Analisi Statistica per le Imprese
4.6 Stima della frontiera di produzione
Prof. L. Neri
Dip. Economia Politica e Statistica
a.a. 2014-2015
1
Le frontiere di produzione
• Con l’evolversi degli studi in materia delle Funzioni di
Produzione, l’espressione “Funzioni di Frontiera” è stata
associata ad un filone di ricerche scaturite dalla critica
dei modelli tradizionali di funzioni di produzione che più
che condurre all’individuazione della frontiera
dell’insieme delle possibilità di produzione, conducono
ad una sorta di funzione di produzione “media”.
• Infatti nei cosiddetti “modelli tradizionali” l’output viene
specificato come funzione lineare degli input del
processo produttivo e di un termine stocastico con
distribuzione normale e media nulla; una tale relazione
implica che i valori osservati dell’output possono giacere,
con la stessa probabilità, al di sopra o la di sotto della
funzione di produzione (Vedi Figura seguente).
2
Le frontiere di produzione
12
10
Output
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Input
Funzione “Media”
3
Le frontiere di produzione
• L’idea sottostante a questa critica è che gli scostamenti
dei valori osservati dell’output da quelli espressi dalla
frontiera sono dovuti all’azione di fattori di inefficienza,
che per definizione agiscono in modo unilaterale, e
all’azione degli errori di osservazione, a distribuzione
simmetrica.
• Alla luce di ciò è parso più corretto ipotizzare che i valori
osservati dell’output giacciano tutti al di sotto o al
massimo sulla frontiera (Figura a), se è plausibile
ritenere che gli errori di osservazione siano irrilevanti,
oppure che gli stessi valori possano giacere anche al di
sopra della frontiera stessa, ma a tale evento sarà
associata una probabilità minore rispetto a quella di
collocarsi al di sotto di tale funzione (Figura b)
4
Le frontiere di produzione
12
10
Output
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Input
Funzione “Frontiera - a”
5
Le frontiere di produzione
12
10
Output
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Input
Funzione “Frontiera - b”
6
Le frontiere di produzione
• In una nota rassegna, Forsund, Lovell e Schmidt
suggeriscono una classificazione dei metodi di stima
delle funzioni frontiera di produzione, proponendo una
prima generale suddivisione in funzioni parametriche e
funzioni non parametriche.
• Nella prima classe, si identificano i modelli stocastici e
deterministici, e questi ultimi a seconda della procedura
di stima adottata, si suddividono in matematici e
statistici.
• Al di là delle terminologie adottate nelle classificazioni, il
problema che i vari ricercatori che si sono occupati della
questione si sono posti, è sempre stato lo stesso: come
fare a trasformare in una misura reale il concetto teorico
di funzione di produzione.
7
Le frontiere di produzione
Rappresentando graficamente tale problematica, abbiamo
riportato in un grafico a dispersione (figura sotto) una
serie di coppie di valori x (“Input”) ed y (“Output”) che
corrispondono ad una serie di processi produttivi (A,
B,…,F) attivati da altrettante aziende.
35
30
E
25
Output
D
20
C
15
F
B
10
5
A
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Applicati Equivalenti
8
Le frontiere di produzione
• Dal momento che, in generale, l'efficienza
è misurabile, confrontando le
performance reali dell'azienda con la
migliore raggiungibile, espressa da una
funzione che rappresenta, perciò, una
frontiera, come fare per definire una
funzione di produzione che esprima il
livello massimo di output che può essere
prodotto date le quantità di fattori
produttivi?
9
Metodi Parametrici
Si basano sulla stima econometrica di una funzione
frontiera (di produzione o di costo). Tali funzioni possono
essere assunte sia deterministiche che stocastiche.
Quindi dato un campione di n aziende che producono un
output y (o anche più output omogenei preliminarmente
aggregati in una misura sintetica) impiegando m input il
metodo consiste
• 1. nella stima dei parametri della funzione frontiera; ad
esempio, nel caso della produzione si stimerà la
funzione che esprime il legame tra l'output e gli m input
impiegati nel processo produttivo;
• 2. nel calcolo delle misure dell'efficienza tecnica
confrontando i singoli output osservati nelle n aziende
con i corrispondenti valori teorici sulla frontiera
10
Metodi Parametrici-deterministici
• Le funzioni frontiera deterministiche sono
funzioni parametriche nelle quali la
deviazione di un'osservazione dal suo
massimo teorico è attribuita
esclusivamente all'inefficienza
dell'azienda. Tale specificazione non tiene
conto di possibili shock casuali specifici di
quel processo produttivo (ipotesi semplice)
11
Funzione frontiera deterministica
• La formulazione econometrica della funzione frontiera
deterministica è data da:
• Yi= f(Xi,)TEi
dove
0  TEi 
Yi
1
f (Xi )
Usualmente il modello è definito nei logaritmi delle variabili
quindi
• Log(Yi)=log[ f(Xi,)]+log(TEi)= log[ f(Xi,)]-ui
• dove ui è una misura dell'inefficienza tecnica e
TEi=exp(-ui)
• Si noti che più grande è ui più l'azienda i si allontana dalla
frontiera di produzione.
12
Funzione frontiera deterministica
• Supponiamo di specificare una funzione di
produzione Cobb-Douglas con s input, il modello
frontiera assume la forma
s
Yi  c xij
j
j 1
exp(  ui ) che in forma log diventa
s
s
j 1
j 1
log( Yi )  log(c )    j log(x ij )  u i      j log(x ij )  u i
13
Le funzione di frontiera
deterministiche-matematiche
• Secondo il suddetto modello (Aigner e
Chu, 1968) la produzione effettiva è la
produzione massima meno un (non
negativo) errore di inefficienza. Gli
elementi del vettore parametrico possono
essere stimati con la programmazione
quadratica (minimizzando il quadrato della
somma dei residui).
14
Le funzione di frontiera
deterministiche-matematiche
35
30
E
25
Output
D
20
C
15
B
10
F
5
A
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Applicati Equivalenti
AIGNER D.J., CHU S.F. (1968), "On Estimating the Industry Production
Function", The American Economic Review, n°4, pp.826-835
15
Steps per il calcolo del grado di efficienza
tecnica di un’azienda: attraverso frontiera
deterministico-statistiche
s
Yi      j x ij   i
j 1
la funzione di produzione deterministica può essere stimata
in due passi:
1. stima OLS del modello per ottenere stime consistenti e
non distorte dei parametri relative ai regressori nel modello
e una stima consistente ma distorta del parametro
intercetta
2. correzione della stima del parametro intercetta in modo
tale da assicurare che la frontiera stimata limiti i dati al di 16
sotto di essa cioè:
Steps per il calcolo del grado di efficienza
tecnica di un’azienda:
ˆ COLS  ˆ OLS  max( ˆi )
3. Equazione della frontiera efficiente:
Yi
*
s
 ˆ COLS 
 ˆ j x ij
j 1
4. Computo dell’indice
Yi
TE i  *
Yi
17