Il processo è funzione della frazione del numero di molecole
legate, ovvero dei parametri θ e β.
Quanto maggiore è il numero di molecole legate, tanto maggiore è
la probabilità che queste interagiscano tra loro.
GB0'  GB0 ,L  RT (  )
Langmuir
Funzione di
ricoprimento
GB0 ,L   RT ln K ( T )
GB0'   RT ln K ' (T ,  )
 ( )
K ' (T ,  )  K (T )  e
= costante di associazione del processo cooperativo
lim (  )  0
 0
 G  G
0'
B
0,L
B
-
G 0'B
RT
-
L
G 0,
B
RT
  ( )
ln K( )  ln K L   (  )
K( )  K L exp[ (  )]
La costante di equilibrio del processo di associazione è funzione
del grado di associazione .
(  )  0  K (  )  K L
(  )  0  K (  )  K L
cooperatività positiva
anticooperatività

Cf
cooperatività
() > 0
anticooperatività () < 0

In analogia alla equazione di Langmuir:


n

K 'C f
1 K 'C f
Da cui si ottiene:
  K ' C f   n K 'C f

Cf

Cf
 n K ' - K '   (n -  ) K '
 (n -  ) K L exp[ (  ]
 ( )  
  GB0',i 1  GB0',i

RT
Variazione dell’energia libera al variare
del numero di siti occupati
Nel caso di cooperatività positiva:
GB0',i 1  GB0',i

Cf
0
 K (n   )  e


RT
Associazione fra ioni Fe(III) e poli(L-glutammato) di sodio
(pH=7, T=8°C)


Cf
Cf

βmax=0.3
n=1
ω=-0.8kcal·mol-1

Cf
d
d
 

C
 f
 K (n   )  e



  Kne RT   

 RT

d
d
 

C
 f

0




RT




 

RT
RT 

Ke

K

e





 RT 
per
β
RT
n
ω
P = macromolecola
n = siti di legame identici ma interagenti
Un modello a cooperatività infinita: l’associazione della prima
molecola favorisce talmente il legame delle successive, che in
soluzione esistono solo le specie:
P = macromolecola libera X= legante libero
PXn= macromolecola con gli n siti disponibili tutti occupati
In soluzione esiste quindi il solo equilibrio:
P + nX ⇄ PXn

PX n 

K'

n
PC f  1   C nf
Da cui:

K ' C nf
1  K ' C nf
Nella pratica si introduce il parametro (sperimentale) di Hill nH:

K ' C nfH
1  K ' C nfH
1  nH  n
Langmuir
cooperatività infinita
(Hb)4 + nO2 ↔ (Hb)4·(O2)n
Hb   O  

K'

4
2 n
n
O2
Hb 4  p

1   

1    pOn
2
 K ' pOn 2  K ' pOnH2
nH=2.8 (a θ=0.5)
  
ln 
 ln K ' nH ln pO2

 1   
  
ln 

 1   
  
ln 
 ln K ' nH ln pO2

 1   
nH = 1
nH = 2.8
θ
Langmuir
Isoterma di associazione per diversi valori di nH a uguali valori di K’.
Per K’Cf= 1 θ=0.5
nX ↔ Xn

Xn
K
X n
nX n 
nK X 


X   X n  X   K X n
n
nK  X 

X   K X n
n
0
Per:
X 
n 1
1

K
n
   Concentrazione critica micellare
2
1. Macromolecola costituita da R sub-unità, ciascuna caratterizzata
da un sito di legame.
2. Ogni sub-unità può assumere solo due stati conformazionali A e
B.
A↔B
In assenza di legante legato:
0
[
B
]
0
L  0
[A ]
3. Il legante X ha affinità diversa per i due stati conformazionali:
KB
h
1
KA
A+X ↔AX
B+X ↔BX
z  K A X 
[ AX ]
KA 
[ A]X 
zh  K B X 
[ BX ]
KB 
[ B]X 
n

n
 i [ AX ]   i [ BX ]
i 1
n
i
i
i 1
n
 [ AX ]   [ BX ]
i 0
i
i 0
i
Dal modello MWC si ottiene:


z (1  z ) n1  hL0 (1  hz ) n1
 MWC  
n
(1  z ) n  L0 (1  hz ) n

Dividendo numeratore e denominatore per (1+z)n-1:
n 1


(
1

hz
)
0
1  hL (1  z ) n 1 
z 

 MW C 

n
1 z 

(
1

hz
)
0
1  L (1  z ) n 


Ponendo:
1  hz
y
1 z
z  1  hL0 y n1 

 MW C 
 
0 n 
1 z  1 L y 
Langmuir
Caso limite per [X]→0:
fattore allosterico
z<<1
hz<<1
 1  hL0 

lim  MW C  z  
0
[ X ]0
 1 L 
 1  hL0 

lim  MW C  z  
0
[ X ]0
 1 L 
Langmuir
MWC
h<1
Caso limite per [X]→∞:
lim  MWC  1
[ X ]
z>>1
y→h
lim  L  1
[ X ]
Per L0=0 o L0=∞:
 MW C   L
Per h=1:
 MW C   L
saturazione
Trattazione MWC (linea continua) dei dati sperimentali di
associazione Fe(III)/poli(L-glutammato):
L0=45
n=20
KA=6.1·10-4M-1
h=0.23
R=4: 2 sub-unità α + 2 sub-unità β (P.M.=66000 Daltons)
n=4: 1 gruppo eme per ciascuna sub-unità
n=1
n=4
Nel caso di un binding di tipo non cooperativo (puramente statistico):
Sperimentalmente:
Nel modello MWC si introduce un equilibrio conformazionale tra
due conformazioni T (tense) e R (relaxed):
R↔T
0
[
T
]
0
L  0
[R ]
Eme
pentacoordinato
ponte salino
Eme
esacoordinato
KT<<KR


z (1  z )3  hL0 (1  hz )3
 MW C  
4
(1  z ) 4  L0 (1  hz ) 4
z  K R O2 
KT
h
KR

hz  KT O2 
T=23°C: KR=4·10-2 mmHg-1
L°=12550 h=0.014