Equazioni differenziali alle derivate parziali
Si chiama
equazione differenziale alle derivate parziali
in n variabili indipendenti
una relazione del tipo:


z z
z
F  z( x1,..., xn ), x1, x2 ,..., xn ,
,
,...,
,...  0
x1 x2
xn


Come si può notare, tale equazione coinvolge le variabili
indipendenti x1, x2, …, xn, la variabile dipendente z e le
derivate di qualsiasi ordine di z rispetto a x1, x2, …, xn.
Si definisce ordine dell’equazione l’ordine massimo della
derivata che compare nella relazione.
Nota: l’ordine non va confuso con il grado, infatti il termine
“grado” è riservato alle equazioni algebriche.
1
Equazioni alle derivate parziali in due variabili
Se le variabili che compaiono sono solo 2 e il massimo ordine
delle derivate parziale che compare è il primo, si ha a che
fare con un’equazione alle derivate parziali del prim’ordine.
z z 

F  z(x, y ), x, y, ,   0
x y 

Le soluzioni di tali equazioni non sono banali, e si fanno di
solito con metodi geometrici.
Se invece il massimo ordine delle derivate parziale che
compare è il secondo, si ha a che fare con un’equazione alle
derivate parziali del secondo ordine:

z z 2 z 2 z 2 z 
F  z(x, y ), x, y, ,
, 2,
, 2   0
x y x xy y 

Per le applicazioni questo tipo di equazioni sono le più
interessanti.
2
Esempi di equazioni del primo ordine
(1)
• Risolvere l’equazione alle derivate parziali del primo
ordine:
z
0
x
La relazione comporta che la funzione incognita z non
dipende esplicitamente dalla variabile x; la soluzione è
una funzione del tipo z = f(y), ove f(y) è una funzione
arbitraria della sola variabile y.
• Risolvere l’equazione alle derivate parziali del primo
ordine:
z z

x y
Questo caso è meno banale.
Conviene cambiare le variabili indipendenti.
3
Esempi di equazioni del primo ordine
(2)
Si introducono due nuove variabili α e β legate alle vecchie
variabili x e y dalle relazioni (invertibili):


x


  x  y
2


  x  y
y    

2
Utilizzando il teorema di derivazione delle funzioni composte,
si ricava:
z
z z
z  z 
z
z


1 
1 


x




 x  x 
z
z  z 
z
z
z z



1 
 (1) 

 y  y


 
y
Sostituendo nell’equazione di partenza si ottiene:
z z z z
z



2
0
z = h()
   

Ritornando alle vecchie variabili, si ricava: z(x, y) = h(x + y)
4
Esempio di equazione del secondo ordine
Risolvere l’equazione alle derivate parziali del secondo ordine:
2 z
0
xy
  z 
 0
x  y 
da cui segue che z non dipende dalla variabile x, quindi:
y
z
 g(y )
y
(g(y) è una funzione arbitraria di y). Integrando ora entrambi i
due membri, si ottiene:
z   g(y )dy  h(x)
dove h(x) è una funzione arbitraria dell’altra variabile
indipendente x (sostituisce, nel caso di più variabili, l’usuale
costante arbitraria). Si ha quindi:
z(x, y) = k(y) + h(x)
5
Equazioni alle derivate parziali del secondo ordine.
Lo spazio ambiente considerato nella classificazione delle
equazioni alle derivate parziali del secondo ordine è R3, lo
spazio delle variabili indipendenti è R 2.
Tutte le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine
viste nel paragrafo precedente si possono ricondurre al
seguente modello:
 2f
 2f
 2f
f f
a(x, y ) 2  2b(x, y )
 c(x, y ) 2  d( , , f )  0
xy
x y
x
y
Equazioni di questo tipo si chiamano equazioni
quasilineari del secondo ordine alle derivate parziali.
I termini a(x, y), b(x, y), c(x, y) in generale potranno
dipendere dalle variabili indipendenti x, y e dalle eventuali
loro derivate parziali prime, mentre il termine d(x, y) tiene
conto della eventuale dipendenza dalle derivate prime ed
eventualmente anche dalla funzione incognita f(x,y).
6
Matrice associata.
A partire dall’espressione precedente, si può associare ai
coefficienti che contengono le derivate parziali seconde la
seguente matrice:
a( x0 , y0 ) b( x0 , y0 )
H( x0 , y0 ) 
b( x0 , y0 ) c( x0 , y0 )
valutata in un generico punto P0 del dominio.
In generale la matrice H può avere un maggior numero di
righe e di colonne, se non ha due sole variabili: deve essere
sempre una matrice simmetrica che contiene i coefficienti
delle varie derivate seconde.
Vedremo negli esempi cosa si intende.
7
Autovalori e classificazione
Siccome H è una matrice simmetrica, essa ammette
sempre autovalori reali.
Introducendo le quantità:
•
n+ : numero di autovalori positivi
•
n- : numero di autovalori negativi
•
n0 : numero di autovalori nulli
Il numero degli autovalori n (uguale all’ordine della matrice),
soddisfa alla relazione n+ + n- + n0 = n.
A seconda del valore assunto dagli autovalori, si possono,
presentare vari casi.
8
Equazioni ellittiche
Se n+ = n oppure n- = n, cioè gli autovalori sono tutti o
positivi o negativi, l’equazione si dice ellittica.
Esempio tipico è l’equazione di Laplace in R3:
 2f
2
x1

 2f
2
x2

 2f
2
x3
0
La matrice associata non dipende dal punto che si sceglie nel
dominio e vale:
1 0 0
H 0 1 0
0 0 1
La matrice H ammette tre autovalori tutti positivi (fra loro
coincidenti e di valore 1), quindi siccome il numero degli
autovalori positivi eguaglia l’ordine della matrice H, si ha
n+ = 3,
pertanto l’equazione è ellittica.
9
Equazioni iperboliche
Si ha un’equazione iperbolica nel caso in cui:
n+ = n – 1 e n- = 1 (non si hanno autovalori nulli).
Un esempio tipico di equazione iperbolica è l’equazione di
D’Alambert:
 2u 1  2u
 2 2 0
2
x
v t
la matrice associata, vale:
1
0
1
H
0  2
v
1
La matrice H ammette i due autovalori l1= 1 e l2   2
v
si ha quindi n+ = 1 e n- = 1.
Siccome n+= ordine della matrice – 1= 2-1 =1, l’equazione è
iperbolica.
10
Equazioni ultraiperboliche
Una equazione si dice ultraiperbolica se n0=0 e 1<n+<n–1.
Un esempio di equazione ultraiperbolica è il seguente:
2u 2u 2u 2u
 2  2  2 0
2
x
y
z
s
La matrice associata in tutti i punti del dominio, vale:
1
0
H
0
0
0 0
0
1 0
0
0 1 0
0 0 1
Tale matrice ammette un autovalore doppio positivo l1= 1 e
un autovalore doppio negativo l2= - 1.
Dato che
n0 = 0, n+ = 2 e 1 <n+ < 3,
l’equazione è ultraiperbolica.
11
Equazioni paraboliche
Si parla di equazione parabolica quando n0 > 0 (cioè è
presente almeno un autovalore nullo).
Esempio di equazione parabolica è l’equazione di Fourier o
di trasmissione del calore.
Tale equazione si può scrivere nelle due forme equivalenti:
2u u
 2u
u
h 2 
0
k
0
2
t
x

t
x
1 0
La matrice associata, vale in tutti i punti del dominio: H 
0 0
I suoi autovalori sono
l1 = 1 e l2 = 0;
avendo un autovalore nullo è n0 > 0. L’equazione è dunque
parabolica.
12
L’equazione di Tricomi
Un caso interessante di equazione alle derivate parziali del
secondo ordine è l’equazione di Tricomi, in cui cambia il tipo
di classificazione a seconda della regione spaziale in cui la si
considera.
L’equazione di Tricomi è del tipo:
2u
2u
x 2 0
2
x
y
La matrice associata, vale, nel dominio: H 
Gli autovalori di H sono λ1 = 1 ; λ2 = x.
1 0
0 x
Al variare di x, si hanno i seguenti casi:
• x > 0  due autovalori positivi
 equazione ellittica;
• x < 0  un autovalore positivo e uno negativo
 equazione iperbolica;
• x = 0  un autovalore nullo
 equazione parabolica.
13
Equazione di Laplace
Equazione di Laplace in R2:
2f 
2f
2
x1

 2f
2
x2
0
2
2 



 2 


2
2

x1
x2 

Equazione di Laplace in R3.
Si può scrivere utilizzando l’operatore di Laplace, così
definito:
2
2
2
2 


2
2
2
x1
x2
x3
e assume la forma
 2f
 2f
 2f
2f 


0
2
2
2
x1
x2
x3
in cui non compaiono derivate seconde miste.
In fisica l’equazione di Laplace compare nel calcolo del
potenziale gravitazionale, all’esterno della materia.
14
Soluzione della equazione di Laplace
Sappiamo dalla fisica che il potenziale è una funzione che
decresce più ci si allontana dalla sorgente (origine). Lo scopo
è di determinare una soluzione compatibile con tale esigenza
fisica.
Per risolvere questo problema, si cerca una soluzione del tipo
u = u(r); cioè una soluzione che dipenda solo dalla distanza
del punto P dall’origine O.
z
r  OP 
2
2
x y z
2
P
r
Tornando alle vecchie coordinate
cartesiane, si perviene alla nota
espressione del potenziale
gravitazionale newtoniano:
u( x, y , z ) 
O
y
H
2
x
2
x y z
2
K
15
Equazione di D’Alambert
L’equazione di D’Alambert è detta anche equazione delle
onde o equazione della corda vibrante.
 2u 1  2u
 2 2 0
2
x
v t
Con u = u(x, t).
In fisica tale equazione differenziale è utilizzata nello studio
della propagazione ondosa, infatti v è da intendersi come
velocità di avanzamento di un fronte d’onda, inteso come
una superficie mobile nello spazio e che avanza nella
direzione del vettore normale alla superficie.
La soluzione originale dovuta a D’Alambert si riferisce ad una
corda non vincolata e si può scrivere nella forma:
u(x, t) = F(x + vt) + G(x - vt)
ed è valida nello spazio infinito.
16
Caso degli estremi vincolati
(1)
L’equazione di D’Alambert trova applicazione anche in fisica
nello studio di tutte le possibili oscillazioni di un filo elastico
con i due estremi vincolati (fissati).
Dato un filo elastico di lunghezza fissata , determinare tutte
le possibili oscillazioni (moto) del filo tra gli estremi O ed A.
La soluzione completa porterà alla costruzione della serie di
Fourier.
Per risolvere completamente questo
problema è necessario assegnare le
condizioni iniziali e quelle al contorno.
Le oscillazioni sono descritte
dall’equazione di D’Alambert.
A
0

Per risolvere tale problema, si utilizza il metodo di separazione
delle variabili. u(x, t) = X(x)T(t) nell'ipotesi X(x)  0, T(t) 0.
17
Caso degli estremi vincolati
(2)
Le condizioni iniziali mettono in evidenza che entrambi gli
estremi devono essere vincolati sull’asse delle ascisse.
Ulteriori condizioni assegnano il profilo iniziale f(x), ossia la
forma del filo all’istante iniziale t = 0 e la velocità iniziale
g(x) che viene impressa al filo al medesimo istante.
Calcolate le derivate delle funzioni e sostituite nella equazione
di D’Alambert, si devono risolvere due equazioni differenziali
lineari ed omogenee a coefficienti costanti.
A conti fatti la generica soluzione si esprime nel seguente
modo (ove k è un intero positivo qualsiasi):
2k
2k
2k 

uk (x, t )  sen
x  Ck cos
vt  Dk sen
vt 





Dalle condizioni al contorno, per ogni intero h, si ha:


2
2h
1
2h
Ch   f (x)sen
xdx
Dh 
g
(
x
)
sen
xdx

0

h 0

Il risultato così ottenuto individua i coefficienti della serie di
Fourier.
18
Serie di Fourier
Abbiamo già introdotto la serie di Fourier nella prima parte del
corso, parlando di sviluppi in serie.
La serie di Fourier ha la forma:

a0
k
k 

f (x) 
   ak  cos
x  bk  sen
x
2 k 1

 
i termini che compaiono nello sviluppo in serie di Fourier di
f(x) valgono:


1
k
1
k
bk   f (x) ·sen
xdx
ak   f (x) ·cos
xdx


 


e in particolare

1
a0   f (x)dx
 
rappresenta il valore medio di f(x) nell’intervallo [-, ]
19
Funzioni periodiche
Gli sviluppi in serie servono ad approssimare una funzione
nell’intorno di un suo punto.
Particolari serie servono ad approssimare una funzione
periodica; ricordiamo che una funzione f(x) si dice periodica di
periodo T se
f(x + T) = f(x),
dove T è il più piccolo valore che soddisfa alla relazione data.
Esempio 1: y=senx, per determinare l’eventuale periodo si pone:
sen(x+T)=sen(x) da cui si ricava il periodo T=2π.
Esempio 2: y = sen nx, per determinare il periodo si pone:
sen[n(x+T)] = sen(nx)
Dalle formule di addizione si ricava:
sen(nx)cos(nT)+cos(nx)sen(nT)=sen(nx) 
cos(nT)=1,sen(nT)=0
 nT = 2π  T  2
n
20
Teorema di Dirichlet
Condizione solo sufficiente (ma non necessaria) affinché una
funzione f(x) definita in [-, ] sia sviluppabile in serie di Fourier,
in un punto di continuità x, è che:
•
f(x) sia una funzione reale di variabile reale, con al più un
numero finito di punti di discontinuità
•
f(x) sia periodica con periodo 2 al di fuori di [-, ]
•
f(x) e f '(x) siano continue a tratti nell’intervallo.
Sotto queste ipotesi la serie di Fourier converge.
Il teorema di Dirichlet è l’unica condizione nota sulla sviluppabilità
di una funzione in serie di Fourier.
La serie di Fourier si può scrivere, in forma complessa, nel
seguente modo:
f (x) 

 Ck e
k 1
i
k
x

dove:

i
1
Ck 
f (x)  e

2  
k
x
 dx
21
Equazione di Fourier
La Equazione di Fourier è detta anche Equazione della
trasmissione del calore.
2u u
h 2 
0
t
x
 2u
u

k
0
2
t
x
k 
1
h
u(x, t) rappresenta la temperatura assoluta del corpo in
esame, mentre le variabili indipendenti x, t rappresentano
rispettivamente la posizione ed il tempo.
Il coefficiente k (o h) tiene conto della natura del mezzo in
cui si propaga il calore e in prima approssimazione si può
ritenere costante nella regione in questione.
A differenza delle altre contiene sia una derivata seconda che
una derivata prima.
22
Osservazioni sulla serie di Fourier 1
• Le funzioni simmetriche rispetto all'asse delle y (funzioni
pari) ammettono uno sviluppo in serie di Fourier di soli
coseni;
• le funzioni simmetriche rispetto all'origine degli assi (funzioni
dispari) presentano uno sviluppo in serie di soli seni.
• In generale non è necessario che la funzione f(x) sia
periodica: qualunque funzione che nell'intervallo [0, 2] sia
continua e limitata, può essere ridefinita in modo da essere
estesa per periodicità a tutto l'asse reale, e quindi sviluppata
in serie di Fourier come funzione periodica nell’intervallo.
23
Osservazioni sulla serie di Fourier 2
• Le serie di Fourier sono utilmente applicabili nel trattamento
dei segnali elettrici e nello studio dei fenomeni vibratori e
oscillatori di varia natura (corda vibrante, onde musicali … ,
tra cui l’onda triangolare, l’onda quadra ecc)
• Se f(x) è la rappresentazione di un'onda sonora, lo sviluppo
di Fourier decompone il suono nella sovrapposizione
dell’armonica fondamentale con armoniche di frequenza
differente; i valori successivi di k determinano le armoniche
successive, come suoni di frequenza via via decrescente.
• L’energia sonora è massima in corrispondenza dell’armonica
fondamentale e va decrescendo per le armoniche successive.
• Se più strumenti suonano la stessa nota è possibile
distinguere la timbrica dei diversi strumenti. Ciò è legato
all’emissione delle armoniche successive prodotte dai
differenti strumenti, cioè strumenti differenti pur emettendo
la stessa nota, emettono armoniche di ampiezza differente.
24
Esempio
Esempio grafico di successive armoniche di un’onda quadra
(essendo una funzione pari si ha una serie di soli coseni):
E dell’onda a dente di sega (dispari, quindi solo seni)
25