
i
 n  

i
 
N
Trasformazione di distribuzione di frequenze non raggruppate in
raggruppate: principali regole.
•
•
•
•
Usare non meno di 5 classi e non più di 20
Se possibile usare classi equi-ampie
Le ampiezze delle classi possono essere numeri pari o dispari,
ma è preferibile un numero dispari in modo che il valore
centrale della classe sia una delle unità della scala di misura.
Nel caso in cui le ampiezze delle classi siano uniformi bisogna
accertarsi che
(campo di variazione) < numero delle classi usate * ampiezza delle classi
•
•
Bisogna che la classe con il limite inferiore minimo includa xmin
e che la classe con il limite superiore massimo includa xmax
Più grande è il campione (o la popolazione) maggiori sarà il
numero di classi da utilizzare
Classi aperte
Vengono utilizzate nei casi in cui si lavora
con misure molto grandi o molto piccole,
lontane dal punto in cui si concentrano la
maggior parte dei dati. Presentano un
solo limite della classe, il limite inferiore
o il limite superiore. Qualsiasi
distribuzione raggruppata abbia una
classe aperta a uno od entrambi gli
estremi viene definita distribuzione
raggruppata aperta.
Classi aperte
Esempio di
distribuzioni
raggruppate di
classi aperte
Altezza (metri)
Alunni della scuola media
a.s. 2002/2003
meno di 1.40
106
1.41-1.45
168
1.46-1.50
120
1.51-1.55
56
1.56-1.60
23
Oltre 1.61
12
Ha un limite superiore della classe (1.39)
ma non ha un limite inferiore
Ha un limite inferiore della classe (1.61)
ma non ha un limite superiore
Classi aperte
Altezza in
metri
Limiti
inferiorisuperiori
della classe
Estremi
inferiorisuperiori della
classe
Valore
centrale
della
classe
mi (min)
Ampiezza
classe
Alunni della
scuola media
a.s.
2002/2003
i
Meno di 1.40
?-1.40
?-1.405
?
?
106
1.41-1.45
1.41-1.45 1.405-1.455
1.43
5
168
1.46-1.50
1.46-1.50 1.455-1.495
1.48
5
120
1.51-1.55
1.51-1.55 1.495-1.555
1.53
5
56
1.56-1.60
1.56-1.60 1.555-1.605
1.58
5
23
?
?
12
1.61 e oltre

1.61-?
1.605-?
485
Classi aperte
Nelle distribuzioni raggruppate aperte
vengono normalmente utilizzate classi con
ampiezza “non uniformi” in modo tale da
mettere in risalto raggruppamenti particolari nel
caso di indagini statistiche a sfondo politico o
demografico. E’ comunque sempre consigliabile
evitare l’uso di classi aperte perché quando si
lavora con esse abbiamo che le proprietà non
sono totalmente definite e risulterà quindi
difficile la rappresentazione dei dati.
Distribuzione cumulata
Una distribuzione di frequenze non
raggruppate può essere trasformata in
una distribuzione di frequenze cumulate.
Ciò avviene quando le frequenze vengono
cumulate (aggiunte al totale) dalla
categoria più piccola, xmin, alla categoria
più grande, xmax.
Distribuzioni cumulate “minore di”
Mostrano quanti valori di un insieme di
dati siano inferiori a qualsiasi valore
considerato. Se i miei dati sono
rappresentati da misure continue
(approssimate) la cumulazione va fino
all’estremo superiore dell’intervallo di
approssimazione di una categoria di
misura. Ad ogni estremo superiore la
cumulazione darà come risultato finale il
numero di misure del nostro campione
inferiori al valore estremo.
Distribuzioni cumulate “maggiore uguale”
Si ragiona in maniera opposta alle
distribuzioni di frequenze cumulate
“minore di”. La cumulazione va da
xmax a xmin considerando quanti valori
sono uguali o maggiori all’estremo
inferiore dell’intervallo di
approssimazione della categoria.
Distribuzioni cumulate
raggruppate
“minore uguale” in cui consideriamo i valori
minori o uguali alla categoria stessa (misure
esatte) o minori o uguali all’estremo superiore
dell’intervallo di approssimazione della categoria
(misure approssimate).
“maggiore di” in cui utilizziamo i valori
maggiori alla categoria stessa (misure esatte) o
maggiori all’estremo inferiore dell’intervallo di
approssimazione della categoria
(misure approssimate).
Distribuzioni cumulate raggruppate
Per raggruppare i dati in classi
in modo da organizzare
distribuzioni cumulate
raggruppate “minore di”
dobbiamo considerare sia
l’estremo superiore di una
classe che l’estremo inferiore
Altezza in
metri
Limiti
inferiorisuperiori
della classe
Estremi
Valore Conteggio
inferioricentrale
superiori della
della
classe
classe
mi (min)
i
1.39-1.41
1.39-1.41
1.385-1.415
1.40
IIII
5
1.42-1.44
1.42-1.44
1.415-1.445
1.43
IIII
5
1.45-1.47
1.45-1.47
1.445-1.475
1.46
IIII
5
1.48-1.50
1.48-1.50
1.475-1.505
1.49
IIII III
8
1.51-1.53
1.51-1.53
1.505-1.535
1.52
IIII
5

28
Distribuzioni cumulate raggruppate “minore di”
Altezza in metri Frequenza cumulata
Meno di 1.385
0
Meno di 1.415
5
Meno di 1.445
10
Meno di 1.475
15
Meno di 1.505
23
Meno di 1.535
28
Distribuzioni cumulate raggruppate
Stesso discorso vale per le
distribuzioni cumulate raggruppate
“maggiore uguale” dove le classi
possono essere cumulate
considerando uno qualsiasi dei due
estremi (superiore o inferiore)
Distribuzioni cumulate raggruppate
“maggiore uguale”
Altezza in metri Frequenza cumulata
1.385 o più
28
1.415 o più
23
1.445 o più
15
1.475 o più
10
1.505 o più
5
1.535 o più
0
Distribuzioni cumulate raggruppate
Proviamo ad inserire nella
distribuzione cumulata “minore di”
da noi organizzata la frequenza
relativa cumulata e la percentuale
della frequenza relativa.