Geometria descrittiva dinamica
Introduzione
Presentazione
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
Questo learning object introduce alla procedura di rappresentazione descrittiva del
piano geometrico.
Con esso si individuano e caratterizzano gli elementi geometrici e descrittivi
necessari per determinare la rappresentazione ortogonale di un piano comunque
collocato nello spazio del diedro.
Il piano lo si analizza riguardandolo come superficie rigata piana.
La presentazione termina con l’esempio di tre test di verifica:
un test grafico, un test teorico ed un test di logica.
Dopo i test di verifica sono presentati alcuni temi da svolgere come esercitazioni da
sviluppare sotto forma di elaborati grafici.
La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione, per gli
elaborati grafici, che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo:
conoscenza, capacità e competenza.
Geometria descrittiva dinamica
Al sommario
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Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di
Monge
LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICODESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA
DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI
Il piano:rappresentazione
Il disegno di copertina è stato eseguito nell’anno scolastico 2007/08 da
LattanzioAmbratonella della classe 1° sezione C
del “Liceo Artistico Statale G. Misticoni” di Pescara
per la materia : “Discipline geometriche”
La revisione delle formalizzazioni è stata
curata dal dott. Gabriella Mostacci
IL materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Copertina
Sommario rappresentazione
Titolo dell’argomento
Sfogliare
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Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del piano
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Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi graficorappresentativi e relative definizioni
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Test di verifica - grafico
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Test di verifica - teorico
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Test di verifica - logico
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Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici
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Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche
Sommario
Proiezione rappresentazione e definizione tipologica del piano
Nella caratterizzazione del piano come elemento geometrico dinamico, si è riguardato lo
stesso come generato da una retta in movimento orientato e definito secondo la seguente
formalizzazione insiemistica
 r  w  !  |r 
2
che si
legge
2
per ogni retta in movimento orientato e definito nello spazio, si
genera una ed una sola superficie che prende il nome di “piano”
Questa superficie è costituita dall’insieme, non vuoto, delle infinite posizioni che la retta
occupa nello spazio, muovendosi secondo una direzione definita ed orientata
Quindi in uno spazio di superfici si caratterizza come “piano” l’elemento
geometrico dell’insieme delle rette ottenuto come sommatoria orientata, estesa
da - a + delle posizioni della retta r in movimento orientato e definito nello
spazio tridimensionale secondo la seguente espressione insiemistico-descrittiva
 r  w  !  
 

-
r |r  w
Sommario
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli
elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (1)
Per definire gli elementi geometrico-rappresentativi sviluppiamo le analisi successive nel I
diedro sapendo che, poi, queste possono essere estese agli altri diedri adattandole alle
caratterizzazioni fisiche ed agli ambiti grafici di questi
Ricordiamo che gli elementi
rappresentativi di una retta
r sono le tracce T1r e T2r
(Fig.44) ottenute come
intersezione della retta con
i semipiani del diedro, cioè
come
T1r = r  1
T1r = r  1
mentre le proiezioni sono espresse dalle seguenti formalizzazioni descrittive
'
T2r
 
r'  P'
T1r
''
T1r
 
r''  P''
T2r
Mediante questi quattro elementi rappresentativi viene descritta la retta r comunque
collocata nello spazio
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli
elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (2)
Se consideriamo la stessa nel suo aspetto dinamico, essa, muovendosi parallelamente a se
stessa, determinerà sui piani di proiezione 1 e 2 una sequenza di punti reali (tracce) che
ne determina la posizione all’interno del diedro (Fig. 45)
Poiché la retta si sposta
secondo una direzione definita
ed orientata, i punti di
intersezione risponderanno,
per la loro collocazione sul
semipiano del diedro, alla
legge descrittiva che vuole una
retta definita mediante una
direzione assegnata
I punti, così ottenuti, risultano allineati e prendono il nome di “traccia del piano”
e si indicano con “t1” la traccia su 1 e con “t2” la traccia su 2. Per la “t” si
utilizzano le lettere minuscole dell’alfabeto perché le tracce si caratterizzano,
geometricamente, come “rette”, pertanto le due didascalie si leggono:
t1 = Traccia prima o traccia uno del piano 
t2 = Traccia seconda o traccia due del piano 
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli
elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (3)
Definito tutto quanto sopra, e
ricordando la formalizzazione
descrittiva del piano
 r  w  !  
 

r |r  w
-
volendo sintetizzare e formalizzare come rette descrittive questi due elementi
rappresentativi del piano, essi assumono il seguente aspetto
t1 
t2 
 

-
 

-
T 
1r
retta unita a 1 (Sommatoria dei punti uniti a 1)
T 
retta unita a 2 (Sommatoria dei punti uniti a 2)
2r
Dal punto di vista fisico, essendo le tracce generate dalla sommatoria di punti
reali, saranno due rette reali. Infatti le T1 sono punti uniti a 1 e quindi con
quota nulla, mentre le T2 sono punti uniti a 2 e quindi con aggetto nullo
A conferma di quanto sopra è solo il caso di ricordare che dall’operazione
geometrica dalla intersezione di due piani si ottiene una retta per cui,
implicitamente, il piano  attraversando il diedro intersecherà i due semipiani 1
e 2, dando origine a due rette che, nello specifico assumono il nome di “traccia
prima del piano ” e “traccia seconda del piano ”
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli
elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (4)
Una considerazione particolare deve essere fatta sull’origine delle tracce
Esse devono intersecare la linea di terra sempre, contemporaneamente e nello
stesso punto
Infatti se consideriamo il piano generato da una retta che si sposta secondo una
direzione assegnata e definita, essa, nel suo movimento nello spazio, passando da
un diedro all’altro si intersecherà con la linea di terra
Poiché l’intersezione tra due rette genera un punto
r  lt  T1r  T2r
per questo motivo le tracce del piano  hanno
sempre un punto in comune sulla linea di terra
Inoltre bisogna considerare che siamo in presenza di tre piani 1 , 2 ed  e ricordare che
la loro intersezione genera un punto che diventa il centro della stella dei tre piani
Il luogo piano racchiuso tra due tracce contiene, poi, le infinite proiezioni della retta che
muovendosi genera il piano (Fig.46)
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli
elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5)
In conclusione ogni retta dello “spazio rigato” muovendosi, nello spazio solido secondo una
direzione definita (parallelamente a se stessa) determina un insieme di punti reali definiti
ed orientati che assumono il nome di “traccia del piano” e si indicano con la t minuscolo.
Essendo due i semipiani che delimitano il diedro, le tracce saranno, anch’esse, due e
prendono l’indice uno o due a seconda che sia riferita al piano 1 o 2
Infine per quanto sopra esposto le due tracce devono necessariamente essere incidenti
sulla linea di terra nello stesso punto (reale o improprio) e, per l’aspetto dinamico,
contemporaneamente
Volendo schematizzare possiamo raccogliere e sintetizzare le considerazioni come nella
seguente tabella
Pertanto ogni piano può essere rappresentato secondo le leggi descrittive di cui trattasi
nei seguenti appunti, mediante gli elementi geometrico-rappresentativi elencati nella
tabella che segue
Gli elementi rappresentativi del piano e relative caratteristiche
Elemento
geometrico
Piano
Didascalia
elemento

Didascalia elementi
rappresentativi
Nomenclatura
elemento
Definizione
geometrica
Definizione
fisica
t1
Traccia 1a o
traccia 1
Retta
Reale
t2
Traccia 2a
o traccia 2
Retta
Reale
Test di verifica - grafico
Sommario
Risoluzione
Poiché la risoluzione grafica è
particolarmente complessa si è
preferito ridimensionare la
finestra del dato per rendere
più chiaro lo sviluppo degli
algoritmi grafici risolutivi
T2b
C”
t2
T2a
T1a
b”
a”
a”
t2
X”
T1a
b”
a’
a’
B”
A”
T1a A’
t2
T2a
lt
lt
a’
C’
b’
B’
T1b
T2b
T1b
b’
t1
t1
X’
T1b
T2a
E”
M’
b’
F’
b”
D’D”
t1
F”
E’
M”
y”
y’
T2x
T2y
X’
lt
a”
T1x
lt
X’
t2
x”
x’
t1
T1y
Sommario
Test di verifica - teorico
Risoluzione
WIID
WID
WIIID
WIVD
Test di verifica - logico
Sommario
Risoluzione
t1
t2
a”
b”
a’
a”
a’
b”
a’
a”
t1
a”
t2
errore
a’
b’
t2
b’
t1
Sommario
Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici
Definire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani assegnati una retta
ed un punto esterno

e
A(A’=1; A”=3)
a( T1a=3; T2a= 3)
E(E’=2; E”=4)
e( T1e=2; T2e=- 3)
B(B’= - 3; B”=1)

j
g
C(C’=-4; C”= - 2)
b( T1b=1; T2b= 3)
c(T1c=2; T2c= 4)
F(F’= - 4; F”=2)
G(G’=4; C”= - 2)
f( T1f= -3; T2f= - 3)
l
g(T1g=2; T2g= - 4)

m
D(D’=4; D= - 1)
d(T1d=6; T2d=4)
H(H’= - 4; D= - 4)
h(T1h=2; T2h=5)
Eseguire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani descritti nei
caratteri geometrici
 1 2)
e^ 1 2)
 //1- ^ 2)
j1 ^2)
g (1+ 2+ // lt)
l ^1- ^2)
 ( 1- 2 + // lt)
m1- ^2)
Definire la rappresentazione ortogonale dei piani così caratterizzati
1) Piano proiettante in 1a proiezione nel II D
2) Piano generico nel IV D
3) Piano di profilo nel IV D
4) Piano proiettante in 2a proiezione nel I D
5) Piano generico parallelo alla lt nel IID
6) Piano orizzontale nel IV D
Sommario
Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche
Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche
sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:
1)Conoscenze teoriche
2)Capacità logiche
3)Competenze grafiche
VALUTAZIONE DEI TEST E DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE
Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia
Test
Eserc.
1
2
3
4
Elementi della valutazione
VALUTAZIONI
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
0,00 0,50 1,00
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
0,00 0,50 1,00
Competenze grafiche
0,00 0,25 0,50
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
0,00 0,50 1,00
0,00 0,50 1,00
Competenze grafiche
0,00 0,25 0,50
0,00 0,50 1,00
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
0,00 0,50 1,00
Competenze grafiche
0,00 0,25 0,50
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
PUNTEGGIO TOTALE
2,50
0,00 0,25 0,50
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
PUNTI
MAX
0,00 0,50 1,00
2,50
2,50
2,50
10,00