Tecnologie delle Costruzioni
Aerospaziali
CRITERI DI ROTTURA STATICI
PER MATERIALI ISOTROPI
PARTE 2
Prof. Claudio Scarponi
Ing. Carlo Andreotti
TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DEFORMAZIONE
a) Ipotesi di rottura
Per qualsiasi stato di tensione, si
verifica il cedimento del materiale
in un punto qualora il valore
dell’energia di deformazione per
unità di volume E D raggiunga in
esso il limite EDL .
Materiale curato da:
Ing. Carlo Andreotti
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2
TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DEFORMAZIONE
b)  i nel caso generale di stato di
tensione triassiale
Nel caso di stato di tensione triassiale
si ha la seguente situazione:
1   2   3
La condizione critica si verifica se
ED 
Materiale curato da:
Ing. Carlo Andreotti


1
 12   22   32  2  1 2   2 3   1 3   E DL
2E
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DEFORMAZIONE
Nel caso monodimensionale si ha
conseguenza:
ED 
1
oppure
 3 . Di
1 2
1
2E
La condizione critica, allora, assume la seguente
espressione:
ED 
1 2
 i  EDL
2E
Dal confronto con l’espressione della condizione
critica nel caso di stato di tensione triassiale, si
ottiene l’espressione della tensione ideale valida
nel caso generale:
 i  12   22   32  2 1 2   2 3  1 3 
Materiale curato da:
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DEFORMAZIONE
c)  i nel caso generale di stato di
tensione biassiale, relativo alle
tensioni  x ,  y ,  xy
Nel caso di stato di tensione piano
l’espressione della tensione ideale
risulta:
2
 i   x2   y2  2 x y  21   xy
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DEFORMAZIONE
d) Rapporto  U  U
Nel caso di semplice torsione o taglio
( x   y  0) la precedente relazione
diventa:
 i  21    xy
La condizione critica si raggiunge per
 i  21    xy  21    MAX  21    U
Materiale curato da:
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DEFORMAZIONE
Poiché
 i  U
si ricava
 i  U  21   U
U
 21  
U
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DISTORSIONE
a) Ipotesi di rottura
Per qualsiasi stato di tensione, si
verifica il cedimento del materiale
in un punto qualora il valore
dell’energia di distorsione per unità
di volume E Di raggiunga in esso il
limite EDiL .
Materiale curato da:
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DISTORSIONE
b)  i nel caso generale di stato di
tensione triassiale
Nel caso di stato di tensione triassiale
si ha la seguente situazione:
1   2   3
La condizione critica si verifica se
EDi


1
 1   2 2   2   3 2   1   3 2  EDiL

12G
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DISTORSIONE
Nel caso monodimensionale si ha  1 oppure  3 . Di
conseguenza:
1 2
E Di 
1
6G
La condizione critica, allora, assume la seguente
espressione:
E Di
1 2

 i  E DiL
6G
Dal confronto con l’espressione della condizione
critica nel caso di stato di tensione triassiale, si
ottiene l’espressione della tensione ideale valida
nel caso generale:
i 
Materiale curato da:
Ing. Carlo Andreotti
1
2
 1   2 2   2   3 2   1   3 2
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DISTORSIONE
c)  i nel caso generale di stato di
tensione biassiale, relativo alle
tensioni  x ,  y ,  xy
Nel caso di stato di tensione piano
l’espressione della tensione ideale
risulta:
2
 i   x2   y2   x y  3 xy
Materiale curato da:
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DISTORSIONE
d) Rapporto  U  U
Nel caso di semplice torsione o taglio
( x   y  0 ) la precedente relazione
diventa:
 i  3  xy
La condizione critica si raggiunge per
 i  3  xy  3  MAX  3  U
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TEORIA DELLA MASSIMA ENERGIA DI DISTORSIONE
Poiché
 i  U
si ricava
 i   U  3  U
U
 3
U
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE OTTAEDRALE
a) Ipotesi di rottura
Per qualsiasi stato di tensione, si
verifica il cedimento del materiale
in un punto qualora il valore della
tensione tangenziale ottaedrale  opt
raggiunga in esso il valore della
tensione limite  L .
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE OTTAEDRALE
b)  i nel caso generale di stato di
tensione triassiale
Nel caso di stato di tensione triassiale
si ha la seguente situazione:
1   2   3
La condizione critica si verifica se
2 2
 opt 
 1   22   32   L
3
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE OTTAEDRALE
Poiché vale
1 
1   2
2
 2 3
2 
2
1   3
3 
2
si ottiene:
1
 opt 
3
Materiale curato da:
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 1   2 2   2   3 2   1   3 2   L
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE OTTAEDRALE
Nel caso monodimensionale si ha  1 oppure  3 . Di
conseguenza:
 opt 
2
1
3
La condizione critica, allora, assume la seguente
espressione:
2 2
 opt 
i  L
3
Dal confronto con l’espressione della condizione
critica nel caso di stato di tensione triassiale si
ottiene l’espressione della tensione ideale valida
nel caso generale:
1
 1   2 2   2   3 2   1   3 2
i 
2
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE OTTAEDRALE
NOTA: Questa espressione è identica
a quella ottenuta dalla teoria della
massima energia di distorsione.
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE OTTAEDRALE
c)  i nel caso generale di stato di
tensione biassiale, relativo alle
tensioni  x ,  y ,  xy
Nel caso di stato di tensione piano
l’espressione della tensione ideale
risulta:
2
 i   x2   y2   x y  3 xy
Materiale curato da:
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE OTTAEDRALE
d) Rapporto  U  U
Nel caso di semplice torsione o taglio
( x   y  0) la precedente relazione
diventa:
 i  3  xy
La condizione critica si raggiunge per
 i  3  xy  3  MAX  3  U
Materiale curato da:
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE OTTAEDRALE
Poiché
 i  U
si ricava
 i   U  3  U
U
 3
U
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CONFRONTO TRA LE VARIE TEORIE DELLA ROTTURA
Non esiste un criterio di rottura ottimo per
qualunque
materiale.
E’
necessario
operare una distinzione tra materiali
duttili e materiali fragili.
Materiali duttili:



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Sono fortemente deformabili
Assorbono elevata energia prima che si
verifichi la rottura
Spesso non c’è differenza tra trazione e
compressione
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CONFRONTO TRA LE VARIE TEORIE DELLA ROTTURA
Materiali fragili:



Di
Sono scarsamente deformabili
Assorbono un livello basso di energia con un
comportamento in campo elastico fino a
rottura
Resistono maggiormente a compressione
conseguenza,
alcuni
criteri
sono
particolarmente adatti per i materiali
duttili, mentre altri lo sono per i materiali
fragili.
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CONFRONTO TRA LE VARIE TEORIE DELLA ROTTURA
La figura seguente mostra le diverse rotture, duttili e fragili,
di provini cilindrici soggetti a trazione o torsione semplice:
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DISCUSSIONE SUL VALORE DEL RAPPORTO DELLE TENSIONI LIMITI
I valori del rapporto  U  U , dedotti da prove sperimentali
per i vari tipi di sollecitazione e per le due categorie di
materiale definite precedentemente, possono essere
confrontati con quelli calcolati con le varie teorie di
rottura e riportati nella seguente tabella:
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DISCUSSIONE SUL VALORE DEL RAPPORTO DELLE TENSIONI LIMITI
Distinguendo tra materiali duttili e fragili e
considerando solo sollecitazioni statiche, i
valori del rapporto sono riassunti nella
seguente tabella:
Materiale curato da:
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DISCUSSIONE SUL VALORE DEL RAPPORTO DELLE TENSIONI LIMITI
Dal confronto dei valori del rapporto relativi alle
due tabelle, si nota che le teorie di rottura
possono essere suddivise nel modo seguente:
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