Errori casuali
Si dicono casuali tutti quegli errori che possono avvenire, con la stessa
probabilità, sia in difetto che in eccesso.
Data questa caratteristica, definiamo errori casuali tutte quelle incertezze
sperimentali che possono essere rilevate mediante la ripetizione delle
misure.
Questi tipi di errore si possono manifestare per svariati motivi: ad esempio a
causa della variazione del tempo di reazione da un soggetto ad un altro (e
anche per lo stesso soggetto in misure successive), per errori di lettura di
indici dovuti ad un non perfetto allineamento tra l'osservatore e la scala
graduata o anche per semplici fluttuazioni del sistema in esame attribuibili
per esempio a degli sbalzi termici.
La loro natura di casualità è proprio legata al fatto che essi hanno un'origine
aleatoria e molto spesso temporanea: questo, al ripetersi delle misure,
determina sull'evento in esame delle fluttuazioni in modo tale che le
misurazioni che si ottengono oscillano attorno ad un valore pressochè
costante.
Ovviamente nel caso in cui sia possibile ripetere le misure l'individuazione di
tali errori è abbastanza semplice: inoltre all'aumentare del numero delle
misure, le fluttuazioni introdotte tendono a "bilanciarsi" in quanto avvengono
sia in difetto che in eccesso con la stessa probabilità.
Errori casuali
Vogliamo ora indagare sulla distribuzione dei risultati di misure ripetute
della medesima grandezza, nell’ipotesi che esse siano affette da errori
esclusivamente casuali.
La densità di probabilità
La legge dei grandi numeri
La legge dei grandi numeri è fondamentale nella teoria delle variabili
casuali. Quella che segue è una sua formulazione in termini semplici ed
intuitivi.
Essa afferma che, se E è un evento e p la sua probabilità di successo, cioè
la probabilità del verificarsi di E in una prova, allora la frequenza relativa
dei successi in n prove indipendenti converge alla probabilità di E, ovvero a
p, quando n tende ad infinito (se il numero di prove effettuate è
sufficientemente grande, la frequenza relativa dei successi nelle n prove si
avvicinerà sempre più alla probabilità di successo nella singola prova, via via
che n cresce).
Questo teorema, formulato da Jakob Bernoulli (1654-1705), fornisce una
possibile giustificazione della legge empirica del caso, secondo la quale la
frequenza relativa di un evento tende a stabilizzarsi all'aumentare del
numero delle prove.
La distribuzione di Gauss
La distribuzione di Gauss
(1)
h1>h2>h3
h1
h2
h3
La funzione di Gauss per tre diversi valori di h
La distribuzione di Gauss
La distribuzione di Gauss è anche nota come legge degli errori, in quanto essa
descrive in particolare la distribuzione degli errori casuali relativi a successive
misure di una quantità fisica.
(2)(2)
(2)
h
1
 2
La distribuzione di Gauss
La distribuzione di Gauss
2.
Distribuzione normale standardizzata
(3)
Distribuzione normale standardizzata
Scarto quadratico medio o deviazione standard
Scarto quadratico
medio
Stima più
corretta di 
Popolazione e campione. Inferenza statistica.
Spesso ci si trova di fronte al problema di arrivare a
conclusioni valide per un ampio gruppo di individui o di
oggetti; in questi casi, invece di esaminare l’intero gruppo,
detto la popolazione, esame che può comportare notevoli
difficoltà o in qualche caso essere perfino impossibile, si
può fare ricorso all’esame di una piccola parte della
popolazione: questa piccola parte viene definita un
campione. Il procedimento mediante il quale dall’analisi
dei risultati osservati sul campione si perviene a
conclusioni relative all’intera popolazione è conosciuto
come inferenza statistica.
Popolazione e campione. Inferenza statistica.
Esempi:
1) Vogliamo trarre conclusioni circa la statura media (o il
peso) di 12000 studenti adulti (popolazione) esaminando
solo 100 studenti (il campione) estratti dalla
popolazione.
2) Desideriamo trarre conclusioni circa la percentuale di
bulloni difettosi costruiti da una certa fabbrica
durante i 6 giorni lavorativi di una settimana,
esaminando ogni giorno 20 bulloni prodotti in diverse
ore della giornata. In questo caso la popolazione sono i
bulloni prodotti nella settimana lavorativa, mentre il
campione sono i 120 bulloni scelti.
Popolazione e campione. Inferenza statistica.
Osservazioni:
1) Il termine popolazione non ha necessariamente
il significato che esso possiede nel linguaggio
comune; infatti spesso il termine popolazione è
usato per denotare osservazioni o misurazioni
piuttosto che individui od oggetti.
2) La popolazione può essere finita o infinita; il
numero che la definisce sarà detto grandezza
della popolazione. Analogamente il numero dei
componenti il campione sarà detto grandezza
del campione e denotato ad esempio con N.
Mediamente la varianza di un campione di N misure è
inferiore alla varianza della intera popolazione per un
fattore (N-1)/N.
Questo è il motivo per cui, per avere una stima
mediamente corretta di , si usa la quantità:


 xi  x 

N

2
i 1 
x 
N 1
N 1
N
2
Per calcolare lo scarto quadratico medio può
essere utile sfruttare la seguente proprietà:

La distribuzione di Gauss

Si può dimostrare che :
Deviazione standard della media
ESEMPIO 1
0.115
0.115
ESEMPIO 2