Geometria descrittiva dinamica
Al sommario
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di
Monge
LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICODESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA
DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI
(Il piano)
Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1993/94
da Iolanda Iezzi della classe 3°B
dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona
per la materia : “Disegno geometrico ed architettonico”
La revisione delle formalizzazioni è stata
curata dal dott. Gabriella Mostacci
IL materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Sommario
Copertina
Titolo dell’argomento
Sfogliare
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Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del piano
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Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi graficorappresentativi e relative definizioni
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La tipologia del piano: studio e definizione nel primo diedro
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Piano generico
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Piano proiettante in 1a proiezione
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Piano proiettante in 2a proiezione
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Piano di profilo
Vai a
Piano orizzontale
Vai a
Piano frontale
Vai a
Piano generico parallelo lt
Vai a
Piano incidente la lt
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Piano generico nei restanti diedri
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Piano proiettante in 1a proiezione nei restanti diedri
Vai a
Piano proiettante in 2a proiezione nei restanti diedri
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Piano di profilo o in scorcio totale nei restanti diedri
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Piano orizzontale nei restanti diedri
Vai a
Piano frontale nei restanti diedri
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Piano generico parallelo alla lt nei restanti diedri
Vai a
Piano incidente la lt nei restanti diedri
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
omesso
Sommario
Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del piano
Nella caratterizzazione del piano come elemento geometrico dinamico, si è riguardato lo
stesso come generato da una retta in movimento orientato e definito secondo la seguente
formalizzazione insiemistica
 r  w  !  |r 
2
che si
legge
2
per ogni retta in movimento orientato e definito nello spazio, si
genera una ed una sola superficie che prende il nome di “piano”
Questa superficie è costituita dall’insieme, non vuoto, delle infinite posizioni che la retta
occupa nello spazio, muovendosi secondo una direzione orientata
Quindi in uno spazio di superfici si caratterizza come “piano” l’elemento
geometrico dell’insieme delle rette ottenuto come sommatoria orientata, estesa
da - a + delle posizioni della retta r in movimento orientato e definito nello
spazio tridimensionale secondo la seguente espressione insiemistico-descrittiva
 r  w  !  
 

-
r |r  w
Sommario
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli
elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (1)
Per definire gli elementi geometrico-rappresentativi sviluppiamo le analisi successive nel I
diedro sapendo che, poi, queste possono essere estese agli altri diedri adattandole alle
caratterizzazioni topologiche ed agli ambiti grafici di questi.
Ricordiamo che gli elementi
rappresentativi di una retta
r sono le tracce T1r e T2r
(Fig.44) ottenute come
intersezione della retta con
i semipiani del diedro, cioè
come :
T1r = r  1
T1r = r  1
mentre le proiezioni sono espresse dalle seguenti formalizzazioni descrittive
'
T2r
 
r'  P'
T1r
''
T1r
 
r''  P''
T2r
Mediante questi quattro elementi rappresentativi viene descritta la retta r comunque
collocata nello spazio
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi
grafico-rappresentativi e relative definizioni (2)
Se consideriamo la retta r nel suo aspetto dinamico, essa, muovendosi parallelamente a se
stessa, determinerà sui piani di proiezione 1 e 2 una successione di punti reali (tracce)
che ne determina la posizione all’interno del diedro (Fig. 45)
Poiché la retta, per generare
un piano  si sposta secondo
una direzione orientata, i punti
di intersezione risponderanno,
per la loro collocazione sul
semipiano del diedro, alla legge
descrittiva che vuole una retta
definita mediante una
direzione assegnata
I punti, così ottenuti, risultano allineati e prendono il nome di “traccia del piano”
e si indicano con “t1” la traccia su 1 e con “t2” la traccia su 2. Per la “t” si
utilizzano le lettere minuscole dell’alfabeto perché le tracce si caratterizzano,
geometricamente, come “rette”, pertanto le due didascalie si leggono:
t1 = Traccia prima o traccia uno del piano 
t2 = Traccia seconda o traccia due del piano 
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi
grafico-rappresentativi e relative definizioni (3)
Definito tutto quanto sopra, e
ricordando la formalizzazione
descrittiva del piano
 r  w  !  
 

r |r  w
-
volendo sintetizzare e formalizzare come rette descrittive questi due elementi
rappresentativi del piano, essi assumono il seguente aspetto
t1 
t2 
 

-
 

-
T 
1r
retta unita a 1 (Sommatoria dei punti uniti a 1)
T 
retta unita a 2 (Sommatoria dei punti uniti a 2)
2r
Dal punto di vista fisico, essendo le tracce generate dalla sommatoria di punti
reali, saranno due rette reali. Infatti le T1 sono punti uniti a 1 e quindi con
quota nulla, mentre le T2 sono punti uniti a 2 e quindi con aggetto nullo
A conferma di quanto sopra è solo il caso di ricordare che dall’operazione
geometrica dalla intersezione di due piani si ottiene una retta per cui,
implicitamente, il piano  attraversando il diedro intersecherà i due semipiani 1
e 2, dando origine a due rette che, nello specifico assumono il nome di “traccia
prima del piano ” e “traccia seconda del piano ”
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi
grafico-rappresentativi e relative definizioni (4)
Una considerazione particolare deve essere fatta sull’origine delle tracce
Esse devono intersecare la linea di terra sempre, contemporaneamente e nello
stesso punto
Infatti se consideriamo il piano generato da una retta che si sposta secondo una
direzione assegnata, essa, nel suo movimento nello spazio, passando da un diedro
all’altro si intersecherà con la linea di terra
Poiché l’intersezione tra due rette genera un punto
r  lt  T1r  T2r
per questo motivo le tracce del piano  hanno
sempre un punto in comune sulla linea di terra
Inoltre bisogna considerare che siamo in presenza di tre piani 1 , 2 ed  e ricordare che
la loro intersezione genera un punto che diventa il centro della stella dei tre piani
Il luogo piano racchiuso tra due tracce contiene, poi, le infinite proiezioni della retta che
muovendosi genera il piano (Fig.46)
Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli
elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5)
Riassumendo e sintetizzando si ha:
Ogni retta dello “spazio rigato” muovendosi, nello spazio del diedro,secondo una direzione
orientata genera un insieme di punti reali orientati che assumono il nome di “traccia
del piano” e si indicano con la t minuscolo.
Essendo due i semipiani che delimitano il diedro, le tracce saranno, anch’esse, due e
prendono l’indice uno o due a seconda che sia riferita al piano 1 o 2
Infine, per quanto sopra espoosto le due tracce devono necessariamente essere incidenti
sulla linea di terra nello stesso punto (reale o improrio) e, per l’aspetto dinamico,
contemporaneamente.
Volendo schematizzare possiamo raccogliere e sintetizzare le considerazioni come nella seguente
tabella
Gli elementi rappresentativi del piano e relative caratteristiche
Elemento
geometrico
Piano
Didascalia
elemento

Didascalia elementi
rappresentativi
t 1
t2
Nomenclatura
elemento
Traccia 1a o
traccia 1
Traccia 2a
o traccia 2
Definizione
geometrica
Definizione
fisica
Retta
Reale
Retta
Reale
Pertanto ogni piano può essere rappresentato secondo le leggi descrittive di cui trattasi nei seguenti
appunti, mediante gli elementi geometrico-rappresentativi elencati nella tabella sopra esposta.
Sommario
La tipologia del piano: studio e definizione nel primo diedro
Determinati gli elementi
rappresentativi e
definitene le
caratteristiche
geometriche e fisiche, si
può passare all’analisi
tipologica del piano per
definirne una
catalogazione
sistematica nel rapporto
con gli elementi del
diedro: i semipiani di
proiezione (luogo della
rappresentazione) e la
linea di terra.
La ricerca e definizione tipologica del
piano si approfondisce, nel seguito degli
appunti, con riferimento specifico al I
diedro sapendo che per estendere la
tipologia ai restanti diedri (II, III, IV) è
sufficiente adeguare, poi, gli elementi
rappresentativi alle caratteristiche dei
diversi diedri rispettando, ovviamente, le
differenti caratterizzazioni fisiche e
topologiche.